【基础版】浙教版数学九上4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．（2024·从江模拟）和是两个等边三角形，，则与的面积比是( )
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质将目标三角形面积比转换为对应边之比的平方即可.
3．（2024·内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解： 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为1：3.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
4．（2017·绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则 = ，
即 = ，
解得：DE=12，
故选：B．
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
5．（2024·南山模拟） 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．5.5cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：，
解得：x=4；
即蜡烛火焰的高度是4cm.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例计算即可.
6．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
7．（2023九上·历下期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，BC=1，EF=6，
∴，
解得：DE=12，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
8．（2024·金华模拟）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为1.8米，则盲区的长是（ ）
A．5.4米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PHB⊥E交AF于点G，交BE于点H，
由知AF：DF=3：2，而AF=1.8m，则GH=1.2m，故PG=PH-GH=1.6-1.2=0.4m，
由AF||BE得△PAF~△PBE，得，，即，得BE=7.2m.
答案：C.
【分析】由平行知△PAF~△PBE利用相似比例即可求出BE的长.
二、填空题
9．（2024九上·裕华开学考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出，可得，即，再求出CD的长即可.
10．（2024·东安模拟）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，则阴影与纸片的面积比为 ．
【答案】9：1
【知识点】三角形的面积；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知△ABC∽△DEF且相似比为3：，
∴阴影△DEF与纸片△ABC的面积比为（）2=9：1，
故答案为：9：1．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方即可求解。
11．（2024·黔南模拟）如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为 ．
【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由题意得出AB∥CD，从而得出，根据相似三角形对应边成比例求解即可。
12．（2024·东莞模拟）如图所示，东边墙壁上点S处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为4尺，高为2尺的桌上(BD=4尺，BE=DF=2尺)，形成的影长AE=5尺，CF=3尺，则灯的高度SG为 尺.
【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BE∥DF∥SG，
∴，
∴，
设SG=x（尺），FG=y（尺），
则，
解得：，
经检验，都是原方程的解，
∴ 灯的高度SG为 6尺。
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的的对应边成比例建立方程组求解。
三、解答题
13．（2024·杭州模拟） 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点处图为示意图，其中于点，于点，点，，在一条直线上，已知，， ．
（1）求女孩的影子的长．
（2）若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，求人影扫过的图形的面积取
【答案】（1）解：，，
，
∽，
，
，
，
答：女孩的影子的长为米；
（2）解：女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，
人影扫过的图形的面积．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）易得BC∥AO，可证∽，可得，据此求出BD即可；
（2）女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，利用半径为6m的圆的面积-半径为5m的圆的面积即得结论.
14．（2024·东兴会考）渭华起义纪念馆位于陕西省渭南市华州区高塘镇，是集红色旅游、红色教育、红色文化于一体的红色基地，被命名为全国重点文物保护单位、全国爱国主义教育示范基地、全国中小学生研学实践教育基地.某次研学旅行中，玥玥和妍妍两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，玥玥在点处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计)，后退到点处时，眼睛位于点处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶的像，妍妍拿来一根标杆立于点处，玥玥发现地面上的点、标杆顶端和塔的顶端恰好在一条直线上，已知点、、、在一条水平直线上，点、、在一条竖直线上，，经测量，米，米，玥玥的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助玥玥和妍妍计算渭华起义纪念塔的高度.
【答案】解：根据题意，可得
即
即
由①②可得，，
∴渭华起义纪念塔的高度为32米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可得据此判断，可得，再证，即可求出AB.
1 / 1【基础版】浙教版数学九上4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·杭州开学考）两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应边上中线之比是（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
2．（2024·从江模拟）和是两个等边三角形，，则与的面积比是( )
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．
3．（2024·内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为( )
A． B． C． D．
4．（2017·绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
5．（2024·南山模拟） 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．4cm B．4.5cm C．5cm D．5.5cm
6．（2024九上·嘉兴期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023九上·历下期中）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆AB长2m，它的影长BC为1m，旗杆DE的影长EF为6m，则旗杆DE的高度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
8．（2024·金华模拟）如图，为驾驶员盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若车宽的长为1.8米，则盲区的长是（ ）
A．5.4米 B．6米 C．7.2米 D．8米
二、填空题
9．（2024九上·裕华开学考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
10．（2024·东安模拟）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，则阴影与纸片的面积比为 ．
11．（2024·黔南模拟）如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为 ．
12．（2024·东莞模拟）如图所示，东边墙壁上点S处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为4尺，高为2尺的桌上(BD=4尺，BE=DF=2尺)，形成的影长AE=5尺，CF=3尺，则灯的高度SG为 尺.
