浙教版数学九上第3章 圆的基本性质 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·织金期末）如图，在中，将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是( )
A． B． C． D．
2．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
3．（2024八下·深圳期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
5．（2024八下·台州开学考）如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·金华月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为何时，与平行（ ）
A．4或10秒 B．10或20秒 C．10或 40秒 D．4或40秒
7．（2024七上·孟村期末）如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023·南京模拟）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·丰润期中） 如图， 点 E为正方形ABCD内一点， ∠AEB=90°， 将△AEB绕点 B 按顺时针方向旋转90°， 得到△CBG。延长AE交 CG于点 F， 连接DE。下列结论： ①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形， ③若DA=DE， 则2CF=CG； ④若△ADE是等边三角形，其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．①④
10．（2024七下·湘桥期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·金沙期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转60°得到线段，连接，.若，，，则的度数是 .
12．（2024·成都一诊）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 ，最大值是 ．
13．（2024八下·渠县期中）如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．若△AOD是等腰三角形，则α的度数为 ．
14．（2024·叙州模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接EF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 ．
15．（2024七下·武汉期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形OAB连续做旋转变换，依次得到，，，……，则的直角顶点的纵坐标为 ．
16．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题12分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，延长AB至点E，使得BE=AD，连结AC，CE.
（1）求证：AC=CE.
（2）若AD=4，AB=6，∠BCD=120°，求BC的长。
19．如图， 在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 等边三角形 内接于圆， 且顶点 均在格点上， 若点 在圆上， 与 相交于点 ， 请用无刻度的直尺， 在如图所示的网格中， 画出点 ， 使 为等边三角形，并简要说明点 的位置是如何找到的(不要求证明)
20．（2021·蔡甸模拟）如图，在下列 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点， 的顶点的坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出 的形状；
⑵要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转角度 得到 ，其中 ， ， 的对应点分别为 ， ，请你完成作图；
⑶在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点的坐标；
⑷作点 关于 的对称点 .
21．（2024八下·龙华期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点．
①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若，请直接写出的面积 ．
22．（2024·牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
（2）探究问题：
当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
（3）拓展思考：
在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝ ．
23．（2024·汉川模拟）如图，内接于，为上一点，连接、，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，延长交于点，连接，若，，求的半径．
24．（2024八下·高州期末）已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于，．
（1）当绕点旋转到时如图所示，并将逆时针旋转，得到，求证；
（2）当绕点旋转到时如图所示，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（3）当绕点旋转到如图所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转 得到△AB'C'，和旋转后的对应点分别是和，
∴AB=AB'，∠BAB'=68°，
∴.
故答案为：D
【分析】根据旋转的性质可得AB=AB'，∠BAB'=68°，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求∠ABB'即可.
2．【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD
∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵小刚的位置从A点运动到了A'点，
∴，
∴，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得OA=A'O，根据等边对等角得，然后利用三角形内角和即可求解．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，如图：
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE.
即∠ACE=∠BCD.
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD=5，DE=DC.
又∵AD=3，
∴DE=DC=4.
故答案为：B.
【分析】线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，于是可得等边三角形△DCE，根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△BCD，从而得AE=BD=5，DE=DC.由和∠CDE=60°，可得∠ADE=90°，于是可利用勾股定理求得DE长，问题得到解决..
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图① ，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°-(6t)°=100°=t°，
t=4，
此时（180°-60°）÷6=20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°-60°-(6t)°=300°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°-(6t)°=100°-t°，
t=40，
此时（360°-60°）÷6=50，
∴20＜t＜50；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠DCF=(6t)°-（180°-60°+180°）=(6t)°-300°，
∠BAC=t°-100°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°-300°=t°-100°，
t=40，
此时t＞50，
∴此情况不存在，
综上所述，当t的值为4或40时，CD与AB平行.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，根据内错角相等两直线平行，列出算式即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解。
7．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90° 30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；
∴t的值为：6或24．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出∠AOC=60°，进而分类讨论：①当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，②当ON在∠AOC的内部时，进而根据旋转、角平分线的性质即可求解。
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC交半圆于点D，交BC于点E，连接AC
∵半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心
∴DE=OE=OD=OB
∵OD⊥BC
∴ABC=30°
∵AB为直径
∴ACB=90°
∴BC=AB cos30°=6× 32=
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥BC交半圆于点D，交BC于点E，连接AC，根据折叠的性质可得DE=OE=OD=OB，再根据直角三角形边的关系得到ABC=30°，根据圆周角定理ACB=90°，最后根据三角函数求得BC长度。
9．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设交于，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴ 四边形是正方形，故正确；
过点作于，如图所示：
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故正确；
若，则，
∵，
∴，即，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，故正确；
∴正确的有，
故答案为：
【分析】设交于，根据正方形的性质得到，进而得到，根据旋转的性质得到，从而等量代换即可得到， 再结合题意即可判断①；先根据旋转的性质得到，，，进而根据矩形的判定结合正方形的判定即可判断②；过点作于，先根据垂直得到，，进而根据正方形的性质得到，，从而结合题意等量代换得到， 再根据三角形全等的判定与性质证明得到， 根据旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而等量代换得到，再结合题意即可判断③；根据题意得到若，则，进而即可得到，即，再根据正方形的性质得到，从而即可判断④.
