【培优版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·哈尔滨开学考）如图，点是□ABCD的边BA延长线上一点，连接CE，交边AD于点F，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·叙州模拟）如图，的顶点在第一象限内，边在轴正半轴上，点为原点，反比例函数交于点，交于点，且点为中点，，若的面积为14，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·广州月考）如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·桥西期末）在中，，，，为边一点且，若过点作直线截，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
5．（2024九上·深圳期末）如图，在矩形中，以A为圆心，长为半径画圆弧，交于点E，以E为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点F，连接分别与、交于点M、N，连接，下列结论中下列结论中错误的是（ ）
A．四边形为菱形 B．
C． D．
6．（2024·杭州模拟）如图，在△ABC中，点D是AB上一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG=2DG，点H是线段CF上一点，CH=2HF，连接AG，AH，GH，HE. 若已知△AGH的面积，则一定能求出（ ）
A．△ABC的面积 B．△ADE的面积
C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积
7．（2024·金华模拟）如图，四个全等的直角三角形排成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长，交BC于点，点为BC的中点.若，则AE的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．（2023九上·鄞州月考）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若CP=4，则有3种不同的剪法；乙：若CP=2，则有4种不同的剪法；
丙：若CP=1，则有3种不同的剪法．
A．只有甲错 B．只有乙错
C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对
二、填空题
9．（2024·安新模拟）如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点E，已知BE＝CE，AB＝AD，∠ECB＝2∠ABD，若BD＝16，AC＝11，则边AB的长为 ．
10．（2024九下·深圳期中）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
11．（2024·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则的值为 ．
12．（2024·深圳模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
13．（2024·河北）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1）△AC1D1的面积为 ；
（2）△B1C4D3的面积为 ．
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）矩形ABCD中，M，N分别是边AB，BC上的两个动点.
（1）如图，当 DM⊥ MN，AM=BM时. 求证：①△DAM∽△MBN；②DN=AD+BN.
（2）当 AB=5，BC=3 时，是否存在点 M的某个位置，使得△DAM∽△MBN∽△DCN，
若存在，求 AM的长. 若不存在，说明理由.
（3）是否存在矩形 ABCD，使得△DAM，△MBN，△DCN都和△DMN相似，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
15．（2024·重庆）如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
四、实践探究题
16．（2024九下·榆树开学考）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ ．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
17．（2023·铜仁模拟）中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作菱形，使，连接．
（1）观察猜想：如图，当点在线段上时，
与的位置关系为： ．
，，之间的数量关系为： ；
（2）数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，设与相交于点，若已知，，求的长．
18．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB= CD，AB//CD，AD= BC，AD//BC
∴△AEF~△DCF
∴==
故A、B、C不符合题意
∵△AEF~△DCF
∴=
∴=
即=
∴=
故选项D符合题意
故选D.
【分析】本题主要考查相似三角形判断很性质、平行四边形的性质，根据相似三角形进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
过点E作于点F，过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
设，
∴，且，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
整理得：，
代入得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，根据AB=4BC可得，设，，利用三角形面积及相似三角形的判定和性质求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2cm，AD=BC=3cm.
∴∠APE+∠AEP=90°
∴∠CPD=∠AEP.
∴△APE∽△DCP.
∴
即，
∴，
∴
∵0
∴时，BE取得最小值，
即线段最短时，的长为1.5cm.
故答案为：D.
