【培优版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2017九下·杭州开学考）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
2．（2024·德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形.，点P是边上一点，则满足的点P的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点P，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
∴，
方程无解，即点P不存在.
故选：D.
【分析】设，，假设存在点P，且，则，在和中，用勾股定理可将BP2、PC2用含a、b、x的代数式表示出来，在Rt△BPC中，用勾股定理可得关于a、b、x的方程，根据黄金分割的定义可得a、b的等式，整理可将a用含b的代数式表示出来，代入关于a、b、x的方程，根据一元二次方程的根的判别式可知△＜0，于是可得点P不存在.
3．（2024·宜州模拟）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图（如图）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作，交AD的延长线于点F．
则所作图形中是黄金矩形的为（ ）
A．矩形MNCD B．矩形DCEF
C．矩形MNEF D．矩形DCEF和矩形ABEF
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=2a，∠DCB=90°，
∵点N是BC的中点，
∴BN=CN=a，
∴，
∴矩形MNCD不是黄金矩形，故选项A不符合题意；
在Rt△DCN中，CN=a，CD=2a，
∴，
由题意得：，
∴
∴，
∴矩形DCEF是黄金矩形；
∵四边形DCEF是矩形，
∴EF=CD=2a，
∴，
∴矩形MNEF不是黄金矩形，故选项C不符合题意；
∵BN=a，，
∴，
∴，
∴矩形ABEF是黄金矩形，
∴矩形DCEF和矩形ABEF都是黄金矩形，
故答案为：D.
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据正方形的性质可得AB=BC=CD=2a，∠DCB=90°，再根据线段的中点定义可得BN=CN=a，根据黄金矩形的定义逐一判断即可.
4．（2024九下·龙港模拟）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；黄金分割；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型
【解析】【解答】连接，矩形、ABGE为黄金矩形，，设，，，
而四边形是四边形翻折得到，
∴，，
，
∴，
∵在矩形中，，
又
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，由勾股定理得，
∴
解得：，∴，∴．
故选：D
【分析】由黄金矩形设，则折叠的性质和勾股定理，连接得得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而．
5． 如图 1 所示， 当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射， 满足入射角 与折射角 的度数比为 ． 如图 2 所示， 在同一平面内， 两条光线同时从空气斜射入这种液体中， 两条入射光线与水平液面夹角分别为 ， 在液体中两条折射光线的夹角为 ，则 三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，入射光线与水平面夹角为α的光线的入射角为90°-α，入射光线与水平面夹角为β的光线的入射角为90°-β；根据平行线的性质，入射光线与水平面夹角为α的光线折射角设为x，则入射光线与水平面夹角为β的光线折射角设为γ-x；
∵ 当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射， 满足入射角 与折射角 的度数比为
∴（90°-α）：x=（90°-β）：（γ-x），解得x=；
∴（90°-α）：x=
∴
故答案为：B.
【分析】根据题中定义和平行线的性质，列关于x的一元一次方程，解方程可得x的代数式；根据比例关系，即可求出三者的关系.
6．（2024九下·深圳期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB） ，
∴AP=AB=×10=5-10.
故答案为：C.
【分析】由P为AB的黄金分割点（AP＞PB） 可得AP=AB，据此计算即可.
7．（2024·沙田模拟）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得2m=3n，符合题意；
B、由，可得mn=6，不符合题意；
C、由，可得3m=2n，不符合题意；
D、由，可得mn=6，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，将各个选项中的比例式化为等积式，进行判断即可.
8．（2017·金乡模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF= =
∴FG=
∴CG= ﹣1
∴ =
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
二、填空题
9．（2023九上·金沙期中）若，则的值为 .
【答案】－1或8
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb，
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb，
2（a+b+c）=k（a+b+c），
即（k-2）（a+b+c）=0，
k-2=0或a+b+c=0，
解得k=2或a+b+c=0，
当k=2时， ，
当a+b+c=0时，则a+b=-c，同理
故答案为：-1或8.
【分析】根据 是由 分子乘以分子，分母乘以分母得来的，进而只要得出的值，既可以求解出的值，设 可变换为（k-2）（a+b+c）=0，即可得出k-2=0或a+b+c=0，分两种情况进行讨论即可求解.