三、解答题
13．（2024·杭州模拟） 如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点处图为示意图，其中于点，于点，点，，在一条直线上，已知，， ．
（1）求女孩的影子的长．
（2）若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，求人影扫过的图形的面积取
14．（2024·东兴会考）渭华起义纪念馆位于陕西省渭南市华州区高塘镇，是集红色旅游、红色教育、红色文化于一体的红色基地，被命名为全国重点文物保护单位、全国爱国主义教育示范基地、全国中小学生研学实践教育基地.某次研学旅行中，玥玥和妍妍两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，玥玥在点处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计)，后退到点处时，眼睛位于点处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶的像，妍妍拿来一根标杆立于点处，玥玥发现地面上的点、标杆顶端和塔的顶端恰好在一条直线上，已知点、、、在一条水平直线上，点、、在一条竖直线上，，经测量，米，米，玥玥的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助玥玥和妍妍计算渭华起义纪念塔的高度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴其对应边上中线之比是1：2，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质将目标三角形面积比转换为对应边之比的平方即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解： 已知与相似，且相似比为，则与的周长比为1：3.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则 = ，
即 = ，
解得：DE=12，
故选：B．
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：，
解得：x=4；
即蜡烛火焰的高度是4cm.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例计算即可.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图：连接PC，
∵ 点是等边三角形ABC的重心，
∴BD平分∠ABC，PC平分∠ACB，BD⊥AC，
∵三角形ABC是等边三角形，AB=3，
∴∠PBC=∠PCB=PCD=30°，.
∴，
∵PQ⊥BP，
∴∠BPQ=∠ADC=90°，
∴PQ//CD.
∴，即
∴BQ=2.
故答案为：D.
【分析】根据点是等边三角形ABC的重心，可得BD平分∠ABC，BD⊥AC.连接PC，有PC平分∠ACB，PC=PB，于是可根据∠PCD=30°，AB=3，求出PD，PC的长.根据PQ⊥BP，可得PQ//CD.根据平行线分线段成比例即可求出BQ的长.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可得：△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，BC=1，EF=6，
∴，
解得：DE=12，
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC∽△DEF，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点P作PHB⊥E交AF于点G，交BE于点H，
由知AF：DF=3：2，而AF=1.8m，则GH=1.2m，故PG=PH-GH=1.6-1.2=0.4m，
由AF||BE得△PAF~△PBE，得，，即，得BE=7.2m.
答案：C.
【分析】由平行知△PAF~△PBE利用相似比例即可求出BE的长.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出，可得，即，再求出CD的长即可.
10．【答案】9：1
【知识点】三角形的面积；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可知△ABC∽△DEF且相似比为3：，
∴阴影△DEF与纸片△ABC的面积比为（）2=9：1，
故答案为：9：1．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方即可求解。
11．【答案】24
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由题意得出AB∥CD，从而得出，根据相似三角形对应边成比例求解即可。
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BE∥DF∥SG，
∴，
∴，
设SG=x（尺），FG=y（尺），
则，
解得：，
经检验，都是原方程的解，
∴ 灯的高度SG为 6尺。
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的的对应边成比例建立方程组求解。
13．【答案】（1）解：，，
，
∽，
，
，
，
答：女孩的影子的长为米；
（2）解：女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，
人影扫过的图形的面积．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）易得BC∥AO，可证∽，可得，据此求出BD即可；
（2）女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈回到起点，利用半径为6m的圆的面积-半径为5m的圆的面积即得结论.
14．【答案】解：根据题意，可得
即
即
由①②可得，，
∴渭华起义纪念塔的高度为32米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可得据此判断，可得，再证，即可求出AB.
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