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，，
；①正确．
②，
，
，是定值；②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；③错误．
④设，则．
如图
由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由（1）得：，
，
，
，
，
．
此时或；④错误．
∴ 正确的个数有个．
故答案为：A．
【分析】①根据同角的余角相等可得；
②根据角的关系可得；
③分CD在CB上方和CD在CB下方两种平行情况讨论即可；
④分CD在CB上方和CD在CB下方两种情况讨论即可；
11．【答案】150°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可知PB=P'B，∠PBP'=60°，
∴△PBP'是等边三角形，
∴∠BPP'=60°，PP'=PB=3，
在等边△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°=∠BPP'，
∴∠ABP=∠PBP'，
在△BAP和△BCP'中，
，
∴△BAP≌△BCP'（SAS），
∴P'C=PA=5，
∵PC2+P'P2=42+32=25，P'C2=52=25，
∴PC2+P'P2=P'C2，
∴△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°，
故答案为：150°．
【分析】由旋转的性质可得PB=P'B，∠PBP'=60°，可证△PBP'是等边三角形，可得∠BPP'=60°，PP'=PB=3，由“SAS”可证△BAP≌△BCP'，可得P'C=PA=5，由勾股定理的逆定理可得△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，即可求解。
12．【答案】2；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2
故答案为：2.
(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，
又∵⊙O的半径是4，∴AO=4
在Rt△A'OE中，
又∵A'，B'之间的水平距离为1
∴EM=1，OM=
∵C（﹣1，2）， ∴CF=OM+1=+1=
∵C'F=1+2=3
在Rt△C'FC中，
故答案为：.
【分析】(1)当C'在点A 的下方时，C'A⊥直线y=-1，AC'距离最小，这时最小值为2
（2）当当A'在⊙O上时，CC'最小，作垂直构造直角三角形，利用勾股定理解题即可.
13．【答案】105°或127.5°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴OC=OD，∠OCD=60°，∠DAC=∠OBC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵∠AOB=105°，
∴∠BAO+∠ABO=75°，
在等边三角形ABC中，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAC+∠OBC=120°-75°=45°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠OAC+∠OBC=45°，
分三种情况：
①当OA=OD时，∠ODA=∠OAD=45°，
∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=90°，
∴ α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=105°；
②当OA=AD时，∠AOD=∠ADO=（180°-∠OAD）=67.5°，
∴α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=127.5°；
③当OD=AD时，∠AOD=∠OAD=45°，
∴α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=360°-105°-60°-45°=150°.
综上可知： α的度数为105°或127.5°或150°.
故答案为：105°或127.5°或150°.
【分析】由旋转可求△OCD是等边三角形，可得∠COD=60°，再推出∠OAD=45°，根据等腰三角形的性质分三种情况：①当OA=OD时，②当OA=AD时，③当OD=AD时，据此分别解答即可.
14．【答案】3-3
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
，
，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形. 则点B的对应点是 连接 交AD于E， 交半圆O于F， 则线段 的长即为 的长度最小值，
的长度最小值为
故答案为： 。
【分析】先确定点F在以DC为直径的半圆上移动，再找出最小值的情况，最后计算即可。
15．【答案】2.4
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由图形知：的直角顶点的纵坐标为0，
过的直角顶点作x轴的垂线，令垂线段长为y，
则△AOB的面积=×3×4=×5y，解得y=2.4，
∴的直角顶点的纵坐标为2.4，
从而得出的直角顶点的纵坐标为0，
的直角顶点的纵坐标为0，
的直角顶点的纵坐标为2.4，······，
∴（i为正整数）的直角顶点纵坐标按1，2.4，0循环出现，
∵2024÷3=674···2，
∴的直角顶点的纵坐标为2.4.