10．（2019九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于
的一次函数
，其中常数k满足
，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数
的解析式为 ．
【答案】 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质
【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，
∴2：b=b：8，
解得b=
，
∵b＞0，
∴b=4，
∵ ，
∴
∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，
当a+b+c
时，解得k=
，
当a+b+c=0时，k=-1，
∴该一次函数
的解析式为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用
得到
，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.
11．（2024·新都模拟）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ．
【答案】+1；-1
【知识点】矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：令BC=x，
由得，，
解得AE=x x（舍负），
所以AB=2x+AE=x+x，
则“白银比率”为：＝+1．
如图所示，
，
解得，x=，
经检验x=是原方程的解，且符合题意．
所以该“白银矩形”的面积为：1×()＝．
如图所示，
，
x=2 ，
经检验x=2 是原方程的解，且符合题意．
所以该“白银矩形”的面积为：＝．
综上所述，“白银矩形”的面积为：或．
故答案为：或．
【分析】根据“白银矩形”的定义，列出方程即可求出“白银比率”，再利用求出的“白银比率”即可解决问题。
12．（2024·山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为 （结果保留根号）。
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 四边形MQPN是正方形
∴ ∠P=∠N=90°
∵AB∥PN
∴ ∠P+∠ABP=180°
∴ ∠ABP=90°
∴ 四边形ABPN为矩形
∴ AB=NP-2cm
∵
∴ BC=cm
故答案为：.
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得 ∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC.
三、解答题
13．已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少
【答案】解：∵ ，
∴c=k（a+b），a=k（b+c），b=k（c+a），
∴a+b+c=k(b+c)+k(c+a)+k(b+a)=k(b+c+c+a+a+b)=2k(a+b+c)，
∴(2k-1)(a+b+c)=0
∴k=或k=-1，
当k=-1时y=-x-1，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，
∴一次函数y=-x-1与坐标轴围成三角形的面积为：；
当k=时y=x+，令x=0得y=，令y=0得x=-1，
∴一次函数y=x+与坐标轴围成三角形的面积为：；
∴一次函数y=kx+k与坐标轴围成三角形的面积为：或.
【知识点】比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】根据等比性质可得c=k（a+b），a=k（b+c），b=k（c+a），将三个式子相加可得(2k-1)(a+b+c)=0，解得k=或k=-1，然后分两种情况分别求出一次函数图象与坐标轴交点的横纵坐标，继而根据三角形面积计算公式可算出答案.
14．如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果，那么称为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：
（1）研究小组猜想：在中，若为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗 为什么
（2）三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线” 请说明理由.
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交AB于点，再过点作直线，交AC于点，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是的“黄金分割线”.请说明理由.
【答案】（1）解：对.理由：设中边AB上的高为，则，
.又为AB边的黄金分割点，
，即直线CD是的“黄金分割线”
（2）解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，
三角形的中线不是该三角形的“黄金分割线”
（3）解：
和的公共边CE上的高相等，
，
设直EF与CD交于点G，
则S△DGE=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD=S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC.
又∵，
∴，
∴直线EF也是△ABC的“黄金分割线”.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；黄金分割
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式分别表示出△ADC，△BDC，△ABC的面积，再表示出三角形的面积之比，利用点D为AB边上的黄金分割点，可证得，可推出，即可证得直线CD是△ABC的“黄金分割线”.
（2）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可推出，即可作出判断.
（3）由DF∥CE，可得到，同时可证得S△DGE=S△FGC，然后证明，即可证得结论.
四、阅读理解题
15．（2021八上·沙坪坝期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： .
证明：∵ ，
∴ .
∴ .
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 .
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题干提供的方法 计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合 计算即可.
五、综合题
16．（2024八下·六盘水期末）已知，，，，，六个数，如果，那么．
理由如下：
，
，，第一步，
第二步．
（1）解题过程中第一步应用了 的基本性质；在第二步解题过程中，应用了 的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
如果，则 _▲_；
已知，求的值．
【答案】（1）等比；合比
（2）解：②设 ，
则 ，
【知识点】等式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（1） 根据题意得：解题过程中第一步应用了等比的基本性质；在第二步解题过程中，应用了合比的基本性质；
故答案为：等比，合比.
（2）①∵，
∴2a=10，b=12，c=14，
∴=2；
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可；
（2）①由可得2a=10，b=12，c=14，然后直接代入求值即可；
②可设，可得，再代入计算即可.
