【提升版】浙教版数学九上4.6 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·电白期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024九下·张北开学考）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·织金期末）如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
5．（2024九上·馆陶期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
7．（2023八下·宁波期中）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连接BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
8．（2023九上·瑞安月考）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为，图中阴影部分面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知两个相似多边形的面积比是9：16其中两个多边形的周长之差为8，则较小多边形的周长为 .
10．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
11．如图，小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子．现测得，，纸片ABCD的面积为，则影子的面积为 ．
12．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
三、解答题
13．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点B的对应点F恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似.
（1）求证：E为BC的黄金分割点.
（2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少
14．如图所示，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD分别为它们的短边，点在AB上，.
（1）求证：.
（2）若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积.
四、实践探究题
15．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫作相似四边形．相似四边形对应边的比叫作相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；( 命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；( 命题)
③两个大小不同的正方形相似．( 命题)
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或(舍去)，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出a的值即可。
2．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得出，
所以
所以四边形和四边形的相似比是2：1，
故选：C.
【分析】先利用勾股定理求出EH、HG、GF和EF的长，再求出即可得到四边形和四边形的相似比是2：1.
3．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵长为8cm，宽为4cm的矩形的面积是8×4=32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，
∴留下的矩形的面积=32×=8cm2，
故答案为：C.
【分析】先求出相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，再将数据代入求出阴影部分的面积即可.
4．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形四边形，
∴，
∵，，，
∴，
解得：x=10，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将数据代入求出x的值即可.
5．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，
∴放大后的宽为6cm，
∴放大后的矩形的面积为6×10=
故答案为：A
【分析】根据相似图形的性质即可得到放大后的宽为6cm，再根据矩形的面积公式即可求解。
6．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
7．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设矩形的边，，，，
则，，
即
矩形矩形，
，
即，
．
．
．
所以一定能求出面积的条件是矩形和矩形的面积之差．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质进行计算即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OD1，OE1，OF1，
∵正八边形是轴对称图形，
故AD=CD=AE=BE=BF，∠D1CD=∠D1AD=∠E1AB=∠E1BA=∠F1BF=45°，
∴AC=AB，∠CAB=135°，
同理可得，阴影部分的八条边都相等，每一个内角都等于135°，
即阴影部分是正八边形，
则阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1相似，
故阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积比等于相似比的平方，
设AE=BE=AD=a，
∵四边形D1F1H1B1是正方形，
∴∠AD1C=90°，
同理可得，∠AE1B=90°，
∴AD=DD1=a，AE=EE1=a，
则，
，
故；
故答案为：B.
【分析】结合题意和正八边形的对称性可推得阴影部分是正八边形，根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，设AE=BE=AD=a，结合正方形的性质和直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可求得D1E12的值，结合相似多边形面积比等于相似比的平方即可求解.
9．【答案】24
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设较小多边形的周长为x，
∵ 两个多边形的周长之差为8，
∴较大多边形的周长为x+8.
∵两个相似多边形的面积比是9：16，
∴，解得(舍去)，
故答案为：24.
【分析】设较小多边形的周长为x，可用x表示出较大多边形的周长，利用两个相似多边形的面积比等于周长比的平方求解.
10．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
11．【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子
∴矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴，
∴S矩形ABCD：S矩形A'B'C'D'=4：25，
∵ 纸片ABCD的面积为，
∴ 影子的面积为cm2.
故答案为：50.
【分析】利用已知条件可证得矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，可求出两个矩形的相似比，利用相似的两个矩形的面积比等于相似比的平方，可求出影子矩形的面积.
12．【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
13．【答案】（1）证明：设.
∵四边形FECD与四边形ABCD相似，
∴E为BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知四边形FECD与四边形ABCD的相似比为，
则，
解得.