【分析】根据矩形性质和等腰直角三角形性质，得∠MPN=∠A=∠D=90°，于是可证得△APE∽△DCP，根据相似三角形性质可得，用AP表示出AE，即可得到BE关于AP的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G
则△ADE∽△ABC，△BDG∽△BAC，过D作∠ADF=∠C交AC于点F
∵∠A=∠A
∴△ADF∽△ACB
同理，作∠BDH=∠C交BC于H
则△BDH∽△BCA
∴满足这样条件的直线可作4条
故答案为：C
【分析】作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G，根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得，AD=AE=EF，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥EF，
∴ 四边形AEFD为菱形，故A项不符合题意；
∵ AD∥EF，
∴ ∠ADN=∠FCN，∠DAN=∠CFN，
∴ △CFN∽△DAN，故C项不符合题意；
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠B=∠DCB=90°，AB=DC，
∴ ∠B=∠DCF，
∵ 四边形AEFD为菱形，
∴ AE=DF，
∴ △ABE≌△DCF（HL），故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥EF，根据菱形的判定即可判断A；根据平行线的性质可得∠ADN=∠FCN，∠DAN=∠CFN，再根据相似三角形的判定即可判断B；根据矩形的性质和菱形的性质可根据HL判定△ABE≌△DCF，即可判断D，而B项不能推出.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，
∵EF//AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵EG=2DG，CH=2HF，
∴DG=DE，FH=FC，
∴，
∴，
∵∠ADE=∠EFC，
∴△ADG∽△EFH，
∴∠DAG=∠FEH，
∵EF//AB，
∴∠DAE=∠FEC，
∴∠DAE-∠DAG=∠FEC-∠FEH，即∠GAE=∠HEC，
∴AG//EH，
∴S△AGH=S△AGE，
∵EG=2DG，
∴，
∴，
∴S△ADE=S△ADG，
∴S△ADE=S△AGH，
∴已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积，
故答案为：B.
【分析】先证出△ADE∽△EFC，可得，再结合DG=DE，FH=FC，求出，再证出△ADG∽△EFH，可得∠DAG=∠FEH，再证出AG//EH，可得S△AGH=S△AGE，再结合EG=2DG，求出，再求出S△ADE=S△AGH，可得已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积，从而得解.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形 ，△BCG≌△CDH≌△ABF≌△DAE，
EF=HG=FG=2，BG⊥HC，DH⊥HG，
∴∠DHG=∠BGC=90°，
∵△BCG是直角三角形，且P为BC中点，
故PG=PC=BP.
∴∠DGH=∠PGC=∠PCG，
∴△GDH∽△CBG.
∴，即
解得：(舍负).
故.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质和全等三角形性质可得EF=HG=FG=2，∠DHG=∠BGC=90°，根据直角三角形斜边中线性质得PG=PC=BP，于是可得∠DGH=∠PCG.利用△GDH∽△CBG得到，可求得DH长，从而可得AE.
8．【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过P作交AB于D，作交AC于E，则，；
过P作，交AB于F，则，此时，；
过P作，交AC于F，则，此时，，；
当时，有4种不同的剪法；当时，有3种不同的剪法，甲和乙对，丙错 .
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，得到的长的取值范围.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点A作AF//BC交BD于点F，如图所示：
设∠ABD=x，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=x，
∵∠ECB=2∠ABD=2x，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=2x，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠EBC=2x，
∵∠AFE=∠ADF+∠DAF，
∴2x=x+∠DAF，
∴∠DAF=x，
∵∠AFE=∠CBE，∠AEF=∠CEB，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∴，
∴AE=FE，
∴AE+CE=FE+BE，即AC=BF=11，
∴DF=BD-BF=16-11=5，
∵∠DAF=∠ADF=x，
∴AF=DF=5，
∵∠FDA=∠ADB=x，∠FAD=∠ABD=x，
∴△FAD∽△ADB，
∴，
∴DA2=DF×DB=5×16=80，
∴DA=（负值舍），
∴AB=AD=，
故答案为：.
【分析】过点A作AF//BC交BD于点F，先证出△AFE∽△CBE，可得，证出，再求出AE+CE=FE+BE，即AC=BF=11，利用线段的和差求出DF的长，再证出△FAD∽△ADB，可得，再将数据代入求出AD的长，即可得到AB=AD=，从而得解.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设图中阴影部分的面积从左向右依次为S1，S2，S3，
根据题意得：S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，则S1=k，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
∴S2：S△OB2C2=1：4，S3：S△OB3C3=1：9，
∴S2=k，S3=k，
∴ 图中阴影部分的面积之和=k+k+k=.
