【基础版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
2．（2023九上·衡阳期末）如图，能使∽成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意；
若添加 ，得不到∽，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解.
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵对于A选项：，则，故A选项不符合题意；对于B选项：∵，则，故B选项不符合题意；对于C选项：根据不能判定，则C选项符合题意；对于D选项：∵，∴，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据已知条件再根据选项条件进行逐项判定即可.
4．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
5．（2023九上·嘉定期中）下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，，；
B．，，，，；
C．，；
D．，
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，，，，
∴，
∴，
∴；故B不符合题意；
如图，
∵，，
∴，
∴即，
∴；故C不符合题意；
∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
6．（2023九上·潜山期中）如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD，即∠AOB=∠COD.
A、∠A=∠D，对应的两角相等，可以证明，A符合题意；
B、∠B=∠BOC，不是对应角，不可以证明，B不符合题意；
C、不是对应边成比例，不可以证明，C不符合题意；
D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理解题即可.
7．如图4-4所示，在Rt中，为斜边AB上一点.过点作直线截.若截得的三角形与相似，则这样的直线最多有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt △ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC 的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.
8．（2024九上·阜平期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：依题意，，
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·简阳期末）如图所示，要使得，需要补充的一个条件可以是 （只需要填写一个即可）。
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
可补充或或 使得，
故答案为：或或 .
【分析】由图得到∠A=∠A，再根据相似三角形的判定定理补充条件即可求解.
10．（2024九上·四平期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。
11．（2023九上·南山月考）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
过点D作DF⊥x轴于点F.
∵AB⊥AO，
∴∠DFO=∠BAO=90°，
又∵∠DOF=∠BOA，
∴△DOF∽△BOA.
∴.
设反比例函数表达式为，D点坐标，
∴.
∴，
可得点B坐标为.
∵BC∥AO，点C在双曲线上，
∴可得点C坐标为
∴，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，结合AB⊥AO，证得△DOF∽△BOA，于是有，设出点D坐标，可据此表示出点B和点C的坐标，再表示出△OBC的面积令等于3，即可得k的值.
12．（2023九上·上海市期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．
【答案】4.5
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】图中与△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形如图所示，
故答案为：4.5.
【分析】利用相似三角形的性质画出面积最大的三角形，再利用三角形面积公式代入数据即可求解.
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
14．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过A作于G，
由（1）知，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据同角或等角的余角相等证得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证得 ；
（2）过A作于G， 先由得到 ，再利勾股定理求出AG的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.
15．（2024九上·兰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵，
∴AC BC＝AB CD，
∴CD＝，
∵CD⊥AB，
∴BD＝.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得到∠ADC＝∠ACB，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB，进而结合三角形的面积运用勾股定理即可求解。
1 / 1【基础版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·衡阳期末）如图，能使∽成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②；
③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023九上·嘉定期中）下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，，；
B．，，，，；
C．，；
D．，
6．（2023九上·潜山期中）如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图4-4所示，在Rt中，为斜边AB上一点.过点作直线截.若截得的三角形与相似，则这样的直线最多有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（2024九上·阜平期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·简阳期末）如图所示，要使得，需要补充的一个条件可以是 （只需要填写一个即可）。
10．（2024九上·四平期末）如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，．
11．（2023九上·南山月考）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是 ．
12．（2023九上·上海市期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
13．（2019九上·乐安期中）如图，已知 ， ， ，求 的度数．
14．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
15．（2024九上·兰州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加，得不到∽，不符合题意；
若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意；
若添加 ，得不到∽，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵对于A选项：，则，故A选项不符合题意；对于B选项：∵，则，故B选项不符合题意；对于C选项：根据不能判定，则C选项符合题意；对于D选项：∵，∴，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据已知条件再根据选项条件进行逐项判定即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴，故②符合题意；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，；故①④符合题意；
与只有一组角相等，无法证明相似，
∴故③不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，，，，
∴，
∴，
∴；故B不符合题意；
如图，
∵，，
∴，
∴即，
∴；故C不符合题意；
∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD，即∠AOB=∠COD.
A、∠A=∠D，对应的两角相等，可以证明，A符合题意；
B、∠B=∠BOC，不是对应角，不可以证明，B不符合题意；
C、不是对应边成比例，不可以证明，C不符合题意；
D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理解题即可.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt △ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC 的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：依题意，，
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可．
9．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由图可得∠A=∠A，
可补充或或 使得，
故答案为：或或 .
【分析】由图得到∠A=∠A，再根据相似三角形的判定定理补充条件即可求解.
10．【答案】70
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
时，
，，
．
故答案为：70．
【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。
11．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
过点D作DF⊥x轴于点F.
∵AB⊥AO，
∴∠DFO=∠BAO=90°，
又∵∠DOF=∠BOA，
∴△DOF∽△BOA.
∴.
设反比例函数表达式为，D点坐标，
∴.
∴，
可得点B坐标为.
∵BC∥AO，点C在双曲线上，
∴可得点C坐标为
∴，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，结合AB⊥AO，证得△DOF∽△BOA，于是有，设出点D坐标，可据此表示出点B和点C的坐标，再表示出△OBC的面积令等于3，即可得k的值.
12．【答案】4.5
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】图中与△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形如图所示，
故答案为：4.5.
【分析】利用相似三角形的性质画出面积最大的三角形，再利用三角形面积公式代入数据即可求解.
13．【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可．
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过A作于G，
由（1）知，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据同角或等角的余角相等证得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证得 ；
（2）过A作于G， 先由得到 ，再利勾股定理求出AG的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.
15．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB．
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∵，
∴AC BC＝AB CD，
∴CD＝，
∵CD⊥AB，
∴BD＝.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得到∠ADC＝∠ACB，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB，进而结合三角形的面积运用勾股定理即可求解。
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