17．（2023八下·文成期中） 根据以下素材，探索完成任务．
素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材2 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形（如图3）．
问题解决
任务1 问题1：如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题2：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论： ．
任务2 请在图3探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3 兴趣小组探索图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4 兴趣小组探索图2时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．
【答案】解：任务1： 问题1： 点 是 的黄金分割点，理由如下：
由旋转可得： ， ， ，
为 的黄金分割点， ， ，
点 是 上的黄金分割点；
问题2： 直线 不是四边形 的黄金分割线，
故答案为：直线 不是四边形 的黄金分割线；
任务2： 边上存在点 ，使得直线 是四边形 的黄金分割线， 过点 作 交 于点 ，则 是四边形 的黄金分割线，
如图：
点 即为所求的点；
任务3： 正确，理由如下：
如图：
是 的黄金分割点，
，
， ， ，
是三角形 的黄金分割线；
任务4： 证明：连接 ，
如图：
，
， ，
， ，
点 是 的边 的黄金分割点，
， ， ，
直线 是 的黄金分割线．
【知识点】三角形的面积；黄金分割；旋转的性质
【解析】【分析】问题1：由旋转可得CH=AG，BH=DG，AD=BC，由G为AD的黄金分割点可得 ，则， 据此判断；
问题2：过点G作GM∥AB交BC于点M，则GM是四边形ABCD的黄金分割线，据此解答；
任务3：由G为AD的黄金分割点可得，结合三角形的面积公式可得，据此解答；
任务4：连接BG，根据GF∥BE结合三角形的面积公式可推出S△ABG=S△AEF，S△DBG=S四边形BDEF，同问题2可得，则，据此解答.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上4.1 比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2017九下·杭州开学考）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
2．（2024·德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形.，点P是边上一点，则满足的点P的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024·宜州模拟）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图（如图）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作，交AD的延长线于点F．
则所作图形中是黄金矩形的为（ ）
A．矩形MNCD B．矩形DCEF
C．矩形MNEF D．矩形DCEF和矩形ABEF
4．（2024九下·龙港模拟）新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（ ）
A． B． C． D．
5． 如图 1 所示， 当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射， 满足入射角 与折射角 的度数比为 ． 如图 2 所示， 在同一平面内， 两条光线同时从空气斜射入这种液体中， 两条入射光线与水平液面夹角分别为 ， 在液体中两条折射光线的夹角为 ，则 三者之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·深圳期中）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A． B． C． D．
7．（2024·沙田模拟）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017·金乡模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
二、填空题
9．（2023九上·金沙期中）若，则的值为 .
10．（2019九上·大邑期中）在平面直角坐标系中，关于
的一次函数
，其中常数k满足
，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数
的解析式为 ．
11．（2024·新都模拟）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ．
12．（2024·山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点处，且．若，则BC的长为 （结果保留根号）。
三、解答题
13．已知，则一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是多少
14．如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果，那么称为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：
（1）研究小组猜想：在中，若为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗 为什么
（2）三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线” 请说明理由.
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交AB于点，再过点作直线，交AC于点，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是的“黄金分割线”.请说明理由.
四、阅读理解题
15．（2021八上·沙坪坝期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 ，求证： .
证明：∵ ，
∴ .
∴ .
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且a≠b，c≠d，证明 .
五、综合题
16．（2024八下·六盘水期末）已知，，，，，六个数，如果，那么．
理由如下：
，
，，第一步，
第二步．
（1）解题过程中第一步应用了 的基本性质；在第二步解题过程中，应用了 的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
如果，则 _▲_；
已知，求的值．
17．（2023八下·文成期中） 根据以下素材，探索完成任务．
素材1 定义：如图1，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点．
素材2 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线．
素材3 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形（如图3）．
问题解决
任务1 问题1：如图3，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题2：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论： ．
任务2 请在图3探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3 兴趣小组探索图2时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4 兴趣小组探索图2时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点P，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
∴，
方程无解，即点P不存在.
故选：D.