故答案为：2.4.
【分析】根据题意分别求出，，，……， 直角顶点的纵坐标，据此找出规律即可求解.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
17．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
18．【答案】（1）解：，
，
点C是的中点，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是的中点，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得，通过补角的性质证得，再利用圆心角定理得到CD=BC，通过SAS判定，即可得到AC=CE.
(2)作，利用等腰三角形的性质得到AF的长度，由圆内接四边形的性质可得，再通过圆心角定理得到，再利用直角三角形的求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出BC的长度.
19．【答案】解：如图，点Q即均所求.
方法步骤：①取AB与格线的交点F，则点F平分AB，即AF=BF；
②连接BD，取BD与竖格线的交点H，连接FH并延长交格线于点G，可得FH=FG；
③连接AG并延长，与圆相交于点K，连接CK并延长，易证△AFG≌△BFH，∴AK//BD，∴∠KCB=∠ACP；
④取AC与横格线的交点E，连接EF并延长交横格线于点M，可得EF=FM；
⑤连接MB并延长，与射线CK相交于点Q，易证△AFE≌△BFM，∴∠FBM=∠FAC=60°，∴∠CBQ=60°=∠CAP，∴△BCQ≌△ACP(ASA)
∴CP=CQ.
⑥连接PQ，易证∠PCQ=∠ACB=60°，△PCQ是等边三角形.
∴点Q即为求作的点.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】取AB与格线的交点F；连接BD，取BD与竖格线的交点H，连接FH并延长交格线于点G；连接AG并延长，与圆相交于点K，连接CK并延长；取AC与横格线的交点E，连接EF并延长交横格线于点M，连接MB并延长，与射线CK相交于点Q，点Q即为所求.由△AFG≌△BFH和△AFE≌△BFM，得∠KCB=∠ACP，∠CBQ=60°=∠CAP，从而可证明△BCQ≌△ACP，即可证明△PCQ是等边三角形.
20．【答案】解：（1） 是以 为斜边的直角三角形.
（2） 如图所示.
先将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ；再将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ， 连接 ，即可得到 ；
（3）点 .
（4）如图，取格点 （1，0），作直线 ，取格点 （4，-2），连接 交 于点 ，点 即为所求作.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；作图﹣旋转；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形.
（3）解：如图，过点 作直线 交 轴于点 ，由图可知：点 .
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标结合两点间距离公式求出AB、AC、BC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（2）将AB绕点B逆时针旋转2α到达BA1，将CB绕点B逆时针旋转2α到达BC1，据此可得点A1、C1的坐标，连接A1C1即可得到△A1BC1；
（3）过点C1作直线C1G⊥AB交y轴于点G，由图形可得点G的坐标；
（4）取格点T（1，0），作直线TC1，取格点P（4，-2），连接OP交TC1于点D，点D即为所求作.
21．【答案】（1）证明：∵旋转，
∴
∴
在 中，
∴
∴
∴平分；
（2）①，理由见解析；②
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：①，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，
∵，
∴
在矩形中，由旋转，
∴
∵，
∴
∴；
②在 中，，
在上截取，连接，过点作于点，
∵旋转
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴
由（1）得，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
∴
又∵旋转，
∴，
∴四边形是平行四边形，
在中，
，
∴
∴
∴．
【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据旋转得，则，根据得出，等量代换得出；
（2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而由全等三角形的性质，得证；
②首先根据旋转和60°得到是等边三角形，则，在上截取，证明，由此得出四边形是平行四边形，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解．
22．【答案】（1）证明： 在AB上截取AM＝EF，连接DM，
由旋转的性质知：AD=AE，∠EAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠B=60°，
∴∠EFB=∠EAD，∠EFA=180°-60°=120°
∵∠BAD=∠EAD-∠EAB，∠E=∠EFB-∠EAB，
∴∠BAD=∠E，
∵AD=AE，AM=EF，
∴△DAM≌△AEF（SAS），
∴AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，
∴∠BMD=180°-∠AMD=60°，
∵∠B=60°，
∴△BMD为等边三角形，
∴BD=DM=BM，
∴AB=AM+BM=EF+BD.
