【培优版】浙教版数学九上4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2024·云南模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
2．（2024·宜宾）如图，等腰三角形ABC中，，反比例函数的图象经过点A、B及AC的中点M，轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·婺城二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．5
4．（2024·平江二模）如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交AC点E．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数y=2x与反比例函数的图象相交于A，B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC的延长线交反比例函数的图象于点D，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
7．（2020·海门模拟）如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F.连接EC交BD于点G.取DF的中点H，并连接AH.若AH= ，EG= ，则四边形AEFH的面积为 .
8．（2024九下·游仙月考）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
9．（2023八上·邛崃月考）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 ．
10．（2022·常德）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 .
11．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
12．（2024九上·贵阳期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O．若，AD＝15，则AO的长为 ．
三、解答题
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.3 比例线段 同步练习）如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
14．（2023七下·新都期末）如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
（3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
15．（2020·营口模拟）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE.
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM.
①求∠CAM的度数；
②当FH= ，DM=4时，求DH的长.
16．（2024九上·简阳期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，
①求点的坐标；
②求的面积．
四、实践探究题
17．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 ； ；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：ABCD为矩形，则∠DAB=90°，由勾股定理得BD=，E为CD的中点，故DE=2，又由DE||AB得，得BF=BD=
故答案为：D.
【分析】先由勾股定理得BD的长，由DE||AB可得BF=BD即可得BF的长.
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，如图：
设，，
∵BC//x轴，AD⊥x轴，
∴点.
在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴
∵AC的中点为M，
∴，即
∵点M在反比例函数上，
∴
解得：b=﹣3a，或b=a(舍)
∵NE//AD，
∴
故答案为：A.
【分析】作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，得到点D，C，M的坐标，再把点M坐标代入解析式，A，B两点横坐标的关系式，最后利用平行线分线段成比例定理即可求得结果.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD=90°，
∵EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，
∴EF∥AC，EG∥BD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴，，
即，，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=5，OD=12，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，EG∥BD，根据平行线分线段成比例可得OF=6，OG=2.5，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
4．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴．
故答案为：A．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入AD=2，BD=3，AB=AD+BD，即可求出结论.
5．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴设B（t，2t），则A（ t，-2t），
∴k＝t 2t＝2t2，
∴反比例为y＝，
∵AC⊥AB，
∴设直线AC的解析式为y＝ x＋b，
把A（ t， 2t）代入得， 2t＝t＋b，则b＝ t，
∴C（0， t），
设直线BC的解析式为y＝mx t，
把B（t，2t）代入得，2t＝tm t，
∴m＝，
∴直线BC的解析式为y＝x t，
联立
解得或，
∴D（，），
如图，分别过B，D作y轴的垂线于E，F，则BE∥DF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为D.
【分析】根据题意设B（t，2t），则A（ t，-2t），先求出反比例函数解析式为y＝，再求得直线AC的解析式，即可求得C的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，联立解析式求出点D的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
7．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，
∵DH=DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴AH=CH= ，
∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB，
∴EF∥HM∥AD，
∵HF=HD，
∴AM=EM，
∴HA=HE=HC，
∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
由题可证得DN=HN，
又∵AM=EM，
∴EM=HN，
∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL），
∴∠MHE=∠HCN，
∵∠HCN+∠CHN=90°，
∴∠MHE+∠CHN=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EC= HE=2，
∵EG= ，
∴GC=2– = ，
∵EF∥BC，
∴ = = ，
设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，
∵EF∥HM，
∴ = ，
∴ = ，
∴HM=7a，
∴S四边形AEFH=S△AMH+S梯形EFHM= ×3a×7a+ （4a+7a）×3a=27a2，
在Rt△BEC中，
∵BE2+BC2=EC2，
∴16a2+100a2=4，
∴a2= ，
∴S四边形AEFH= .
故答案为： .
【分析】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N.证明△ADH≌△CDH，得到AH=CH= ，证明四边形AMND是矩形，得到AM=DN，进而得到EM=HN，证明Rt△HME≌Rt△CNH，得到∠MHE=∠HCN，设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，根据EF∥HM，得到 = ，进而得到HM=7a，进而求出
S四边形AEFH，在Rt△BEC中，根据勾股定理得到16a2+100a2=4，即可求出 的值，进而得到四边形AEFH的面积.