【分析】设，，假设存在点P，且，则，在和中，用勾股定理可将BP2、PC2用含a、b、x的代数式表示出来，在Rt△BPC中，用勾股定理可得关于a、b、x的方程，根据黄金分割的定义可得a、b的等式，整理可将a用含b的代数式表示出来，代入关于a、b、x的方程，根据一元二次方程的根的判别式可知△＜0，于是可得点P不存在.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=2a，∠DCB=90°，
∵点N是BC的中点，
∴BN=CN=a，
∴，
∴矩形MNCD不是黄金矩形，故选项A不符合题意；
在Rt△DCN中，CN=a，CD=2a，
∴，
由题意得：，
∴
∴，
∴矩形DCEF是黄金矩形；
∵四边形DCEF是矩形，
∴EF=CD=2a，
∴，
∴矩形MNEF不是黄金矩形，故选项C不符合题意；
∵BN=a，，
∴，
∴，
∴矩形ABEF是黄金矩形，
∴矩形DCEF和矩形ABEF都是黄金矩形，
故答案为：D.
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据正方形的性质可得AB=BC=CD=2a，∠DCB=90°，再根据线段的中点定义可得BN=CN=a，根据黄金矩形的定义逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；黄金分割；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；矩形翻折模型
【解析】【解答】连接，矩形、ABGE为黄金矩形，，设，，，
而四边形是四边形翻折得到，
∴，，
，
∴，
∵在矩形中，，
又
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，由勾股定理得，
∴
解得：，∴，∴．
故选：D
【分析】由黄金矩形设，则折叠的性质和勾股定理，连接得得到，从而，设，则，在中，根据构造方程，求解得到，从而．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，入射光线与水平面夹角为α的光线的入射角为90°-α，入射光线与水平面夹角为β的光线的入射角为90°-β；根据平行线的性质，入射光线与水平面夹角为α的光线折射角设为x，则入射光线与水平面夹角为β的光线折射角设为γ-x；
∵ 当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射， 满足入射角 与折射角 的度数比为
∴（90°-α）：x=（90°-β）：（γ-x），解得x=；
∴（90°-α）：x=
∴
故答案为：B.
【分析】根据题中定义和平行线的性质，列关于x的一元一次方程，解方程可得x的代数式；根据比例关系，即可求出三者的关系.
6．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB） ，
∴AP=AB=×10=5-10.
故答案为：C.
【分析】由P为AB的黄金分割点（AP＞PB） 可得AP=AB，据此计算即可.
7．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得2m=3n，符合题意；
B、由，可得mn=6，不符合题意；
C、由，可得3m=2n，不符合题意；
D、由，可得mn=6，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，将各个选项中的比例式化为等积式，进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF= =
∴FG=
∴CG= ﹣1
∴ =
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
9．【答案】－1或8
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 则a+b=kc，b+c=ka，c+a=kb，
（a+b）+（b+c）+（c+a）=kc+ka+kb，
2（a+b+c）=k（a+b+c），
即（k-2）（a+b+c）=0，
k-2=0或a+b+c=0，
解得k=2或a+b+c=0，
当k=2时， ，
当a+b+c=0时，则a+b=-c，同理
故答案为：-1或8.
【分析】根据 是由 分子乘以分子，分母乘以分母得来的，进而只要得出的值，既可以求解出的值，设 可变换为（k-2）（a+b+c）=0，即可得出k-2=0或a+b+c=0，分两种情况进行讨论即可求解.
10．【答案】 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比例的性质
【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项，
∴2：b=b：8，
解得b=
，
∵b＞0，
∴b=4，
∵ ，
∴
∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)，
当a+b+c
时，解得k=
，
当a+b+c=0时，k=-1，
∴该一次函数
的解析式为
或
，
故答案为：
或
.
【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用
得到
，解出k的值，即可得到一次函数的解析式.
11．【答案】+1；-1
【知识点】矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：令BC=x，
由得，，
解得AE=x x（舍负），
所以AB=2x+AE=x+x，
则“白银比率”为：＝+1．
如图所示，
，
解得，x=，
经检验x=是原方程的解，且符合题意．
所以该“白银矩形”的面积为：1×()＝．
如图所示，
，
x=2 ，
经检验x=2 是原方程的解，且符合题意．
所以该“白银矩形”的面积为：＝．
综上所述，“白银矩形”的面积为：或．
故答案为：或．
【分析】根据“白银矩形”的定义，列出方程即可求出“白银比率”，再利用求出的“白银比率”即可解决问题。
12．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ 四边形MQPN是正方形
∴ ∠P=∠N=90°
∵AB∥PN
∴ ∠P+∠ABP=180°
∴ ∠ABP=90°
∴ 四边形ABPN为矩形
∴ AB=NP-2cm
∵
∴ BC=cm
故答案为：.
