【培优版】浙教版数学九上4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·榆树期末）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得 ，然后利用比例性质求出CD即可．
2．（2022九上·历城期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
3．（2024九上·娄底期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AC=1.6，AE=0.4，
∴CE=AC-AE=1.6-0.4=1.2，
∵∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
解得：CD=3，
故答案为：C.
【分析】先证出△ABE∽△CDE，可得，再将数据代入求出CD的长即可.
4．（2024九上·澧县期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（ ）步而见木．
A．205 B．215 C．305 D．315
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AC⊥AB，DE⊥CD，AC⊥CD，BE经过点C，
∴CD//AB，AC//DE，
∴∠CDE=∠BAC=90°，∠DEC=∠ACB，
∴△BAC∽△CDE，
∴，
∵AC=4.5，CD=3.5，AB=15，
∴，
解得：DE=1.05里=1.05×300=315步，
故答案为：D.
【分析】先证出△BAC∽△CDE，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
5．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵CD=5cm，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∵零件的外径为12cm，
∴，
故答案为：C.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再结合，CD=5cm，求出AB=2CD=2×5=10cm，最后求出x的值即可.
6．（2024九下·龙岗开学考） “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∵，
即BF=5CF，
则CB=BF+CF=6CF，
∴，故选项B不符合题意；
∴CA=6CE，
∴AE=CA-CE=5AE，
∴ ，故选项A不符合题意；
∴ ，故D不符合题意；
无法判断的值，故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CEF∽△CAB，由相似三角形的对应边之比相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合题意计算即可判断.
7．（2019九上·榆树期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 位于树的西面.山高 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（ ）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD∥AB，
∴△ECH∽△EAG，
∴ ，
∴ ，
∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，
故答案选D.
【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案.
8．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何 ”译文：一座正方形城池北、西边正中A，C处各开一道门(如图所示)，从点A处往正北方向走30步刚好有一棵树位于点处，若从点处往正西方向走750步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ）.
A．300步 B．225步 C．150步 D．75步
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设正方形城池的边长为2x步，则AE=EC=x，
由题意得AE∥CD，
∴∠BEA=∠EDC，
又∵∠BAE=∠ECD=90°，
∴△BAE∽△ECD，
∴，
即，
∴x=150（负值已舍），
∴正方形城池的边长为300步.
故答案为：A.
【分析】设正方形城池的边长为2x步，则AE=EC=x，由题意得AE∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠BEA=∠EDC，再结合∠BAE=∠ECD=90°，可判断出△BAE∽△ECD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可求出正方形城池的边长.
二、填空题
9．（2024·峨眉山模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图6中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵和均为直角
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵，，，
∴，
解得PQ=6，
∴ 树高 6m.
故答案为：6m.
【分析】利用平行线可证△ABD∽△AQP，可得，据此即可求解.
10．（2024·柳州三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为，实像CD的高度为，则小孔O的高度OE为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明，，根据相似三角形的性质列比例式求出即可．
11．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯曾用立杆测影的方法巧测金字塔的高度.如图，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥的底面周长为62.8m.先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB的长为23m(直线AB过底面圆心)，则小山包的高为 m(π取3.14).
【答案】33
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，过点D作DC⊥AB延长线于C，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
∴BE∥CD，
∴，
∴，
∵ 圆锥的底面周长为62.8m，
∴，
∴BC=10m，
∵AB=23m，
∴BE=AB=23m，AC=AB+BC=33m，
∴，
∴CD=33m，
∴小山包的高为33m，
故答案为：33.
【分析】过点B作BE⊥AD于E，过点D作DC⊥AB延长线于C，易证，得，然后求BC=10，进而得AC=AB+BC=33，根据木棒影子长度等于木棒高度得BE=AB=23，接下来即可求出CD=33.
12．（2024九上·杭州月考） 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为 步．
【答案】300
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设城池的边长为x步，则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：300.
【分析】设城池的边长为x步，则根据题意证明得到据此列方程解方程即可求解.
三、解答题
13．（2024九上·怀化期末）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【答案】解：由题意得：，，
∴，，
，
∴，
，
（米），
∵，
∴，
（米），
答：古塔的高度为22米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题易知 ，，根据相似三角形的性质可得 ，，由，推出 ，代入数值解得AC=40m，再代入 即可求得AB的长.
四、实践探究题
14．（2024·临平二模）
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁翦出一个正方形；小同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形GHJI，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的CF边长是正方形GHJI边长的两倍小0.9cm
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明.