（2）解：图②：AB=BD-EF，
理由：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，
∵∠ABC=60°，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠BAH=∠BHA=60°，
由旋转知：∠DAE=60°，AE=AD，
∴∠BAH=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAH，
∵AG=AF
∴△FAE≌△GAD（SAS），
∴EF=DG，∠AFE=∠G，
∵BC∥EF，
∴∠AFE=∠ABC=∠G=60°，
∵∠DHG=∠AHB=60°，
∴△DHG为等边三角形，
∴DH=DG=EF，
∴AB=BH=BD-DH=BD-EF.
图③：AB=EF-BD，
理由：如图，在EF上取点H使AH=AF，
∵BC∥EF，
∴∠F=∠ABC=60°
∴△AHF为等边三角形，
∴∠AHF=∠HAF=60°，AH=FH
∴∠AHE=120°，∠EAH+∠DAB=180°-∠EAD-∠FAH=180°-60°-60°=60°，
由旋转知：AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠D=∠EAH，
∵∠DBA=∠AHE=120°，AD=AE，
∴△EAH≌△ADB（AAS）
∴BD=AH，AB=EH，
∴BD=HF，
∴AB=EH=EF-FH=EF-BD；
（3）10或18
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB=2BC，AC=BC，
∴BC=AC=6，AB=12，
∵CD=2BD，
∴BD=BC=2，
由（1）知：AB=EF+BD，
∴EF=AB-BD=12-2=10；
如图：当点D在线段BC的延长线上时 ，由CD＜BD，与CD=2BD矛盾，不成立；
如图：当点D在线段CB的延长线上时 ，
∵CD=2BD，BC=6，
∴BD=BC=6，AB=2BC=12，
由AB=EF-BD，则EF=AB+BD=18.
综上可知：EF的长为10或18.
【分析】（1）在AB上截取AM＝EF，连接DM，可证△DAM≌△AEF（SAS），可得AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，再证△BMD为等边三角形，可得BD=DM=BM，利用线段的和差关系即可求解；
（2）图②：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，易得△ABH为等边三角形，再证△FAE≌△GAD（SAS），可得EF=DG，∠AFE=∠G，最后可证△DHG为等边三角形，可得DH=DG=EF，利用线段的和差关系即可求解；
图③：如图，在EF上取点H使AH=AF，可证△EAH≌△ADB（AAS），可得BD=AH，AB=EH，利用线段的和差关系即可求解；
（3）利用含30°角的直角三角的性质求出BC=6，AB=12，结合CD=2BD求出BD的长，继而求解.
23．【答案】（1）证明：延长交于，如图，
则，
，
，
，
，即，
，
，
；
（2）解：延长交于点，连接，如图，
为的直径，
，
，
，
即，
，
，
，，，
，
则，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACE=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠CAE+∠AEC=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠ABC=∠AEC，根据等量代换原则，即可得∠ABC+∠BAD=90°，即可求证；
（2）根据圆周角定理，可得∠ABF=90°，根据等式性质可得∠BAF=∠CAH，圆心角、弧、弦的关系可得BF=CH=6；根据勾股定理，即可求出AF的长即可解决此题.
24．【答案】（1）证明：如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
由题意得：≌，
，，，
，
，，三点共线，
，
，
≌，
，
，，
；
（2）解：猜想：，理由如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
同理得：≌，
，
又，
；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
和中，
，
≌，
，，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键。（1）由正方形ABCD的性质及旋转的性质证≌，可证；（2）在的延长线上，截取，连接，证≌，≌，可得；（3）在上截取，连接，证≌；再证≌；可证．
1 / 1浙教版数学九上第3章 圆的基本性质 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·织金期末）如图，在中，将绕点顺时针旋转，和旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转 得到△AB'C'，和旋转后的对应点分别是和，
∴AB=AB'，∠BAB'=68°，
∴.
故答案为：D
【分析】根据旋转的性质可得AB=AB'，∠BAB'=68°，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求∠ABB'即可.
2．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
3．（2024八下·深圳期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵小刚的位置从A点运动到了A'点，
∴，
∴，
∴，
∴秋千旋转的角度为
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得OA=A'O，根据等边对等角得，然后利用三角形内角和即可求解．
4．（2024八下·揭西期末）如图，在折线段中，，，线段AB上有一点P，将线段AB分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转BC，PA．当BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，BP的长是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵BC，BP，PA三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形，
∴当3为腰时，AB被分成3和7两部分，
∵3+3＜7，
故这种情况不存在，
当3为底时，AB被分成5和5两部分，
∵3+5＞5，
∴此时BP=5，
故答案为：B．
【分析】分3为腰和3为底，分别计算BP的长。
5．（2024八下·台州开学考）如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，如图：
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE.