8．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：作交于，过作于，
∵是方程的两个实数根（），
∴，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先解方程可得AC=4，BC=3，再作CM∥BP交AB于点M，过C作CD⊥AB于点D，即可求出CD、BD的长度，再由旋转的性质和平行线的性质可得∠CBA=∠CMB，即可得到CM=BC，MD=BD，再由平行线分线段成比例求出BP，最后根据求解即可．
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据题意，∵四个直角三角形全等，
∴BF=CG=DH=AE，BG=GH=DE=AF，
∴FG=GH=HE=EF，
∴四边形EFGH为正方形，
∵四个直角三角形全等，
∴AB=BC=CD=DA，BAF=CBG，
∵BAF+ABF=90°，
∴ABF+CBG=90°，即ABC=90°，
∴四边形ABCDC为正方形，
∵DN=DC，
∴DN=AD，
∵ED⊥AF，
∴AE=EN，同理可得，MG=CG，
∴BF=CG=MG=DH=AE=EN，
设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，
则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，
∵DE⊥AF，BF⊥AF，
∴DE∥BF，
∴=，
∴=，b2=2a2，
∵a＞0，b＞0，
∴b=a，
∴DE=（+1）a，
∴AD2=AE2+DE2=a2+[（+1）a]2=（4+2）a2，
∴正方形ABCD的面积=AD2=（4+2）a2，
S阴影=S△ABN+S△DMC=2a2，
∴两个阴影的面积与四边形ABCD的面积的比为=；
故答案为：.
【分析】 利用全等三角形的性质，得到四边形ABCD和四边形EFGH 为正方形，利用等腰三角形的性质可得AE=EN，MG=GC，设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，利用平行线分线段成比例定理得到b=a， 再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积，则结论可得．
10．【答案】12
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出，
.
故答案为：12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=x，CN=x，MN=x，则，，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合就可求出a的值，进而可得S△ABC.
11．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
12．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴，
∵AD=15，
∴OD=15-AO，
∵，
∴，
解得：AO=6，
经检验，AO=6符合题意，
即AO的长为6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再求出OD=15-AO，最后代入计算求解即可。
13．【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
14．【答案】（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：
（3）解：如图，
设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：△ACD≌△BDE，
∴AD=BE，
∴AB=BD+AD=BD+BE，
∵BC=BD，
∴AB=BC+BE；
【分析】（1）由对折及已知可得BC=BD=AC，∠BCD=∠BDC，由可推出∠ACD=∠BDE，根据SAS可证△ACD≌△BDE；
（2）由（1）知△ACD≌△BDE，可得AD=BE，由AB=BD+AD=BD+BE即可求解；
（3）设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，可得FG∥BH，利用平行线分线段成比例可得，由折叠知CH=DH，可得CH=2GH，即得CK=2FK，易得FG∥DE，可得，从而得出，继而得出，进一步即可求解.
15．【答案】（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）结论：成立.理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（3）解：①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI= BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM.
∴MI= AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°.
②设DH=x，则AH= x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴ ，
∴ ，
解得x=1+ 或1﹣ （舍弃），
∴DH=1+ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）只要证明AB=ED，AB∥ED即可解决问题；
（2）成立.如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI= AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH=x，则AH= x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出 ，可得 ，解方程即可；
16．【答案】（1）解：把代入中，，
把代入得，，
反比例函数的解析式为
（2）解：①过点作，垂足为；，
，，，点
②设点，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将求得k的值，即可求解；
（2）①过点作，垂足为；，根据平行线分线段成比例得到，结合已知条件求得AC=3，即可得到点A的坐标；②设点， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点求得n的值，得到点B的坐标，再根据结合AB的值即可求解.
17．【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
1 / 1【培优版】浙教版数学九上4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、选择题
1．（2024·云南模拟）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：ABCD为矩形，则∠DAB=90°，由勾股定理得BD=，E为CD的中点，故DE=2，又由DE||AB得，得BF=BD=
故答案为：D.
【分析】先由勾股定理得BD的长，由DE||AB可得BF=BD即可得BF的长.
2．（2024·宜宾）如图，等腰三角形ABC中，，反比例函数的图象经过点A、B及AC的中点M，轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，如图：
设，，
∵BC//x轴，AD⊥x轴，
∴点.
在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴
∵AC的中点为M，
∴，即
∵点M在反比例函数上，
∴
解得：b=﹣3a，或b=a(舍)
∵NE//AD，
∴
故答案为：A.
【分析】作过A作AD⊥BC于点D，BC与y轴交于E点，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，得到点D，C，M的坐标，再把点M坐标代入解析式，A，B两点横坐标的关系式，最后利用平行线分线段成比例定理即可求得结果.