【知识点】轴对称的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）要证E是BC的黄金分割点，根据定义，只需证；由两个矩形相似可得，翻折可得AB=AF=BE=EF，因此，变化得，证得E为BC的黄金分割点；
（2）由（1）得，即两矩形相似比为，则面积比为，即，求解即可.
14．【答案】（1）证明：矩形矩形ABCD，
即
；
（2）解：∵
∴，∴，
∴，
解得=450（）
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证两个角相等，可以用全等和相似，和本题中∠1和∠2明显不在两个全等三角形中，因此考虑相似；由两矩形相似得到从而得出在三角形ADE和三角形ABG中，两边成比例且夹角相等，，由此得出∠1=∠2；
（2）相似图形得面积比等于相似比得平方，题目已知两个矩形相似比为，因此面积比为，已知面积之和为可得出=450（）.
15．【答案】（1）假；假；真
（2）如图，连结BD，B1D1．
∵∠BCD=∠B1C1D1．且
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴ ∠CDB=∠C1D1B1， ∠C1B1D1=∠CBD，，
∵，
∴，
∵∠ABC=∠A1B1C1，
∴∠ABD=∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，
∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
∴四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】 解：（1）①当四条边成比例的两个凸四边形的对应角不相等时，两个凸四边形不是相似四边形，故原命题是假命题；
②三个角分别相等的两个凸四边形的对应边不成比例时，两个凸四边形不是相似四边形，故原命题是假命题；
③两个大小不同的正方形是相似四边形，故原命题是真命题；
故答案为：假，假，真.
【分析】（1）根据如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形即可判断；
（2）连结BD，B1D1，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△BCD∽△B1C1D1，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得∠C1B1D1=∠CBD，，结合题意推得，∠ABD=∠A1B1D1，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△A1B1D1，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，根据如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形即可证明四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
1 / 1【提升版】浙教版数学九上4.6 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·电白期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或(舍去)，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出a的值即可。
2．（2024九下·张北开学考）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得出，
所以
所以四边形和四边形的相似比是2：1，
故选：C.
【分析】先利用勾股定理求出EH、HG、GF和EF的长，再求出即可得到四边形和四边形的相似比是2：1.
3．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵长为8cm，宽为4cm的矩形的面积是8×4=32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，
∴留下的矩形的面积=32×=8cm2，
故答案为：C.
【分析】先求出相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，再将数据代入求出阴影部分的面积即可.
4．（2024九上·织金期末）如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形四边形，
∴，
∵，，，
∴，
解得：x=10，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将数据代入求出x的值即可.
5．（2024九上·馆陶期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，
∴放大后的宽为6cm，
∴放大后的矩形的面积为6×10=
故答案为：A
【分析】根据相似图形的性质即可得到放大后的宽为6cm，再根据矩形的面积公式即可求解。
6．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
7．（2023八下·宁波期中）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连接BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设矩形的边，，，，
则，，
即
矩形矩形，
，
即，
．
．
．
所以一定能求出面积的条件是矩形和矩形的面积之差．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质进行计算即可．
8．（2023九上·瑞安月考）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为，图中阴影部分面积，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；相似多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OD1，OE1，OF1，
∵正八边形是轴对称图形，
故AD=CD=AE=BE=BF，∠D1CD=∠D1AD=∠E1AB=∠E1BA=∠F1BF=45°，
∴AC=AB，∠CAB=135°，
同理可得，阴影部分的八条边都相等，每一个内角都等于135°，
即阴影部分是正八边形，
则阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1相似，
故阴影八边形与正八边形A1B1C1D1E1F1G1H1的面积比等于相似比的平方，
设AE=BE=AD=a，
∵四边形D1F1H1B1是正方形，
∴∠AD1C=90°，
同理可得，∠AE1B=90°，
∴AD=DD1=a，AE=EE1=a，
则，
，
故；
故答案为：B.
【分析】结合题意和正八边形的对称性可推得阴影部分是正八边形，根据两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，设AE=BE=AD=a，结合正方形的性质和直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可求得D1E12的值，结合相似多边形面积比等于相似比的平方即可求解.