故答案为：.
【分析】先根据反比例函数k的几何意义，可得S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出三个阴影部分的面积，再相加即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，设AD=a，AB=b.
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=BC=a，AB=DC=b，AB//CD，.
∵E是AB的中点，
∴.
∴.
∵AE//CD，
∴△AEG∽△CDG.
∴.
∴.
∵∠ADC=∠DCF=90°，DH⊥AC
∴∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠FDC=∠DAC，
∴△FDC∽△CAD.
∴.
∴
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF.
∴.
∴.
∴.
∴.
解得：.
∴，，
∵ ，DH⊥AC ，
∴∠DHG=∠DEF=90°，
∵∠HDG=∠EDF，
∴△HDG∽△EDF.
∴.
【分析】利用矩形性质得∠ABC=∠DBC=∠ADC=∠DAB=90°，AB//CD.根据E是AB的中点得AE=BE.设AD=a，AB=b，表示出ED的长，证明△AEG∽△CDG.得，可表示出DG；证明△FDC∽△CAD，得，可表示出FC，证明△ADE∽△BEF，得，可表示出BF，从而得CF，联立，得到a与b的数量关系，从而可表示用b表示出DG，FC，DF，最后证明△HDG∽△EDF，得，代入DG和DF即可得到结果.
12．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
13．【答案】（1）1
（2）7
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）连接、、、、，如图所示：
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）易证，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：
【分析】（1）连接、、、、，先根据三角形的面积及其中线的性质得到，进而根据五等分点和四等分点的定义得到，，再根据中点得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，即可求解；
（2）先证明得到，，进而结合题意得到、、三点共线，从而结合题意即可得到，，再根据题意结合相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据已知条件即可得到，进而根据“”即可求解。
14．【答案】（1）解：①∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠DAM+∠AMD=90°，
∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠BMN=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∴△DAM∽△MBN；
②过点M作MG⊥DN于点G，
∵△DAM∽△MBN，
∴，
∵AM=BM，
∴，
∵∠A=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN，
∴∠ADM=∠MDN，
∵∠A=∠DGM，
∴∠DMA=∠DMG，
∵AD⊥AB，MG⊥DN，
∴AD=DG，
同理可知BN=NG
∴DN=DG+NG=AD+BN.
（2）解：存在，AM=1
设AM=x，则BM=5-x，
∵△DAM ∽△MBN ∽△DCN，
∴
∴即，
由①×②得
∴，
∴
解之：x1=1，x2=9（舍去），
∴AM=1.
（3）解：存在，
设AD=1，AB=2m，
由（1）可知，
点M是AB的中点时，△DAM∽△MBN∽△DMN，
∴AM=BM=m，
由（2）可知
当△DAM∽△MBN∽△DCN时，
即，
∵m＞0
解之：，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠A=∠B=90°，∠DMN=90°，利用余角的性质可推出∠ADM=∠BMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；②过点M作MG⊥DN于点G，利用相似三角形的性质可证得，由AM=BM，可证得，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△DAM∽△DMN，利用相似三角形的对应角相等，可证得∠ADM=∠MDN，可推出∠DMA=∠DMG，利用角平分线的性质可证得AD=DG，同理可得到BN=NG，据此可证得结论.
（2）设AM=x，则BM=5-x，利用相似三角形的性质可证得，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM的长.
（3）设AD=1，AB=2m，由（1）可表示出AM，BM的长，由（2），利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
15．【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象性质与不等式的综合，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键。
（1）由PQ∥BC得，则，可得函数解析式；
（2）结合函数解析式，利用描点法画出函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图像，计算y1=y2时的交点横坐标，以交点横坐标为分界，写出y1＞y2时x的取值范围。
16．【答案】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是PR的中点，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中点，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案为：；
（3）解：∵E是AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案为：2．
【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明 △ADE∽△ABC ，即可证明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)连接AR，在△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线定义求DE，即可求EF.
