【提升版】浙教版数学九上4.7 图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2022·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中，以P （0，-1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（-2，-4），则点B的对应点C的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，
∵BH∥CQ，
∴△BHP∽△CQP，
∴BH：CQ=HP：QP=BP：CP，
由题意得：△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，
∴BP：CP=1：2，
∴BH：CQ=HP：QP=1：2，
∵点B（-2，-4），点P（0，-1）
∴BH=3，HP=2，
∴CQ=6，QP=4，
∴CF=6-1=5，
∴点C（4，5）.
故答案为：A.
【分析】如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，易得△BHP∽△CQP，即得到BH：CQ=HP：QP=BP：CP，又△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，从而得BH：CQ=HP：QP=1：2，再由点B和点P坐标求出BH=3，HP=2，从而球的出CQ=6，QP=4，进而得CF=5，即可求得点C坐标.
2．（2024·峰峰矿模拟）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．C点 B．F点 C．E点 D．G点
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接，并延长，如图所示：
∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点，
∴位似比为，
∴点A的对应点是G，
故答案为：D
【分析】连接，并延长，进而根据位似变换结合题意即可求解。
3．（2024九下·岳塘期中）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为：若的面积为，则的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：与是位似图形，
位似比为2：3，
与的相似比为2：3，
的面积为，
，
.
故答案为：D.
【分析】先根据位似变换的定义得到再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
4．（2023·丰南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
5．（2024·深圳模拟）如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，
∴△ABC∽，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴.
∴，
∴的周长为15，
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AB//DE，可得得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形对应边成比例可求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可得的周长 .
6．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两名同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按如图①所示的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似。
淇淇：将边长为的正方形按如图②所示的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似同时也位似。
对于两人的观点下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
【答案】A
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：嘉嘉：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新正方形与原正方形相似，同时也位似，
嘉嘉说法正确.
淇淇 ：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角相等，即则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
淇淇的说法正确．
故答案为：A．
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似即可解答．
7．（2024九上·馆陶期末）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个及个以上
【答案】C
【知识点】位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似，
∴有两个位置，
故答案为：
【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，结合图像找出符合条件的位置即可求解。
8．（2024九下·从江月考）如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则等于（ ）
A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF ，
，
AD=OA ，
OA=OD，
△ABC与△DEF 的相似比为1：2，
△ABC与△DEF 的面积比 a∶b =1：4，即b=4a，
=，
故答案为：B.
【分析】先根据 AD=OA得到△ABC与△DEF 的相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得b=4a，再代入计算即可.
二、填空题
9．（2023·舟山模拟）如图，在中，O是的中点，以点O为位似中心，作的位似图形.若点A的对应点D是的重心，则与的位似比为 .
【答案】3：1
【知识点】位似变换；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵D是的重心，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
故答案为：.
【分析】利用三角形的重心的性质，可得到AD与DO的比值，同时可得到AO与DO的比值，再利用位似三角形的性质，可求出两三角形的位似比.
10．（2024九上·长春期末）如图，与位似，点为位似中心，若：：，则： ．
【答案】：
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，
∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，
∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，
∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，
故答案为：1：3．
【分析】利用位似三角形的性质可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求解即可。
11．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
12．（2024九下·长春月考）如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10
【分析】连接，先根据位似结合题意得到，，进而得到，，再根据“”即可求解。
三、作图题
13．（2024九下·二道模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出；
（2）在图②中，作出的高线；
（3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为．
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示：点即为所求．
【分析】（1）根据题意再结合网格，找到、中点，然后相连接，即可得到答案；
（2）根据题意再结合网格，利用直角三角形中两锐角互余的性质，即可得到答案；
（3）根据题意再结合网格，求出的长度为，，即，找到的五等分点，即可得到答案.
14．（2024八下·卢龙期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称，点B先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C．
（1）描出点B和点C，并依次连接AB、BC、CA，得到△ABC；
（2）将（1）中的△ABC的各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到点A的对应点A，点B的对应点，点C的对应点，在平面直角坐标系中描出点、、，并依次连接、、，得到；
（3）在（2）的条件下， ．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求..
（3）
【知识点】轴对称图形；坐标与图形变化﹣平移；位似变换
【解析】【解答】解：（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求，
（3）解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查位似变换以及轴对称变换、平移变换．
（1）根据关于x轴对称点的性质以及平移的性质可求出B， C点坐标；
（2）直接利用对应点坐标的变化得出各点位置，再进行连接可作出 ；
（3）先找出三角形的底边和高，据此可求出和的面积，进而求出答案.
四、综合题
15．（2023九上·武功期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8），B（4，4），C（8，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
（2）在（1）的条件下，写出△A1B1C1与△ABC的面积比．
【答案】（1）解：∵ A（2，8），B（4，4），C（8，4） ，
∴ A1（1，4），B1（2，2），C1（4，2），
描点连线如图所示，
△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：△A1B1C1与△ABC的面积比为1：4．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将A、B、C的坐标都乘以得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可求解；
（2）根据相似比的等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
1 / 1【提升版】浙教版数学九上4.7 图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2022·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中，以P （0，-1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（-2，-4），则点B的对应点C的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）
2．（2024·峰峰矿模拟）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．C点 B．F点 C．E点 D．G点
3．（2024九下·岳塘期中）如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为：若的面积为，则的面积是( )
A． B． C． D．
4．（2023·丰南模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·深圳模拟）如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两名同学的观点如下：
嘉嘉：将边长为1的正方形按如图①所示的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似。
淇淇：将边长为的正方形按如图②所示的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似同时也位似。
对于两人的观点下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对
7．（2024九上·馆陶期末）如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个及个以上
8．（2024九下·从江月考）如图所示，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则等于（ ）
A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶2
二、填空题
9．（2023·舟山模拟）如图，在中，O是的中点，以点O为位似中心，作的位似图形.若点A的对应点D是的重心，则与的位似比为 .