即∠ACE=∠BCD.
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD=5，DE=DC.
又∵AD=3，
∴DE=DC=4.
故答案为：B.
【分析】线段CD饶点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE，于是可得等边三角形△DCE，根据等边三角形的性质可证明△ACE≌△BCD，从而得AE=BD=5，DE=DC.由和∠CDE=60°，可得∠ADE=90°，于是可利用勾股定理求得DE长，问题得到解决..
6．（2024七下·金华月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为何时，与平行（ ）
A．4或10秒 B．10或20秒 C．10或 40秒 D．4或40秒
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图① ，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°-(6t)°=100°=t°，
t=4，
此时（180°-60°）÷6=20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°-60°-(6t)°=300°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°-(6t)°=100°-t°，
t=40，
此时（360°-60°）÷6=50，
∴20＜t＜50；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠DCF=(6t)°-（180°-60°+180°）=(6t)°-300°，
∠BAC=t°-100°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°-300°=t°-100°，
t=40，
此时t＞50，
∴此情况不存在，
综上所述，当t的值为4或40时，CD与AB平行.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，根据内错角相等两直线平行，列出算式即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解。
7．（2024七上·孟村期末）如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90° 30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；
∴t的值为：6或24．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出∠AOC=60°，进而分类讨论：①当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，②当ON在∠AOC的内部时，进而根据旋转、角平分线的性质即可求解。
8．（2023·南京模拟）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点O作OD⊥BC交半圆于点D，交BC于点E，连接AC
∵半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心
∴DE=OE=OD=OB
∵OD⊥BC
∴ABC=30°
∵AB为直径
∴ACB=90°
∴BC=AB cos30°=6× 32=
故答案为：A.
【分析】过点O作OD⊥BC交半圆于点D，交BC于点E，连接AC，根据折叠的性质可得DE=OE=OD=OB，再根据直角三角形边的关系得到ABC=30°，根据圆周角定理ACB=90°，最后根据三角函数求得BC长度。
9．（2024八下·丰润期中） 如图， 点 E为正方形ABCD内一点， ∠AEB=90°， 将△AEB绕点 B 按顺时针方向旋转90°， 得到△CBG。延长AE交 CG于点 F， 连接DE。下列结论： ①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形， ③若DA=DE， 则2CF=CG； ④若△ADE是等边三角形，其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．①④
【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设交于，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴ 四边形是正方形，故正确；
过点作于，如图所示：
∵，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故正确；
若，则，
∵，
∴，即，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，故正确；
∴正确的有，
故答案为：
【分析】设交于，根据正方形的性质得到，进而得到，根据旋转的性质得到，从而等量代换即可得到， 再结合题意即可判断①；先根据旋转的性质得到，，，进而根据矩形的判定结合正方形的判定即可判断②；过点作于，先根据垂直得到，，进而根据正方形的性质得到，，从而结合题意等量代换得到， 再根据三角形全等的判定与性质证明得到， 根据旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而等量代换得到，再结合题意即可判断③；根据题意得到若，则，进而即可得到，即，再根据正方形的性质得到，从而即可判断④.
10．（2024七下·湘桥期中）如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①，，
；①正确．
②，
，
，是定值；②错误．
③如图1所示，
当时，，
，
如图2所示，
当时，，
，
当时，则或；③错误．
④设，则．
如图
由（1）可知，，
，
解得：，
即，
，
；
如图
由（1）得：，
，
，
，
，
．
此时或；④错误．
∴ 正确的个数有个．
故答案为：A．
【分析】①根据同角的余角相等可得；
②根据角的关系可得；
③分CD在CB上方和CD在CB下方两种平行情况讨论即可；
④分CD在CB上方和CD在CB下方两种情况讨论即可；
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·金沙期末）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转60°得到线段，连接，.若，，，则的度数是 .