3．（2024·婺城二模）如图，在菱形中，对角线交点为O，E是的中点，作于点F，于点G，连接．若，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．5
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴AC⊥BD，，，
∴∠AOD=90°，
∵EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，
∴EF∥AC，EG∥BD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴，，
即，，
∴；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线垂直且平分可得AO=5，OD=12，根据同位角相等，两直线平行可得EF∥AC，EG∥BD，根据平行线分线段成比例可得OF=6，OG=2.5，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
4．（2024·平江二模）如图，在中，点D在边AB上，过点D作，交AC点E．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴．
故答案为：A．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出，再代入AD=2，BD=3，AB=AD+BD，即可求出结论.
5．如图，一次函数y=2x与反比例函数的图象相交于A，B两点，AC⊥AB交y轴于点C，BC的延长线交反比例函数的图象于点D，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴设B（t，2t），则A（ t，-2t），
∴k＝t 2t＝2t2，
∴反比例为y＝，
∵AC⊥AB，
∴设直线AC的解析式为y＝ x＋b，
把A（ t， 2t）代入得， 2t＝t＋b，则b＝ t，
∴C（0， t），
设直线BC的解析式为y＝mx t，
把B（t，2t）代入得，2t＝tm t，
∴m＝，
∴直线BC的解析式为y＝x t，
联立
解得或，
∴D（，），
如图，分别过B，D作y轴的垂线于E，F，则BE∥DF，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为D.
【分析】根据题意设B（t，2t），则A（ t，-2t），先求出反比例函数解析式为y＝，再求得直线AC的解析式，即可求得C的坐标，根据待定系数法求得直线BC的解析式，联立解析式求出点D的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
6．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
二、填空题
7．（2020·海门模拟）如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F.连接EC交BD于点G.取DF的中点H，并连接AH.若AH= ，EG= ，则四边形AEFH的面积为 .
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADH=∠CDH=45°，
∵DH=DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴AH=CH= ，
∵EF⊥AB，HM⊥AB，DA⊥AB，
∴EF∥HM∥AD，
∵HF=HD，
∴AM=EM，
∴HA=HE=HC，
∵∠AMN=∠DAM=∠ADN=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN，
由题可证得DN=HN，
又∵AM=EM，
∴EM=HN，
∴Rt△HME≌Rt△CNH（HL），
∴∠MHE=∠HCN，
∵∠HCN+∠CHN=90°，
∴∠MHE+∠CHN=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EC= HE=2，
∵EG= ，
∴GC=2– = ，
∵EF∥BC，
∴ = = ，
设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，
∵EF∥HM，
∴ = ，
∴ = ，
∴HM=7a，
∴S四边形AEFH=S△AMH+S梯形EFHM= ×3a×7a+ （4a+7a）×3a=27a2，
在Rt△BEC中，
∵BE2+BC2=EC2，
∴16a2+100a2=4，
∴a2= ，
∴S四边形AEFH= .
故答案为： .
【分析】如图，连接HE，HC，作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N.证明△ADH≌△CDH，得到AH=CH= ，证明四边形AMND是矩形，得到AM=DN，进而得到EM=HN，证明Rt△HME≌Rt△CNH，得到∠MHE=∠HCN，设EF=BE=4a，则BC=AB=10a，AE=6a，AM=ME=3a，根据EF∥HM，得到 = ，进而得到HM=7a，进而求出
S四边形AEFH，在Rt△BEC中，根据勾股定理得到16a2+100a2=4，即可求出 的值，进而得到四边形AEFH的面积.
8．（2024九下·游仙月考）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．当点落在的延长线上时，连接，交于点P，若是方程的两个实数根（），则的面积为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：作交于，过作于，
∵是方程的两个实数根（），
∴，，
∴，
∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先解方程可得AC=4，BC=3，再作CM∥BP交AB于点M，过C作CD⊥AB于点D，即可求出CD、BD的长度，再由旋转的性质和平行线的性质可得∠CBA=∠CMB，即可得到CM=BC，MD=BD，再由平行线分线段成比例求出BP，最后根据求解即可．
9．（2023八上·邛崃月考）如图，、、、为四个全等的直角三角形，与、、分别交于点、、，且满足，则两个阴影部分的面积和与四边形面积的比值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：根据题意，∵四个直角三角形全等，
∴BF=CG=DH=AE，BG=GH=DE=AF，
∴FG=GH=HE=EF，
∴四边形EFGH为正方形，
∵四个直角三角形全等，
∴AB=BC=CD=DA，BAF=CBG，
∵BAF+ABF=90°，
∴ABF+CBG=90°，即ABC=90°，
∴四边形ABCDC为正方形，
∵DN=DC，
∴DN=AD，
∵ED⊥AF，
∴AE=EN，同理可得，MG=CG，
∴BF=CG=MG=DH=AE=EN，
设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，
则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，
∵DE⊥AF，BF⊥AF，
∴DE∥BF，
∴=，
∴=，b2=2a2，
∵a＞0，b＞0，
∴b=a，
∴DE=（+1）a，
∴AD2=AE2+DE2=a2+[（+1）a]2=（4+2）a2，
∴正方形ABCD的面积=AD2=（4+2）a2，
S阴影=S△ABN+S△DMC=2a2，
∴两个阴影的面积与四边形ABCD的面积的比为=；
故答案为：.
