【培优版】浙教版数学九上4.7 图形的位似 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由图，∵点的坐标为 ，位似比为2，
∴点B的对应点的坐标为（2，4）.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形和位似比的定义，由OD=2OB和图象，每个顶点的横坐标和纵坐标都×（-2）.
2．（2024·万州模拟）如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的面积为，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，，
∴，
∵的面积为9，
∴的面积为．
故答案为：D
【分析】先根据相似三角形的性质得到，进而结合已知条件即可求解。
3．（2024九上·吴桥期末）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，且，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据位似的性质可得，，结合“的周长等于周长的”可得相似比为，可知，进而可证，再根据相似比的等式关系计算即可求解。
4．（2024九上·青县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若和位似，且位似中心是原点O，，则和的周长比是（ ）
A．2 ：1 B．2 ：3 C．3 ：2 D．9 ：4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵和位似，，
∴，
∴和的周长比是：3 ：2，
故答案为：C
【分析】先根据位似结合题意得到，进而根据相似三角形的性质即可求解。
5．（2024九上·定边期末）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似
∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2
∴S△ABC：S△A1B1C1=×AC×三角形ABC底边AC的高：×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=×=
∵三角形ABC的面积为5
∴三角形A1B1C1=5÷=20
故答案为：C.
【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.
6．（2024九上·北碚期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为，据此可求出答案．
7．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙位似，O是位似中心，且，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，对应边互相成比例，据此得到：进而即可求解.
8．（2024九上·锦江期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
二、填空题
9．（2024·南昌模拟）如图，已知△ABC和△以点C（－1，0）为位似中心，位似比为1∶2的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，如图所示：
，
，
，
∵和是位似比为的位似图形，
即，
解得，
点横坐标为．
故答案为：
【分析】设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，再根据位似结合题意代入即可求解。
10．（2024九上·湖南期末） 如图，点O是两个位似图形的位似中心，若OA'＝A'A，则△ABC与△A'B'C'的周长之比等于 ．
【答案】2：1
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵OA'＝A'A，
∴OA=OA'+AA'=2OA'，
∵点O是两个位似图形的位似中心，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比等于OA：OA'=2OA'：OA'=2：1，
故答案为：2：1.
【分析】先求出OA=OA'+AA'=2OA'，再利用位似图形的性质可得△ABC与△A'B'C'的周长之比等于OA：OA'=2OA'：OA'=2：1，从而得解.
11．（2021九上·本溪期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点B的对应点的坐标是 .
【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【分析】根据位似中心、相似比、将缩小，即可得出点B的对应点。
12．（2023·黄岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为 ．
【答案】/
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用位似图象的性质求解即可。
三、综合题
13．（2024九下·香洲月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
【答案】（1）解：如图，和和即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
【知识点】作图﹣位似变换；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△EFC；
（3）取格点E，F，连接EF，交AC于P点，则点P即为所求作的点，由图可得△APF∽△CPE，从而得出.
14．（2024九下·宁波月考）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
15．（2024九上·四平期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②网格中，画一个与图①相似的（要求：不与全等）．
（2）在图③中，以为位似中心，画一个，使它与的位似比为．
【答案】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
．
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据网格特点和相似的判定，画出，，，根据可得相似；
（2）利用位似图形的性质，结合网格的特点，延长至使，延长至使，延长至使，从而得到．
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一、选择题
1．（2024九上·嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·万州模拟）如图，和是位似图形，点是位似中心，若，的面积为，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024九上·吴桥期末）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2024九上·青县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，若和位似，且位似中心是原点O，，则和的周长比是（ ）
A．2 ：1 B．2 ：3 C．3 ：2 D．9 ：4
5．（2024九上·定边期末）如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
6．（2024九上·北碚期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
7．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
8．（2024九上·锦江期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
二、填空题
9．（2024·南昌模拟）如图，已知△ABC和△以点C（－1，0）为位似中心，位似比为1∶2的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为 ．
10．（2024九上·湖南期末） 如图，点O是两个位似图形的位似中心，若OA'＝A'A，则△ABC与△A'B'C'的周长之比等于 ．
11．（2021九上·本溪期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点B的对应点的坐标是 .
12．（2023·黄岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为 ．
三、综合题
13．（2024九下·香洲月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
14．（2024九下·宁波月考）如图，在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于原点O成中心对称的；
（2）以A为位似中心，在网格中画出，使与位似且面积比为4：1。
15．（2024九上·四平期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．
（1）在图②网格中，画一个与图①相似的（要求：不与全等）．
（2）在图③中，以为位似中心，画一个，使它与的位似比为．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由图，∵点的坐标为 ，位似比为2，
∴点B的对应点的坐标为（2，4）.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形和位似比的定义，由OD=2OB和图象，每个顶点的横坐标和纵坐标都×（-2）.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，，
∴，
∵的面积为9，
∴的面积为．
故答案为：D
【分析】先根据相似三角形的性质得到，进而结合已知条件即可求解。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵与位似，
∴，且，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据位似的性质可得，，结合“的周长等于周长的”可得相似比为，可知，进而可证，再根据相似比的等式关系计算即可求解。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵和位似，，
∴，
∴和的周长比是：3 ：2，
故答案为：C
【分析】先根据位似结合题意得到，进而根据相似三角形的性质即可求解。
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△ABC位似
∴OA：OA1=AC：A1C1=三角形ABC底边AC的高：三角形A1B1C1底边AC的高=1：2
∴S△ABC：S△A1B1C1=×AC×三角形ABC底边AC的高：×A1C1×三角形A1B1C1底边AC的高=×=
∵三角形ABC的面积为5
∴三角形A1B1C1=5÷=20
故答案为：C.
【分析】根据三角形位似的性质，可得对应边之比相等；根据三角形面积公式即可解题.
6．【答案】D
【知识点】相似多边形；位似变换
【解析】【解答】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为，据此可求出答案．
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙位似，O是位似中心，且，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，对应边互相成比例，据此得到：进而即可求解.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，如图所示：
，
，
，
∵和是位似比为的位似图形，
即，
解得，
点横坐标为．
故答案为：
【分析】设点横坐标为，过作轴于点，过作轴于点N，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，再根据位似结合题意代入即可求解。
10．【答案】2：1
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵OA'＝A'A，
∴OA=OA'+AA'=2OA'，
∵点O是两个位似图形的位似中心，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比等于OA：OA'=2OA'：OA'=2：1，
故答案为：2：1.
【分析】先求出OA=OA'+AA'=2OA'，再利用位似图形的性质可得△ABC与△A'B'C'的周长之比等于OA：OA'=2OA'：OA'=2：1，从而得解.
11．【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【分析】根据位似中心、相似比、将缩小，即可得出点B的对应点。
12．【答案】/
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
【分析】利用位似图象的性质求解即可。
13．【答案】（1）解：如图，和和即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
【知识点】作图﹣位似变换；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出△EFC；
（3）取格点E，F，连接EF，交AC于P点，则点P即为所求作的点，由图可得△APF∽△CPE，从而得出.
14．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，与即为所求作的三角形．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1，顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可求解.
15．【答案】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：如图，即为所作，
．
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据网格特点和相似的判定，画出，，，根据可得相似；
（2）利用位似图形的性质，结合网格的特点，延长至使，延长至使，延长至使，从而得到．
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