17．【答案】（1）；
（2）解：结论成立，而结论不成立．
证明：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
又菱形中，，
≌，
，
又，
，
；
≌
，
又，
；
（3）解：如图，连接，过作于，则，，
中，，
，，
是等边三角形，
又，，
，
≌，
，，
又，
∽，
，
可设，则，，，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵菱形ADEF中，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABD=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∴AB∥CF；
②∵△ABD≌△ACF
∴BD=CF，
又∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC，
故答案为：AB∥CF；CF+CD=BC；
【分析】（1）①证明△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质，即可得证；
②根据△DAB≌△FAC可得CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；
（2）同（1）的方法证明即可求解；
（3）证明ABD≌△ACF，得出，进而证明△AGF∽△BAD，进而根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
18．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
1 / 1【培优版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·哈尔滨开学考）如图，点是□ABCD的边BA延长线上一点，连接CE，交边AD于点F，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB= CD，AB//CD，AD= BC，AD//BC
∴△AEF~△DCF
∴==
故A、B、C不符合题意
∵△AEF~△DCF
∴=
∴=
即=
∴=
故选项D符合题意
故选D.
【分析】本题主要考查相似三角形判断很性质、平行四边形的性质，根据相似三角形进行判断即可.
2．（2024·叙州模拟）如图，的顶点在第一象限内，边在轴正半轴上，点为原点，反比例函数交于点，交于点，且点为中点，，若的面积为14，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
过点E作于点F，过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
设，
∴，且，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
整理得：，
代入得：，
故答案为：C
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，根据AB=4BC可得，设，，利用三角形面积及相似三角形的判定和性质求解即可。
3．（2024九下·广州月考）如图，一块矩形木板，长，宽，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点上，另一条直角边与边交于点，三角板的直角顶点在边上移动（不含端点），当线段最短时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2cm，AD=BC=3cm.
∴∠APE+∠AEP=90°
∴∠CPD=∠AEP.
∴△APE∽△DCP.
∴
即，
∴，
∴
∵0∴时，BE取得最小值，
即线段最短时，的长为1.5cm.
故答案为：D.
【分析】根据矩形性质和等腰直角三角形性质，得∠MPN=∠A=∠D=90°，于是可证得△APE∽△DCP，根据相似三角形性质可得，用AP表示出AE，即可得到BE关于AP的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题.
4．（2024九上·桥西期末）在中，，，，为边一点且，若过点作直线截，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G
则△ADE∽△ABC，△BDG∽△BAC，过D作∠ADF=∠C交AC于点F
∵∠A=∠A
∴△ADF∽△ACB
同理，作∠BDH=∠C交BC于H
则△BDH∽△BCA
∴满足这样条件的直线可作4条
故答案为：C
【分析】作DE∥BC交AC于点E，作DG∥AC交BC于点G，根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
5．（2024九上·深圳期末）如图，在矩形中，以A为圆心，长为半径画圆弧，交于点E，以E为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点F，连接分别与、交于点M、N，连接，下列结论中下列结论中错误的是（ ）
A．四边形为菱形 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得，AD=AE=EF，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥EF，
∴ 四边形AEFD为菱形，故A项不符合题意；
∵ AD∥EF，
∴ ∠ADN=∠FCN，∠DAN=∠CFN，
∴ △CFN∽△DAN，故C项不符合题意；
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠B=∠DCB=90°，AB=DC，
∴ ∠B=∠DCF，
∵ 四边形AEFD为菱形，
∴ AE=DF，
∴ △ABE≌△DCF（HL），故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥EF，根据菱形的判定即可判断A；根据平行线的性质可得∠ADN=∠FCN，∠DAN=∠CFN，再根据相似三角形的判定即可判断B；根据矩形的性质和菱形的性质可根据HL判定△ABE≌△DCF，即可判断D，而B项不能推出.
