【提升版】浙教版数学九上4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2019·内江）如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.
2．（2023·嘉定模拟） 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵：：， EF=DF-DE，
∴：：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出：：，再根据平行线分线段成比例可得，最后计算求解即可。
3．（2024·南山模拟） 如图，，若，，，则DF的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB=2，BC=3，EF=6，
∴，
解得：DE=4，
∴DF=DE+EF=4+6=10，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出DE，进而求出DF的值.
4．（2024九下·榆林开学考）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB=2BC，DF=12，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，AB=2BC
∴==2
∴DE=2EF
∵DE+EF=DF，DF=12
∴2EF+EF=12
∴EF=4
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线间的对应线段成比例，进行计算即可.
5．（2023九上·宝山期中）中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： A、由可得，但不能得到；
B、由不一定得到；
C、由可得；
D、由不一定得到．
故答案为：C
【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，据此逐一分析判定．
6．（2023·深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（ ）
A．20cm B．25cm C．30cm D．cm
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图：
过C作CE⊥AQ交BP于点D，交AQ于点E.
∵BP//AQ，
∴，
∵AC=50㎝，竖直部分是由等距且平行的木条构成，
∴
∴CB=30cm.
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例即可解决问题.
7．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴DE=。
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到DE的长度。
8．（2023九上·通川期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作平行横线的垂线，交点BD于点D，交CE于点E，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，AB=3，
AB：BC＝AD：DE ，即3：BC＝2：1，
解得：BC＝，
故答案为：C．
【分析】如图所示，过点A作平行横线的垂线，交点BD于点D，交CE于点E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值计算即可．
二、填空题
9．（2024·浦北模拟）如图，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据平行线等分线段定理得到：据此结合题目已给信息即可求出DF的长度，进而求出BF的长度.
10．（2024九下·自贡月考） 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过作，交于，如图所示：
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：
【分析】过作，交于，进而根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
11．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段 ．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
12．（2024·滨州） 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
⑴的长为 ；
⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）： ．
【答案】；取点E、F，得到正方形ABEF，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由图可知，；
故答案为：；
（2）如图所示，取点E，F，使得四边形ABEF是正方形，
，
设AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接CD，得到矩形ABCD，
DG∥FH，
，
，
此时，矩形ABCD的面积为，
如图所示的矩形ABCD即为所求.
故答案为：取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，利用平行线分线段成比例定理可得，进而根据矩形面积计算方法即可验证．
三、解答题
13．（2024九上·德惠期末）如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点、、和点、、，已知，，，，求的长度是？
【答案】解：，
，
，
，
，
，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】从已知条件入手，已知一组平行线分线段，马上想到相似三角形的性质定理或平行线分线段成比例的定理，再从问题入手，线段DE是线段DO和线段OE的和，观图易由三角形相似的判定和性质定理可先求得OE，同理可求DO，则DE的长度可求。
14．（2021八下·龙泉驿期末）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12.求EG，FG的长.
【答案】解：∵在△ABC中，EG//BC
∴
∵BC=10，AE=9，AB=12，
∴ ，即EG= =7.5
在△BAD中，EF//AD
∴
∵AD =5，AE=9，AB=12，
∴BE=AB-AE=3
∴ ，EF= =1.25
∴FG=EG-EF=7.5-1.25=6.25.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】利用平行线分线等成比列定理，可得到比列式 ，代入计算可求出EG的长；由 EF//AD 可证得，再求出BE的长，代入计算可求出EF的长；然后根据FG=EG-EF，可求出FG的长.
四、综合题
15．（2022九上·宁波期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F.
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∵DE=7
∴EF=4
（2）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∴
∵EF=9
∴DE=6，DF=15
∵ = ，x>0
∴x=
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，即可求出EF的长.
（2）利用已知AD∥BE∥CF，可证得 ，即可求出DE，DF的长；再根据线段x是线段DE和线段DF的比例中项，可求出x的值.
16．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
五、实践探究题
17．（2024八下·贵港期末） 综合与实践课本再现
思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：在中，对角线，垂足为O. 求证：是菱形. 证明：四边形是平行四边形， 又∵、垂足为O， 是的垂直平分线， ▲ 是菱形.
（1）上述证明定理过程中的横线上填的内容是 ；
（2）知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，，，.
①求证：是菱形；
②延长至点E，连接交于点F，若，求的值.
【答案】（1）（或）
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，
，.
在中，，，
，
是直角三角形，且，
，
平行四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∵
∵
如图所示，过点O作交于点G，
，
，
.
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（1）四边形是平行四边形，
又∵、垂足为O，
是的垂直平分线，
AB=AD（或CB=CD）
是菱形.
故答案为：AB=AD（或CB=CD）.