【分析】 利用全等三角形的性质，得到四边形ABCD和四边形EFGH 为正方形，利用等腰三角形的性质可得AE=EN，MG=GC，设BF=CG=MG=DH=AE=EN=a，EF=FG=GH=HE=b，则DE=DH+EH=a+b，NF=EF-EN=b-a，利用平行线分线段成比例定理得到b=a， 再利用三角形的面积公式和正方形的面积公式分别计算两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积，则结论可得．
10．（2022·常德）如图，已知是内的一点，，，若的面积为2，，，则的面积是 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出，
.
故答案为：12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，由已知条件得CE=3BE，AD=2BD，令AM=x，则CM=3x，AC=4x，AN=x，CN=x，MN=x，则，，结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64，S△NMF∶S△MEC=25∶81，设S△NMF=25a，则S△NAD=64a，S△MEC=81a，S四边形FECN=56a，S△ABC=2+120a，结合就可求出a的值，进而可得S△ABC.
11．（2022·苏州）如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，分别以A，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，设AC与 MN的交点为O ，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC ，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
又 ， ，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC ，
，
四边形AECF是菱形，
， ，
，
，
∴E为BC的中点，
中， ， ，
，
，
四边形AECF的周长为 .
故答案为： .
【分析】设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE，证明△AOF≌△COE，得到AF=EC，推出四边形AECF是平行四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF∥AB，根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点，根据勾股定理可得BC，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC，据此求解.
12．（2024九上·贵阳期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O．若，AD＝15，则AO的长为 ．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴，
∵AD=15，
∴OD=15-AO，
∵，
∴，
解得：AO=6，
经检验，AO=6符合题意，
即AO的长为6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例求出，再求出OD=15-AO，最后代入计算求解即可。
三、解答题
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.3 比例线段 同步练习）如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G，并连接EG，由中位线定理可得EG∥BD，即可得到CF：FE的值，进而得到S△DFC：S△DFE的比值；设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x，根据AD：DC的值可求得S△EAD：S△ECD的比值，进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE；然后结合三角形面积建立方程求得x值，即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF，可求得答案。
14．（2023七下·新都期末）如图1，是等腰直角三角形，，先将边沿过点B的直线l对折得到，连接，然后以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点D在的斜边上时，请直接写出用表示的关系式；
（3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且的面积为10，求的面积．
【答案】（1）证明：∵边沿过点B的直线l对折得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：
（3）解：如图，
设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）由（1）知：△ACD≌△BDE，
∴AD=BE，
∴AB=BD+AD=BD+BE，
∵BC=BD，
∴AB=BC+BE；
【分析】（1）由对折及已知可得BC=BD=AC，∠BCD=∠BDC，由可推出∠ACD=∠BDE，根据SAS可证△ACD≌△BDE；
（2）由（1）知△ACD≌△BDE，可得AD=BE，由AB=BD+AD=BD+BE即可求解；
（3）设直线l交于点H，交于K，取的中点G，连接，可得FG∥BH，利用平行线分线段成比例可得，由折叠知CH=DH，可得CH=2GH，即得CK=2FK，易得FG∥DE，可得，从而得出，继而得出，进一步即可求解.
15．（2020·营口模拟）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）.DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE.
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM.
①求∠CAM的度数；
②当FH= ，DM=4时，求DH的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（2）结论：成立.理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形.
（3）解：①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI∥BH，MI= BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM.
∴MI= AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°.
②设DH=x，则AH= x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴ ，
∴ ，
解得x=1+ 或1﹣ （舍弃），
∴DH=1+ .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）只要证明AB=ED，AB∥ED即可解决问题；
（2）成立.如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI= AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH=x，则AH= x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出 ，可得 ，解方程即可；
16．（2024九上·简阳期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，
①求点的坐标；
②求的面积．
【答案】（1）解：把代入中，，
把代入得，，
反比例函数的解析式为
（2）解：①过点作，垂足为；，
，，，点
②设点，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将求得k的值，即可求解；
（2）①过点作，垂足为；，根据平行线分线段成比例得到，结合已知条件求得AC=3，即可得到点A的坐标；②设点， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点求得n的值，得到点B的坐标，再根据结合AB的值即可求解.
四、实践探究题
17．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 ； ；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
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