10．（2024九上·长春期末）如图，与位似，点为位似中心，若：：，则： ．
11．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
12．（2024九下·长春月考）如图，在平行四边形中，以C为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为 ．
三、作图题
13．（2024九下·二道模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，在图①中画出；
（2）在图②中，作出的高线；
（3）在图③中，在边上作点，使线段的长度为．
14．（2024八下·卢龙期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B与点A关于x轴对称，点B先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C．
（1）描出点B和点C，并依次连接AB、BC、CA，得到△ABC；
（2）将（1）中的△ABC的各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到点A的对应点A，点B的对应点，点C的对应点，在平面直角坐标系中描出点、、，并依次连接、、，得到；
（3）在（2）的条件下， ．
四、综合题
15．（2023九上·武功期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8），B（4，4），C（8，4）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为1：2；
（2）在（1）的条件下，写出△A1B1C1与△ABC的面积比．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，
∵BH∥CQ，
∴△BHP∽△CQP，
∴BH：CQ=HP：QP=BP：CP，
由题意得：△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，
∴BP：CP=1：2，
∴BH：CQ=HP：QP=1：2，
∵点B（-2，-4），点P（0，-1）
∴BH=3，HP=2，
∴CQ=6，QP=4，
∴CF=6-1=5，
∴点C（4，5）.
故答案为：A.
【分析】如图，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，再过点P作x轴的平行线交BE于点H，交CF于点Q，易得△BHP∽△CQP，即得到BH：CQ=HP：QP=BP：CP，又△ABP∽△DCP，且相似比为1：2，从而得BH：CQ=HP：QP=1：2，再由点B和点P坐标求出BH=3，HP=2，从而球的出CQ=6，QP=4，进而得CF=5，即可求得点C坐标.
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接，并延长，如图所示：
∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点，
∴位似比为，
∴点A的对应点是G，
故答案为：D
【分析】连接，并延长，进而根据位似变换结合题意即可求解。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：与是位似图形，
位似比为2：3，
与的相似比为2：3，
的面积为，
，
.
故答案为：D.
【分析】先根据位似变换的定义得到再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
4．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，的位似图形为，位似比为，
而，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，点为位似中心，
∴△ABC∽，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴.
∴，
∴的周长为15，
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽，AB//DE，可得得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形对应边成比例可求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可得的周长 .
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：嘉嘉：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新正方形与原正方形相似，同时也位似，
嘉嘉说法正确.
淇淇 ：将边长为1的正方形按图中的方式向外扩张，得到新正方形，各边与原正方形的边平行，因此各角与原正方形的角相等，即则新正方形与原正方形相似，同时也位似．
淇淇的说法正确．
故答案为：A．
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形相似即可解答．
7．【答案】C
【知识点】位似变换；旋转的性质
【解析】【解答】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似，
∴有两个位置，
故答案为：
【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，结合图像找出符合条件的位置即可求解。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF ，
，
AD=OA ，
OA=OD，
△ABC与△DEF 的相似比为1：2，
△ABC与△DEF 的面积比 a∶b =1：4，即b=4a，
=，
故答案为：B.
【分析】先根据 AD=OA得到△ABC与△DEF 的相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得b=4a，再代入计算即可.
9．【答案】3：1
【知识点】位似变换；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵D是的重心，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
故答案为：.
【分析】利用三角形的重心的性质，可得到AD与DO的比值，同时可得到AO与DO的比值，再利用位似三角形的性质，可求出两三角形的位似比.
10．【答案】：
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，
∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，
∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，
∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，
故答案为：1：3．
【分析】利用位似三角形的性质可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求解即可。
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
12．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10
【分析】连接，先根据位似结合题意得到，，进而得到，，再根据“”即可求解。
13．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示：点即为所求．
【分析】（1）根据题意再结合网格，找到、中点，然后相连接，即可得到答案；
（2）根据题意再结合网格，利用直角三角形中两锐角互余的性质，即可得到答案；
（3）根据题意再结合网格，求出的长度为，，即，找到的五等分点，即可得到答案.
14．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求..
（3）
【知识点】轴对称图形；坐标与图形变化﹣平移；位似变换
【解析】【解答】解：（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求，
（3）解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查位似变换以及轴对称变换、平移变换．
（1）根据关于x轴对称点的性质以及平移的性质可求出B， C点坐标；
（2）直接利用对应点坐标的变化得出各点位置，再进行连接可作出 ；
（3）先找出三角形的底边和高，据此可求出和的面积，进而求出答案.
15．【答案】（1）解：∵ A（2，8），B（4，4），C（8，4） ，
∴ A1（1，4），B1（2，2），C1（4，2），
描点连线如图所示，
△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）解：△A1B1C1与△ABC的面积比为1：4．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将A、B、C的坐标都乘以得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可求解；
（2）根据相似比的等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
1 / 1