6．（2024·杭州模拟）如图，在△ABC中，点D是AB上一点(不与点A，B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG=2DG，点H是线段CF上一点，CH=2HF，连接AG，AH，GH，HE. 若已知△AGH的面积，则一定能求出（ ）
A．△ABC的面积 B．△ADE的面积
C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，
∵EF//AB，
∴∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵EG=2DG，CH=2HF，
∴DG=DE，FH=FC，
∴，
∴，
∵∠ADE=∠EFC，
∴△ADG∽△EFH，
∴∠DAG=∠FEH，
∵EF//AB，
∴∠DAE=∠FEC，
∴∠DAE-∠DAG=∠FEC-∠FEH，即∠GAE=∠HEC，
∴AG//EH，
∴S△AGH=S△AGE，
∵EG=2DG，
∴，
∴，
∴S△ADE=S△ADG，
∴S△ADE=S△AGH，
∴已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积，
故答案为：B.
【分析】先证出△ADE∽△EFC，可得，再结合DG=DE，FH=FC，求出，再证出△ADG∽△EFH，可得∠DAG=∠FEH，再证出AG//EH，可得S△AGH=S△AGE，再结合EG=2DG，求出，再求出S△ADE=S△AGH，可得已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积，从而得解.
7．（2024·金华模拟）如图，四个全等的直角三角形排成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长，交BC于点，点为BC的中点.若，则AE的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形 ，△BCG≌△CDH≌△ABF≌△DAE，
EF=HG=FG=2，BG⊥HC，DH⊥HG，
∴∠DHG=∠BGC=90°，
∵△BCG是直角三角形，且P为BC中点，
故PG=PC=BP.
∴∠DGH=∠PGC=∠PCG，
∴△GDH∽△CBG.
∴，即
解得：(舍负).
故.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质和全等三角形性质可得EF=HG=FG=2，∠DHG=∠BGC=90°，根据直角三角形斜边中线性质得PG=PC=BP，于是可得∠DGH=∠PCG.利用△GDH∽△CBG得到，可求得DH长，从而可得AE.
8．（2023九上·鄞州月考）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=10，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若CP=4，则有3种不同的剪法；乙：若CP=2，则有4种不同的剪法；
丙：若CP=1，则有3种不同的剪法．
A．只有甲错 B．只有乙错
C．只有丙错 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，过P作交AB于D，作交AC于E，则，；
过P作，交AB于F，则，此时，；
过P作，交AC于F，则，此时，，；
当时，有4种不同的剪法；当时，有3种不同的剪法，甲和乙对，丙错 .
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，得到的长的取值范围.
二、填空题
9．（2024·安新模拟）如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点E，已知BE＝CE，AB＝AD，∠ECB＝2∠ABD，若BD＝16，AC＝11，则边AB的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点A作AF//BC交BD于点F，如图所示：
设∠ABD=x，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=x，
∵∠ECB=2∠ABD=2x，BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=2x，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠EBC=2x，
∵∠AFE=∠ADF+∠DAF，
∴2x=x+∠DAF，
∴∠DAF=x，
∵∠AFE=∠CBE，∠AEF=∠CEB，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∴，
∴AE=FE，
∴AE+CE=FE+BE，即AC=BF=11，
∴DF=BD-BF=16-11=5，
∵∠DAF=∠ADF=x，
∴AF=DF=5，
∵∠FDA=∠ADB=x，∠FAD=∠ABD=x，
∴△FAD∽△ADB，
∴，
∴DA2=DF×DB=5×16=80，
∴DA=（负值舍），
∴AB=AD=，
故答案为：.