【答案】150°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，可知PB=P'B，∠PBP'=60°，
∴△PBP'是等边三角形，
∴∠BPP'=60°，PP'=PB=3，
在等边△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°=∠BPP'，
∴∠ABP=∠PBP'，
在△BAP和△BCP'中，
，
∴△BAP≌△BCP'（SAS），
∴P'C=PA=5，
∵PC2+P'P2=42+32=25，P'C2=52=25，
∴PC2+P'P2=P'C2，
∴△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°，
故答案为：150°．
【分析】由旋转的性质可得PB=P'B，∠PBP'=60°，可证△PBP'是等边三角形，可得∠BPP'=60°，PP'=PB=3，由“SAS”可证△BAP≌△BCP'，可得P'C=PA=5，由勾股定理的逆定理可得△P'PC是直角三角形，∠P'PC=90°，即可求解。
12．（2024·成都一诊）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】2；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2
故答案为：2.
(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，
又∵⊙O的半径是4，∴AO=4
在Rt△A'OE中，
又∵A'，B'之间的水平距离为1
∴EM=1，OM=
∵C（﹣1，2）， ∴CF=OM+1=+1=
∵C'F=1+2=3
在Rt△C'FC中，
故答案为：.
【分析】(1)当C'在点A 的下方时，C'A⊥直线y=-1，AC'距离最小，这时最小值为2
（2）当当A'在⊙O上时，CC'最小，作垂直构造直角三角形，利用勾股定理解题即可.
13．（2024八下·渠县期中）如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．若△AOD是等腰三角形，则α的度数为 ．
【答案】105°或127.5°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴OC=OD，∠OCD=60°，∠DAC=∠OBC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵∠AOB=105°，
∴∠BAO+∠ABO=75°，
在等边三角形ABC中，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠OAC+∠OBC=120°-75°=45°，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠OAC+∠OBC=45°，
分三种情况：
①当OA=OD时，∠ODA=∠OAD=45°，
∴∠AOD=180°-∠ODA-∠OAD=90°，
∴ α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=105°；
②当OA=AD时，∠AOD=∠ADO=（180°-∠OAD）=67.5°，
∴α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=127.5°；
③当OD=AD时，∠AOD=∠OAD=45°，
∴α=360°- ∠AOB-∠COD-∠AOD=360°-105°-60°-45°=150°.
综上可知： α的度数为105°或127.5°或150°.
故答案为：105°或127.5°或150°.
【分析】由旋转可求△OCD是等边三角形，可得∠COD=60°，再推出∠OAD=45°，根据等腰三角形的性质分三种情况：①当OA=OD时，②当OA=AD时，③当OD=AD时，据此分别解答即可.
14．（2024·叙州模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接EF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 ．
【答案】3-3
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
，
，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形. 则点B的对应点是 连接 交AD于E， 交半圆O于F， 则线段 的长即为 的长度最小值，
的长度最小值为
故答案为： 。
【分析】先确定点F在以DC为直径的半圆上移动，再找出最小值的情况，最后计算即可。
15．（2024七下·武汉期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，对三角形OAB连续做旋转变换，依次得到，，，……，则的直角顶点的纵坐标为 ．
【答案】2.4
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：由图形知：的直角顶点的纵坐标为0，
过的直角顶点作x轴的垂线，令垂线段长为y，
则△AOB的面积=×3×4=×5y，解得y=2.4，
∴的直角顶点的纵坐标为2.4，
从而得出的直角顶点的纵坐标为0，
的直角顶点的纵坐标为0，
的直角顶点的纵坐标为2.4，······，
∴（i为正整数）的直角顶点纵坐标按1，2.4，0循环出现，
∵2024÷3=674···2，
∴的直角顶点的纵坐标为2.4.
故答案为：2.4.
【分析】根据题意分别求出，，，……， 直角顶点的纵坐标，据此找出规律即可求解.
16．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题6分，第22题12分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2024·长沙会考）如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长．
【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2），
证明如下：延长到，使，连接，
∵，，
∴，
在△ADF和△BDC中，
，
∴，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴
（3）连接，，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：
设弧所在圆的圆心为，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
∴点的路径长为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，延长AB至点E，使得BE=AD，连结AC，CE.
（1）求证：AC=CE.
（2）若AD=4，AB=6，∠BCD=120°，求BC的长。
【答案】（1）解：，
，
点C是的中点，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是的中点，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得，通过补角的性质证得，再利用圆心角定理得到CD=BC，通过SAS判定，即可得到AC=CE.
(2)作，利用等腰三角形的性质得到AF的长度，由圆内接四边形的性质可得，再通过圆心角定理得到，再利用直角三角形的求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出BC的长度.