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AOB≌△COB得出AB=CB，同理可得△DOA≌△ODC，则DA=DC，AB=CD，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；
（2）①勾股定理的逆定理证明△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，得出AC⊥BD，即可得证；
②根据菱形的性质结合已知条件得出∠E=∠COE，则OC=OE=AC=4，过点O作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例求得CG=CB=，然后根据平行线分线段成比例即可求解.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2019·内江）如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·嘉定模拟） 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·南山模拟） 如图，，若，，，则DF的长度是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2024九下·榆林开学考）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB=2BC，DF=12，则EF的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2023九上·宝山期中）中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（ ）
A．20cm B．25cm C．30cm D．cm
7．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·通川期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题
9．（2024·浦北模拟）如图，，则的长是 ．
10．（2024九下·自贡月考） 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
11．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点、、都在横格线上若线段，则线段 ．
12．（2024·滨州） 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
⑴的长为 ；
⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）： ．
三、解答题
13．（2024九上·德惠期末）如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点、、和点、、，已知，，，，求的长度是？
14．（2021八下·龙泉驿期末）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12.求EG，FG的长.
四、综合题
15．（2022九上·宁波期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F.
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
16．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
五、实践探究题
17．（2024八下·贵港期末） 综合与实践课本再现
思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 已知：在中，对角线，垂足为O. 求证：是菱形. 证明：四边形是平行四边形， 又∵、垂足为O， 是的垂直平分线， ▲ 是菱形.
（1）上述证明定理过程中的横线上填的内容是 ；
（2）知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，，，.
①求证：是菱形；
②延长至点E，连接交于点F，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.
2．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵：：， EF=DF-DE，
∴：：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出：：，再根据平行线分线段成比例可得，最后计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB=2，BC=3，EF=6，
∴，
解得：DE=4，
∴DF=DE+EF=4+6=10，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，求出DE，进而求出DF的值.
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，AB=2BC
∴==2
∴DE=2EF
∵DE+EF=DF，DF=12
∴2EF+EF=12
∴EF=4
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线间的对应线段成比例，进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： A、由可得，但不能得到；
B、由不一定得到；
C、由可得；
D、由不一定得到．
故答案为：C
【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，据此逐一分析判定．
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图：
过C作CE⊥AQ交BP于点D，交AQ于点E.
∵BP//AQ，
∴，
∵AC=50㎝，竖直部分是由等距且平行的木条构成，
∴
∴CB=30cm.
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例即可解决问题.
7．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴DE=。
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到DE的长度。
8．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作平行横线的垂线，交点BD于点D，交CE于点E，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，AB=3，
AB：BC＝AD：DE ，即3：BC＝2：1，
解得：BC＝，
故答案为：C．
【分析】如图所示，过点A作平行横线的垂线，交点BD于点D，交CE于点E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值计算即可．
9．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据平行线等分线段定理得到：据此结合题目已给信息即可求出DF的长度，进而求出BF的长度.
10．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过作，交于，如图所示：
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：
【分析】过作，交于，进而根据平行线分线段成比例结合题意即可求解。
11．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：，
∵AB=2，
∴BC=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将AB的值代入求出BC的长即可.
12．【答案】；取点E、F，得到正方形ABEF，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由图可知，；
故答案为：；
（2）如图所示，取点E，F，使得四边形ABEF是正方形，
，
设AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接CD，得到矩形ABCD，
DG∥FH，
，
，
此时，矩形ABCD的面积为，
如图所示的矩形ABCD即为所求.
故答案为：取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，利用平行线分线段成比例定理可得，进而根据矩形面积计算方法即可验证．
13．【答案】解：，
，
，
，
，
，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】从已知条件入手，已知一组平行线分线段，马上想到相似三角形的性质定理或平行线分线段成比例的定理，再从问题入手，线段DE是线段DO和线段OE的和，观图易由三角形相似的判定和性质定理可先求得OE，同理可求DO，则DE的长度可求。
14．【答案】解：∵在△ABC中，EG//BC
∴
∵BC=10，AE=9，AB=12，
∴ ，即EG= =7.5
在△BAD中，EF//AD
∴
∵AD =5，AE=9，AB=12，
∴BE=AB-AE=3
∴ ，EF= =1.25
∴FG=EG-EF=7.5-1.25=6.25.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】利用平行线分线等成比列定理，可得到比列式 ，代入计算可求出EG的长；由 EF//AD 可证得，再求出BE的长，代入计算可求出EF的长；然后根据FG=EG-EF，可求出FG的长.
15．【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∵DE=7
∴EF=4
（2）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∴
∵EF=9
∴DE=6，DF=15
∵ = ，x>0
∴x=
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，即可求出EF的长.
（2）利用已知AD∥BE∥CF，可证得 ，即可求出DE，DF的长；再根据线段x是线段DE和线段DF的比例中项，可求出x的值.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
17．【答案】（1）（或）
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，
，.
在中，，，
，
是直角三角形，且，
，
平行四边形是菱形；
②∵四边形是菱形；
∵
∵
如图所示，过点O作交于点G，
，
，
.
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（1）四边形是平行四边形，
又∵、垂足为O，
是的垂直平分线，
AB=AD（或CB=CD）
是菱形.
故答案为：AB=AD（或CB=CD）.
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AOB≌△COB得出AB=CB，同理可得△DOA≌△ODC，则DA=DC，AB=CD，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；
（2）①勾股定理的逆定理证明△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，得出AC⊥BD，即可得证；
②根据菱形的性质结合已知条件得出∠E=∠COE，则OC=OE=AC=4，过点O作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例求得CG=CB=，然后根据平行线分线段成比例即可求解.
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