【分析】过点A作AF//BC交BD于点F，先证出△AFE∽△CBE，可得，证出，再求出AE+CE=FE+BE，即AC=BF=11，利用线段的和差求出DF的长，再证出△FAD∽△ADB，可得，再将数据代入求出AD的长，即可得到AB=AD=，从而得解.
10．（2024九下·深圳期中）如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设图中阴影部分的面积从左向右依次为S1，S2，S3，
根据题意得：S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，则S1=k，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
∴S2：S△OB2C2=1：4，S3：S△OB3C3=1：9，
∴S2=k，S3=k，
∴ 图中阴影部分的面积之和=k+k+k=.
故答案为：.
【分析】先根据反比例函数k的几何意义，可得S△OB1C1=S△OB2C2=S△OB3C3=k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出三个阴影部分的面积，再相加即可.
11．（2024·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，设AD=a，AB=b.
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=BC=a，AB=DC=b，AB//CD，.
∵E是AB的中点，
∴.
∴.
∵AE//CD，
∴△AEG∽△CDG.
∴.
∴.
∵∠ADC=∠DCF=90°，DH⊥AC
∴∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠FDC=∠DAC，
∴△FDC∽△CAD.
∴.
∴
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF.
∴.
∴.
∴.
∴.
解得：.
∴，，
∵ ，DH⊥AC ，
∴∠DHG=∠DEF=90°，
∵∠HDG=∠EDF，
∴△HDG∽△EDF.
∴.
【分析】利用矩形性质得∠ABC=∠DBC=∠ADC=∠DAB=90°，AB//CD.根据E是AB的中点得AE=BE.设AD=a，AB=b，表示出ED的长，证明△AEG∽△CDG.得，可表示出DG；证明△FDC∽△CAD，得，可表示出FC，证明△ADE∽△BEF，得，可表示出BF，从而得CF，联立，得到a与b的数量关系，从而可表示用b表示出DG，FC，DF，最后证明△HDG∽△EDF，得，代入DG和DF即可得到结果.
12．（2024·深圳模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，如图，
∵正比例函数y=ax ( a>0)的图象与反比例函数(k>0)都关于y=-x对称，且图象交于A， B两点，
∴OA=OB.
S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC
∵AC=2AD，S△BCD=18，设点A坐标.
∴，
.
∴.
∵AE⊥y轴，
∴∠DAE=∠DOC=90°，
又∵∠EDA=∠ODC
∴△EDA∽△ODC.
∴，
∴.
∴.
∴，
∴k=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】作AF⊥x轴于点F，过AE⊥y轴与点E，根据两个函数的对称性可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△AOD=6，S△COD=9，证明△EDA∽△ODC，利用相似三角形的性质求得，于是可得，根据反比例函数k的几何意义，即可得到k值.
13．（2024·河北）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点．
（1）△AC1D1的面积为 ；
（2）△B1C4D3的面积为 ．
【答案】（1）1
（2）7
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）连接、、、、，如图所示：
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）易证，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：
【分析】（1）连接、、、、，先根据三角形的面积及其中线的性质得到，进而根据五等分点和四等分点的定义得到，，再根据中点得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，即可求解；
（2）先证明得到，，进而结合题意得到、、三点共线，从而结合题意即可得到，，再根据题意结合相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据已知条件即可得到，进而根据“”即可求解。
三、解答题
14．（2023九上·义乌月考）矩形ABCD中，M，N分别是边AB，BC上的两个动点.
（1）如图，当 DM⊥ MN，AM=BM时. 求证：①△DAM∽△MBN；②DN=AD+BN.
（2）当 AB=5，BC=3 时，是否存在点 M的某个位置，使得△DAM∽△MBN∽△DCN，
若存在，求 AM的长. 若不存在，说明理由.