19．如图， 在每个小正方形的边长为 1 的网格中， 等边三角形 内接于圆， 且顶点 均在格点上， 若点 在圆上， 与 相交于点 ， 请用无刻度的直尺， 在如图所示的网格中， 画出点 ， 使 为等边三角形，并简要说明点 的位置是如何找到的(不要求证明)
【答案】解：如图，点Q即均所求.
方法步骤：①取AB与格线的交点F，则点F平分AB，即AF=BF；
②连接BD，取BD与竖格线的交点H，连接FH并延长交格线于点G，可得FH=FG；
③连接AG并延长，与圆相交于点K，连接CK并延长，易证△AFG≌△BFH，∴AK//BD，∴∠KCB=∠ACP；
④取AC与横格线的交点E，连接EF并延长交横格线于点M，可得EF=FM；
⑤连接MB并延长，与射线CK相交于点Q，易证△AFE≌△BFM，∴∠FBM=∠FAC=60°，∴∠CBQ=60°=∠CAP，∴△BCQ≌△ACP(ASA)
∴CP=CQ.
⑥连接PQ，易证∠PCQ=∠ACB=60°，△PCQ是等边三角形.
∴点Q即为求作的点.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】取AB与格线的交点F；连接BD，取BD与竖格线的交点H，连接FH并延长交格线于点G；连接AG并延长，与圆相交于点K，连接CK并延长；取AC与横格线的交点E，连接EF并延长交横格线于点M，连接MB并延长，与射线CK相交于点Q，点Q即为所求.由△AFG≌△BFH和△AFE≌△BFM，得∠KCB=∠ACP，∠CBQ=60°=∠CAP，从而可证明△BCQ≌△ACP，即可证明△PCQ是等边三角形.
20．（2021·蔡甸模拟）如图，在下列 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点， 的顶点的坐标分别为 ， ， .
⑴直接写出 的形状；
⑵要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将 绕点 逆时针旋转角度 得到 ，其中 ， ， 的对应点分别为 ， ，请你完成作图；
⑶在网格中找一个格点 ，使得 ，并直接写出 点的坐标；
⑷作点 关于 的对称点 .
【答案】解：（1） 是以 为斜边的直角三角形.
（2） 如图所示.
先将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ；再将 绕点 逆时针旋转 到达 ，点 ， 连接 ，即可得到 ；
（3）点 .
（4）如图，取格点 （1，0），作直线 ，取格点 （4，-2），连接 交 于点 ，点 即为所求作.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；作图﹣旋转；尺规作图-垂线
【解析】【解答】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为斜边的直角三角形.
（3）解：如图，过点 作直线 交 轴于点 ，由图可知：点 .
【分析】（1）根据点A、B、C的坐标结合两点间距离公式求出AB、AC、BC的值，然后利用勾股定理逆定理进行判断；
（2）将AB绕点B逆时针旋转2α到达BA1，将CB绕点B逆时针旋转2α到达BC1，据此可得点A1、C1的坐标，连接A1C1即可得到△A1BC1；
（3）过点C1作直线C1G⊥AB交y轴于点G，由图形可得点G的坐标；
（4）取格点T（1，0），作直线TC1，取格点P（4，-2），连接OP交TC1于点D，点D即为所求作.
21．（2024八下·龙华期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点．
①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由；
②如图3，若，请直接写出的面积 ．
【答案】（1）证明：∵旋转，
∴
∴
在 中，
∴
∴
∴平分；
（2）①，理由见解析；②
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（2）解：①，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，
∵，
∴
在矩形中，由旋转，
∴
∵，
∴
∴；
②在 中，，
在上截取，连接，过点作于点，
∵旋转
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴
由（1）得，，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
∴
∴
又∵旋转，
∴，
∴四边形是平行四边形，
在中，
，
∴
∴
∴．
【分析】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据旋转得，则，根据得出，等量代换得出；
（2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而由全等三角形的性质，得证；
②首先根据旋转和60°得到是等边三角形，则，在上截取，证明，由此得出四边形是平行四边形，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解．
22．（2024·牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
（2）探究问题：
当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
（3）拓展思考：
在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝ ．
【答案】（1）证明： 在AB上截取AM＝EF，连接DM，
由旋转的性质知：AD=AE，∠EAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=∠B=60°，
∴∠EFB=∠EAD，∠EFA=180°-60°=120°
∵∠BAD=∠EAD-∠EAB，∠E=∠EFB-∠EAB，
∴∠BAD=∠E，
∵AD=AE，AM=EF，
∴△DAM≌△AEF（SAS），
∴AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，
∴∠BMD=180°-∠AMD=60°，
∵∠B=60°，
∴△BMD为等边三角形，
∴BD=DM=BM，
∴AB=AM+BM=EF+BD.