任务2 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长.
【答案】解：任务1：小华：设正方形的边长为
由题意得：
小明：由题意得：
任务2：由题意得：
设：
同理：
得
．
得：
矩形CDEF的边长为：；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】任务1：小华：设正方形的边长为x，则，根据相似三角形的性质求出x的值，即可得到S小华，小明：先利用勾股定理求出AB的长，再利用和求出HP的长，得出S小明，再比较大小即可；
任务2：由题意得：，根据相似三角形的性质可设，再利用可得，则，再由得出，解出x的值，即可得到AD的长，再计算矩形的各边长即可.
15．（2024九下·肇庆月考）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
（1）素材1：国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1：检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
（2）素材2：图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2：当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
（3）素材3：如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3：若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】（1）解：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
（2）解：，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
（3）解：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；相似三角形的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先确定n与b成反比例函数关系，利用待定系数法求出，然后把n=1.2代入求出b值即可；
（2）由可知在自变量的取值范围内，n随着随着的增大而减小，即得当时，，从而推出；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，据此即可求解.
16．（2024·东安模拟）请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和，问并联后的电阻值是多少 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点，过点作直线，则线段EF的长度就是并联后的电阻值． 证明：， ， 又， 依据1）， （依据2）． 同理可得：，
∴，
∴，
即：.
（1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：
依据1： .
依据2： .
（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．
（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例
（2）（2）解：如解图，线段GH即为该电路图中表示总阻值R的线段长；
（3）（3）解：小明的方法是正确的。
理由如下：
又
又
小明的方法是正确的.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，
∴∠EFB=∠CAB=90°，
又∵∠EBF=∠CBA，
∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），
∴=（相似三角形的对应边成比例）．
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质可得出答案；
（2）在AB上取点M，使BM=3，在CD上取点N使CN=6，连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则可得出答案；
（3）证明△DBE∽△ACE，得出，求出BE的长，则可得出答案。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
1 / 1【培优版】浙教版数学九上4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、选择题
1．（2019九上·榆树期末）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
2．（2022九上·历城期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·娄底期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（ ）米．
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024九上·澧县期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（ ）步而见木．
A．205 B．215 C．305 D．315
5．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径若：：，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·龙岗开学考） “计里面方”（比例缩放和直角坐标网格体态）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志，制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，且，观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019九上·榆树期中）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 位于树的西面.山高 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（ ）
A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈
8．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何 ”译文：一座正方形城池北、西边正中A，C处各开一道门(如图所示)，从点A处往正北方向走30步刚好有一棵树位于点处，若从点处往正西方向走750步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ）.
A．300步 B．225步 C．150步 D．75步
二、填空题
9．（2024·峨眉山模拟）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图6中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
10．（2024·柳州三模）如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为，实像CD的高度为，则小孔O的高度OE为 ．
11．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯曾用立杆测影的方法巧测金字塔的高度.如图，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥的底面周长为62.8m.先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子AB的长为23m(直线AB过底面圆心)，则小山包的高为 m(π取3.14).
12．（2024九上·杭州月考） 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为 步．
三、解答题
13．（2024九上·怀化期末）某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
四、实践探究题
14．（2024·临平二模）
探究不同裁剪方式的面积大小问题
素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．
素材2 小华同学按图2的方式裁翦出一个正方形；小同学按图3的方式裁剪，且．
素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形GHJI，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的CF边长是正方形GHJI边长的两倍小0.9cm
问题解决
任务1 请比较小华、小明同学裁出的两种矩形的面积大小，通过计算说明.
任务2 请求出小富同学裁下的矩形CDEF各边长.
15．（2024九下·肇庆月考）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
（1）素材1：国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1：检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
（2）素材2：图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2：当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
（3）素材3：如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3：若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
16．（2024·东安模拟）请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和，问并联后的电阻值是多少 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点，过点作直线，则线段EF的长度就是并联后的电阻值． 证明：， ， 又， 依据1）， （依据2）． 同理可得：，
∴，
∴，
即：.
（1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：
依据1： .
依据2： .
（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．
（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B．
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得 ，然后利用比例性质求出CD即可．
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AC=1.6，AE=0.4，
∴CE=AC-AE=1.6-0.4=1.2，
∵∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
解得：CD=3，
故答案为：C.
