【基础版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）正n边形的中心角是30°，（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2022九上·温州期中）正十二边形的一个外角的度数为（ ）
A．30° B．36° C．144° D．150°
3．如图，在正六边形ABCDEF中，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
4．（2022九上·镇海区期中）如图， 在正五边形中， 是对角线， 交于点， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2024·通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题
9．（2024七下·重庆市期末）一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是 边形．
10．（2022·济宁模拟）如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为 ．
11．（2024·常德模拟）如图是我国清代康熙年间的八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，正八边形的每一个内角是 ．
12．（2024·镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ ．
三、解答题
13．用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE．求的度数．
14．（2024八上·惠州期末）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合．那么得到的图形是几边形？它的内角和（按一层计算）是多少度？
15．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图⒉
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些等分点，得到正n边形，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：D．
【分析】正n边形的中心角是，据此求解．
2．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正十二边形的一个外角＝360°÷12=30°．
故答案为：A．
【分析】根据正十二边形的外角计算公式，即360°÷n，代入边数12，进行计算即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵在正六边形ABCDEF中∠FAB=120°，在正五边形ABGHI中∠IAB=108°，
∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°，
故答案为：B．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形ABCDE是正五边形，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据正五边形的性质可得∠BAE=108°，AE=AB，进而利用等腰三角形的三线合一可求出∠BAF的度数.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据正多边形的性质得到∠BOA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过点E作轴于H，连接，如图所示：
∵原点为正六边形的中心，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：A
【分析】过点E作轴于H，连接，先根据正多边形的性质得到进而根据等边三角形的性质得到，从而结合题意运用勾股定理表示出EH，设，则，从而得到，，根据平移的性质得到点在双曲线上，从而根据点E的坐标即可得到，解出m即可求解。
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
8．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN
∴ ∠NBC=90°
∵ ABN＝120°
∴ ∠ABC=360°- ∠NBC- ABN＝150°
则正n边形的一个内角为150°
则正n边形的一个外角为30°
∴ n==12
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数n=.结合正方形的性质，可得内角度数和外角度数，求出n即可。
9．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】设正多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个正多边形的边数是：．
故答案为：十．
【分析】根据正多边形的一个内角与相邻外角的互补，列方程求解正多边形的外角，再由多边形的外角和等于，即可求出正多边形的边数.、
10．【答案】66°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF=60°，
因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，
所以∠BCF=108°-60°=48°，
因为BC=CF，
所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°．
故答案为：66°．
【分析】先利用正五边形的性质求出∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，再求出∠BCF的度数，最后利用等腰三角形和三角形的内角和求出∠BFC=（180°-48°）÷2=66°即可。
11．【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得正八边形的每一个内角是
故答案为： .
【分析】根据正多边形的内角和公式即可求解.
12．【答案】10
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360÷36=10，
故答案为：10.
【分析】根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，然后根据正多边形的性质求出n的值.
13．【答案】解：∵正五边形ABCDE ，
∴∠ABC=(5-2)×180°÷5=108°，AB=BC，
∴∠BAC=(180°-108°)÷2=36°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】根据正多边形的内角和定理求出∠ABC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
14．【答案】解：当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是；
当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是．
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】由于正六边形有2种对称轴，可按这两种对称轴分别折叠，根据多边形的内角和公式计算即可求解.
15．【答案】（1）∵五边形 ABCDE 是正五边形，
即∠ABC=108°.
（2）△AMN 是正三角形.
理由：连结 ON，NF，由题意，
可得 FN =ON=OF，
∴△FON 是等边三角形，
同理可得：∠ANM=60°，
∴∠MAN =60°， ∴ △MAN 是正三角形.
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴ ∠AON= 120°，
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由多边形的内角和公式先求出正五边形内角和，然后就可以计算出∠ABC的度数，即可解答；
（2）先判断△AMN 是正三角形，然后分别求出∠NMA∠ANM=∠MAN =60°，根据三个角为60°的三角形是等边三角形即可解答；
（3）根据题意和（2）中的结论，先计算出∠NOD的度数，然后用360°除以∠NOD的度数则可计算出n的值即可解答．
1 / 1【基础版】浙教版数学九上3.7 正多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·乌鲁木齐期末）正n边形的中心角是30°，（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：D．
【分析】正n边形的中心角是，据此求解．
2．（2022九上·温州期中）正十二边形的一个外角的度数为（ ）
A．30° B．36° C．144° D．150°
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正十二边形的一个外角＝360°÷12=30°．
故答案为：A．
【分析】根据正十二边形的外角计算公式，即360°÷n，代入边数12，进行计算即可.