（2）解：图②：AB=BD-EF，
理由：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，
∵∠ABC=60°，
∴△ABH为等边三角形，
∴∠BAH=∠BHA=60°，
由旋转知：∠DAE=60°，AE=AD，
∴∠BAH=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAH，
∵AG=AF
∴△FAE≌△GAD（SAS），
∴EF=DG，∠AFE=∠G，
∵BC∥EF，
∴∠AFE=∠ABC=∠G=60°，
∵∠DHG=∠AHB=60°，
∴△DHG为等边三角形，
∴DH=DG=EF，
∴AB=BH=BD-DH=BD-EF.
图③：AB=EF-BD，
理由：如图，在EF上取点H使AH=AF，
∵BC∥EF，
∴∠F=∠ABC=60°
∴△AHF为等边三角形，
∴∠AHF=∠HAF=60°，AH=FH
∴∠AHE=120°，∠EAH+∠DAB=180°-∠EAD-∠FAH=180°-60°-60°=60°，
由旋转知：AD=AE，∠DAE=60°，
∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠D=∠EAH，
∵∠DBA=∠AHE=120°，AD=AE，
∴△EAH≌△ADB（AAS）
∴BD=AH，AB=EH，
∴BD=HF，
∴AB=EH=EF-FH=EF-BD；
（3）10或18
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：（3）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB=2BC，AC=BC，
∴BC=AC=6，AB=12，
∵CD=2BD，
∴BD=BC=2，
由（1）知：AB=EF+BD，
∴EF=AB-BD=12-2=10；
如图：当点D在线段BC的延长线上时 ，由CD＜BD，与CD=2BD矛盾，不成立；
如图：当点D在线段CB的延长线上时 ，
∵CD=2BD，BC=6，
∴BD=BC=6，AB=2BC=12，
由AB=EF-BD，则EF=AB+BD=18.
综上可知：EF的长为10或18.
【分析】（1）在AB上截取AM＝EF，连接DM，可证△DAM≌△AEF（SAS），可得AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，再证△BMD为等边三角形，可得BD=DM=BM，利用线段的和差关系即可求解；
（2）图②：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，易得△ABH为等边三角形，再证△FAE≌△GAD（SAS），可得EF=DG，∠AFE=∠G，最后可证△DHG为等边三角形，可得DH=DG=EF，利用线段的和差关系即可求解；
图③：如图，在EF上取点H使AH=AF，可证△EAH≌△ADB（AAS），可得BD=AH，AB=EH，利用线段的和差关系即可求解；
（3）利用含30°角的直角三角的性质求出BC=6，AB=12，结合CD=2BD求出BD的长，继而求解.
23．（2024·汉川模拟）如图，内接于，为上一点，连接、，．
（1）如图，求证：；
（2）如图，延长交于点，连接，若，，求的半径．
【答案】（1）证明：延长交于，如图，
则，
，
，
，
，即，
，
，
；
（2）解：延长交于点，连接，如图，
为的直径，
，
，
，
即，
，
，
，，，
，
则，
即的半径为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACE=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠CAE+∠AEC=90°，由同弧所对的圆周角相等得∠ABC=∠AEC，根据等量代换原则，即可得∠ABC+∠BAD=90°，即可求证；
（2）根据圆周角定理，可得∠ABF=90°，根据等式性质可得∠BAF=∠CAH，圆心角、弧、弦的关系可得BF=CH=6；根据勾股定理，即可求出AF的长即可解决此题.
24．（2024八下·高州期末）已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，或它们的延长线于，．
（1）当绕点旋转到时如图所示，并将逆时针旋转，得到，求证；
（2）当绕点旋转到时如图所示，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（3）当绕点旋转到如图所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【答案】（1）证明：如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
由题意得：≌，
，，，
，
，，三点共线，
，
，
≌，
，
，，
；
（2）解：猜想：，理由如下：
如图，在的延长线上，截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
同理得：≌，
，
又，
；
（3）解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
和中，
，
≌，
，，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键。（1）由正方形ABCD的性质及旋转的性质证≌，可证；（2）在的延长线上，截取，连接，证≌，≌，可得；（3）在上截取，连接，证≌；再证≌；可证．
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