二、填空题
9．已知两个相似多边形的面积比是9：16其中两个多边形的周长之差为8，则较小多边形的周长为 .
【答案】24
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设较小多边形的周长为x，
∵ 两个多边形的周长之差为8，
∴较大多边形的周长为x+8.
∵两个相似多边形的面积比是9：16，
∴，解得(舍去)，
故答案为：24.
【分析】设较小多边形的周长为x，可用x表示出较大多边形的周长，利用两个相似多边形的面积比等于周长比的平方求解.
10．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
11．如图，小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子．现测得，，纸片ABCD的面积为，则影子的面积为 ．
【答案】50
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵ 小莉用灯泡照射一个与墙面平行的矩形硬纸片ABCD，在墙上形成矩形影子
∴矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，
∴，
∴S矩形ABCD：S矩形A'B'C'D'=4：25，
∵ 纸片ABCD的面积为，
∴ 影子的面积为cm2.
故答案为：50.
【分析】利用已知条件可证得矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是位似图形，可求出两个矩形的相似比，利用相似的两个矩形的面积比等于相似比的平方，可求出影子矩形的面积.
12．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
三、解答题
13．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点B的对应点F恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似.
（1）求证：E为BC的黄金分割点.
（2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少
【答案】（1）证明：设.
∵四边形FECD与四边形ABCD相似，
∴E为BC的黄金分割点；
（2）解：由（1）知四边形FECD与四边形ABCD的相似比为，
则，
解得.
【知识点】轴对称的性质；黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）要证E是BC的黄金分割点，根据定义，只需证；由两个矩形相似可得，翻折可得AB=AF=BE=EF，因此，变化得，证得E为BC的黄金分割点；
（2）由（1）得，即两矩形相似比为，则面积比为，即，求解即可.
14．如图所示，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD分别为它们的短边，点在AB上，.
（1）求证：.
（2）若两个矩形的面积之和为，求矩形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：矩形矩形ABCD，
即
；
（2）解：∵
∴，∴，
∴，
解得=450（）
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证两个角相等，可以用全等和相似，和本题中∠1和∠2明显不在两个全等三角形中，因此考虑相似；由两矩形相似得到从而得出在三角形ADE和三角形ABG中，两边成比例且夹角相等，，由此得出∠1=∠2；
（2）相似图形得面积比等于相似比得平方，题目已知两个矩形相似比为，因此面积比为，已知面积之和为可得出=450（）.
四、实践探究题
15．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等、四条边成比例的两个凸四边形叫作相似四边形．相似四边形对应边的比叫作相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；( 命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；( 命题)
③两个大小不同的正方形相似．( 命题)
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
【答案】（1）假；假；真
（2）如图，连结BD，B1D1．
∵∠BCD=∠B1C1D1．且
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴ ∠CDB=∠C1D1B1， ∠C1B1D1=∠CBD，，
∵，
∴，
∵∠ABC=∠A1B1C1，
∴∠ABD=∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，
∴，∠ADC=∠A1D1C1，∠A=∠A1，∠ABC=∠A1B1C1，∠BCD=∠B1C1D1，
∴四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】 解：（1）①当四条边成比例的两个凸四边形的对应角不相等时，两个凸四边形不是相似四边形，故原命题是假命题；
②三个角分别相等的两个凸四边形的对应边不成比例时，两个凸四边形不是相似四边形，故原命题是假命题；
③两个大小不同的正方形是相似四边形，故原命题是真命题；
故答案为：假，假，真.
【分析】（1）根据如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形即可判断；
（2）连结BD，B1D1，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△BCD∽△B1C1D1，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得∠C1B1D1=∠CBD，，结合题意推得，∠ABD=∠A1B1D1，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△A1B1D1，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得，∠A=∠A1，∠ADB=∠A1D1B1，根据如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形即可证明四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
1 / 1