3．如图，在正六边形ABCDEF中，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI的度数为（ ）
A．10° B．12° C．14° D．15°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵在正六边形ABCDEF中∠FAB=120°，在正五边形ABGHI中∠IAB=108°，
∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°，
故答案为：B．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
4．（2022九上·镇海区期中）如图， 在正五边形中， 是对角线， 交于点， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形ABCDE是正五边形，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据正五边形的性质可得∠BAE=108°，AE=AB，进而利用等腰三角形的三线合一可求出∠BAF的度数.
5．（2024·甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解： ∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据正多边形的性质得到∠BOA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解.
6．（2024·通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形的中心，轴，点E在双曲线（k为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：过点E作轴于H，连接，如图所示：
∵原点为正六边形的中心，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，
设，则，
∴，，
∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，
∴点在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：A
【分析】过点E作轴于H，连接，先根据正多边形的性质得到进而根据等边三角形的性质得到，从而结合题意运用勾股定理表示出EH，设，则，从而得到，，根据平移的性质得到点在双曲线上，从而根据点E的坐标即可得到，解出m即可求解。
7．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
8．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN
∴ ∠NBC=90°
∵ ABN＝120°
∴ ∠ABC=360°- ∠NBC- ABN＝150°
则正n边形的一个内角为150°
则正n边形的一个外角为30°
∴ n==12
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数n=.结合正方形的性质，可得内角度数和外角度数，求出n即可。
二、填空题
9．（2024七下·重庆市期末）一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形是 边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】设正多边形的每个外角的度数为，则内角为，
，
解得，
即这个正多边形的边数是：．
故答案为：十．
【分析】根据正多边形的一个内角与相邻外角的互补，列方程求解正多边形的外角，再由多边形的外角和等于，即可求出正多边形的边数.、
10．（2022·济宁模拟）如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为 ．
【答案】66°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF=60°，
因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，
所以∠BCF=108°-60°=48°，
因为BC=CF，
所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°．
故答案为：66°．
【分析】先利用正五边形的性质求出∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，再求出∠BCF的度数，最后利用等腰三角形和三角形的内角和求出∠BFC=（180°-48°）÷2=66°即可。
11．（2024·常德模拟）如图是我国清代康熙年间的八角青花碗，其轮廓是一个正八边形，正八边形的每一个内角是 ．
【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得正八边形的每一个内角是
故答案为： .
【分析】根据正多边形的内角和公式即可求解.
12．（2024·镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ ．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18°=36°，
∴n=360÷36=10，
故答案为：10.
【分析】根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，然后根据正多边形的性质求出n的值.
三、解答题
13．用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平，就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE．求的度数．
【答案】解：∵正五边形ABCDE ，
∴∠ABC=(5-2)×180°÷5=108°，AB=BC，
∴∠BAC=(180°-108°)÷2=36°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】根据正多边形的内角和定理求出∠ABC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
14．（2024八上·惠州期末）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合．那么得到的图形是几边形？它的内角和（按一层计算）是多少度？
【答案】解：当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是；
当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是．
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【分析】由于正六边形有2种对称轴，可按这两种对称轴分别折叠，根据多边形的内角和公式计算即可求解.
15．如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法如图⒉
1.作直径AF.
2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.
3.连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些等分点，得到正n边形，求n的值.
【答案】（1）∵五边形 ABCDE 是正五边形，
即∠ABC=108°.
（2）△AMN 是正三角形.
理由：连结 ON，NF，由题意，
可得 FN =ON=OF，
∴△FON 是等边三角形，
同理可得：∠ANM=60°，
∴∠MAN =60°， ∴ △MAN 是正三角形.
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴ ∠AON= 120°，
【知识点】等边三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由多边形的内角和公式先求出正五边形内角和，然后就可以计算出∠ABC的度数，即可解答；
（2）先判断△AMN 是正三角形，然后分别求出∠NMA∠ANM=∠MAN =60°，根据三个角为60°的三角形是等边三角形即可解答；
（3）根据题意和（2）中的结论，先计算出∠NOD的度数，然后用360°除以∠NOD的度数则可计算出n的值即可解答．
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