【分析】先证出△ABE∽△CDE，可得，再将数据代入求出CD的长即可.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AC⊥AB，DE⊥CD，AC⊥CD，BE经过点C，
∴CD//AB，AC//DE，
∴∠CDE=∠BAC=90°，∠DEC=∠ACB，
∴△BAC∽△CDE，
∴，
∵AC=4.5，CD=3.5，AB=15，
∴，
解得：DE=1.05里=1.05×300=315步，
故答案为：D.
【分析】先证出△BAC∽△CDE，可得，再将数据代入求出DE的长即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵CD=5cm，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∵零件的外径为12cm，
∴，
故答案为：C.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再结合，CD=5cm，求出AB=2CD=2×5=10cm，最后求出x的值即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∵，
即BF=5CF，
则CB=BF+CF=6CF，
∴，故选项B不符合题意；
∴CA=6CE，
∴AE=CA-CE=5AE，
∴ ，故选项A不符合题意；
∴ ，故D不符合题意；
无法判断的值，故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CEF∽△CAB，由相似三角形的对应边之比相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合题意计算即可判断.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，
过E作EG⊥AB于G，交CD于H，
则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，
∵CD∥AB，
∴△ECH∽△EAG，
∴ ，
∴ ，
∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，
故答案选D.
【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设正方形城池的边长为2x步，则AE=EC=x，
由题意得AE∥CD，
∴∠BEA=∠EDC，
又∵∠BAE=∠ECD=90°，
∴△BAE∽△ECD，
∴，
即，
∴x=150（负值已舍），
∴正方形城池的边长为300步.
故答案为：A.
【分析】设正方形城池的边长为2x步，则AE=EC=x，由题意得AE∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠BEA=∠EDC，再结合∠BAE=∠ECD=90°，可判断出△BAE∽△ECD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可求出正方形城池的边长.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵和均为直角
∴BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
∵，，，
∴，
解得PQ=6，
∴ 树高 6m.
故答案为：6m.
【分析】利用平行线可证△ABD∽△AQP，可得，据此即可求解.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明，，根据相似三角形的性质列比例式求出即可．
11．【答案】33
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，过点D作DC⊥AB延长线于C，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
∴BE∥CD，
∴，
∴，
∵ 圆锥的底面周长为62.8m，
∴，
∴BC=10m，
∵AB=23m，
∴BE=AB=23m，AC=AB+BC=33m，
∴，
∴CD=33m，
∴小山包的高为33m，
故答案为：33.
【分析】过点B作BE⊥AD于E，过点D作DC⊥AB延长线于C，易证，得，然后求BC=10，进而得AC=AB+BC=33，根据木棒影子长度等于木棒高度得BE=AB=23，接下来即可求出CD=33.
12．【答案】300
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设城池的边长为x步，则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：300.
【分析】设城池的边长为x步，则根据题意证明得到据此列方程解方程即可求解.
13．【答案】解：由题意得：，，
∴，，
，
∴，
，
（米），
∵，
∴，
（米），
答：古塔的高度为22米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题易知 ，，根据相似三角形的性质可得 ，，由，推出 ，代入数值解得AC=40m，再代入 即可求得AB的长.
14．【答案】解：任务1：小华：设正方形的边长为
由题意得：
小明：由题意得：
任务2：由题意得：
设：
同理：
得
．
得：
矩形CDEF的边长为：；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】任务1：小华：设正方形的边长为x，则，根据相似三角形的性质求出x的值，即可得到S小华，小明：先利用勾股定理求出AB的长，再利用和求出HP的长，得出S小明，再比较大小即可；
任务2：由题意得：，根据相似三角形的性质可设，再利用可得，则，再由得出，解出x的值，即可得到AD的长，再计算矩形的各边长即可.
15．【答案】（1）解：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
（2）解：，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
（3）解：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；相似三角形的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先确定n与b成反比例函数关系，利用待定系数法求出，然后把n=1.2代入求出b值即可；
（2）由可知在自变量的取值范围内，n随着随着的增大而减小，即得当时，，从而推出；
（3）由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，据此即可求解.
16．【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例
（2）（2）解：如解图，线段GH即为该电路图中表示总阻值R的线段长；
（3）（3）解：小明的方法是正确的。
理由如下：
又
又
小明的方法是正确的.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，
∴∠EFB=∠CAB=90°，
又∵∠EBF=∠CBA，
∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），
∴=（相似三角形的对应边成比例）．
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质可得出答案；
（2）在AB上取点M，使BM=3，在CD上取点N使CN=6，连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则可得出答案；
（3）证明△DBE∽△ACE，得出，求出BE的长，则可得出答案。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
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