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，黄金分割比，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题关键。由正方形MQPN得 ∠P=∠N=90°，由AB∥PN可得∠ABP=90°，证矩形ABPN，结合可得BC.
13．【答案】解：∵ ，
∴c=k（a+b），a=k（b+c），b=k（c+a），
∴a+b+c=k(b+c)+k(c+a)+k(b+a)=k(b+c+c+a+a+b)=2k(a+b+c)，
∴(2k-1)(a+b+c)=0
∴k=或k=-1，
当k=-1时y=-x-1，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，
∴一次函数y=-x-1与坐标轴围成三角形的面积为：；
当k=时y=x+，令x=0得y=，令y=0得x=-1，
∴一次函数y=x+与坐标轴围成三角形的面积为：；
∴一次函数y=kx+k与坐标轴围成三角形的面积为：或.
【知识点】比例的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】根据等比性质可得c=k（a+b），a=k（b+c），b=k（c+a），将三个式子相加可得(2k-1)(a+b+c)=0，解得k=或k=-1，然后分两种情况分别求出一次函数图象与坐标轴交点的横纵坐标，继而根据三角形面积计算公式可算出答案.
14．【答案】（1）解：对.理由：设中边AB上的高为，则，
.又为AB边的黄金分割点，
，即直线CD是的“黄金分割线”
（2）解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，
三角形的中线不是该三角形的“黄金分割线”
（3）解：
和的公共边CE上的高相等，
，
设直EF与CD交于点G，
则S△DGE=S△FGC，
∴S△ADC=S四边形AFGD=S△FGC=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC.
又∵，
∴，
∴直线EF也是△ABC的“黄金分割线”.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；黄金分割
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式分别表示出△ADC，△BDC，△ABC的面积，再表示出三角形的面积之比，利用点D为AB边上的黄金分割点，可证得，可推出，即可证得直线CD是△ABC的“黄金分割线”.
（2）利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可推出，即可作出判断.
（3）由DF∥CE，可得到，同时可证得S△DGE=S△FGC，然后证明，即可证得结论.
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题干提供的方法 计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合 计算即可.
16．【答案】（1）等比；合比
（2）解：②设 ，
则 ，
【知识点】等式的基本性质；比例的性质
【解析】【解答】解：（1） 根据题意得：解题过程中第一步应用了等比的基本性质；在第二步解题过程中，应用了合比的基本性质；
故答案为：等比，合比.
（2）①∵，
∴2a=10，b=12，c=14，
∴=2；
故答案为：2.
【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可；
（2）①由可得2a=10，b=12，c=14，然后直接代入求值即可；
②可设，可得，再代入计算即可.
17．【答案】解：任务1： 问题1： 点 是 的黄金分割点，理由如下：
由旋转可得： ， ， ，
为 的黄金分割点， ， ，
点 是 上的黄金分割点；
问题2： 直线 不是四边形 的黄金分割线，
故答案为：直线 不是四边形 的黄金分割线；
任务2： 边上存在点 ，使得直线 是四边形 的黄金分割线， 过点 作 交 于点 ，则 是四边形 的黄金分割线，
如图：
点 即为所求的点；
任务3： 正确，理由如下：
如图：
是 的黄金分割点，
，
， ， ，
是三角形 的黄金分割线；
任务4： 证明：连接 ，
如图：
，
， ，
， ，
点 是 的边 的黄金分割点，
， ， ，
直线 是 的黄金分割线．
【知识点】三角形的面积；黄金分割；旋转的性质
【解析】【分析】问题1：由旋转可得CH=AG，BH=DG，AD=BC，由G为AD的黄金分割点可得 ，则， 据此判断；
问题2：过点G作GM∥AB交BC于点M，则GM是四边形ABCD的黄金分割线，据此解答；
任务3：由G为AD的黄金分割点可得，结合三角形的面积公式可得，据此解答；
任务4：连接BG，根据GF∥BE结合三角形的面积公式可推出S△ABG=S△AEF，S△DBG=S四边形BDEF，同问题2可得，则，据此解答.
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