（3）是否存在矩形 ABCD，使得△DAM，△MBN，△DCN都和△DMN相似，若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠DAM+∠AMD=90°，
∵DM⊥MN，
∴∠DMN=90°，
∴∠AMD+∠BMN=90°，
∴∠ADM=∠BMN，
∴△DAM∽△MBN；
②过点M作MG⊥DN于点G，
∵△DAM∽△MBN，
∴，
∵AM=BM，
∴，
∵∠A=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN，
∴∠ADM=∠MDN，
∵∠A=∠DGM，
∴∠DMA=∠DMG，
∵AD⊥AB，MG⊥DN，
∴AD=DG，
同理可知BN=NG
∴DN=DG+NG=AD+BN.
（2）解：存在，AM=1
设AM=x，则BM=5-x，
∵△DAM ∽△MBN ∽△DCN，
∴
∴即，
由①×②得
∴，
∴
解之：x1=1，x2=9（舍去），
∴AM=1.
（3）解：存在，
设AD=1，AB=2m，
由（1）可知，
点M是AB的中点时，△DAM∽△MBN∽△DMN，
∴AM=BM=m，
由（2）可知
当△DAM∽△MBN∽△DCN时，
即，
∵m＞0
解之：，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）①利用矩形的性质和垂直的定义可证得∠A=∠B=90°，∠DMN=90°，利用余角的性质可推出∠ADM=∠BMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；②过点M作MG⊥DN于点G，利用相似三角形的性质可证得，由AM=BM，可证得，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△DAM∽△DMN，利用相似三角形的对应角相等，可证得∠ADM=∠MDN，可推出∠DMA=∠DMG，利用角平分线的性质可证得AD=DG，同理可得到BN=NG，据此可证得结论.
（2）设AM=x，则BM=5-x，利用相似三角形的性质可证得，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AM的长.
（3）设AD=1，AB=2m，由（1）可表示出AM，BM的长，由（2），利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
15．（2024·重庆）如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象性质与不等式的综合，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键。
（1）由PQ∥BC得，则，可得函数解析式；
（2）结合函数解析式，利用描点法画出函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图像，计算y1=y2时的交点横坐标，以交点横坐标为分界，写出y1＞y2时x的取值范围。
四、实践探究题
16．（2024九下·榆树开学考）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想： DE∥BC，且DE＝BC 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝ ．
（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴，
∴△ADE∽△ABC，
∴，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，DE＝BC；
（2）
（3）2
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）解：连接AR，
∵E是AP的中点，F是PR的中点，
∴EF＝AR，
∵R是CD的中点，
∴DR＝CD，
∵CD＝4，
∴DR＝2，
∵AD＝6，
∴AR＝2，
∴EF＝，
故答案为：；
（3）解：∵E是AC的中点，
∴DE＝BC，
∵BC＝16，
∴DE＝8，
∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB，
∵AB＝12，
∴DF＝6，
∴EF＝2，
故答案为：2．
【分析】(1)利用两边成比例且夹角相等证明 △ADE∽△ABC ，即可证明DE∥BC，且DE＝BC ；
(2)连接AR，在△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；
(3)在直角△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线定义求DE，即可求EF.
17．（2023·铜仁模拟）中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作菱形，使，连接．
（1）观察猜想：如图，当点在线段上时，
与的位置关系为： ．
，，之间的数量关系为： ；
（2）数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，设与相交于点，若已知，，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：结论成立，而结论不成立．
证明：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
又菱形中，，
≌，
，
又，
，
；
≌
，
又，
；
（3）解：如图，连接，过作于，则，，
中，，
，，
是等边三角形，
又，，
，
≌，
，，
又，
∽，
，
可设，则，，，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵菱形ADEF中，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF=∠ABD=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠BCF=180°，
∴AB∥CF；
②∵△ABD≌△ACF
∴BD=CF，
又∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC，
故答案为：AB∥CF；CF+CD=BC；
【分析】（1）①证明△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质，即可得证；
②根据△DAB≌△FAC可得CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；
（2）同（1）的方法证明即可求解；
（3）证明ABD≌△ACF，得出，进而证明△AGF∽△BAD，进而根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
18．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
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