浙教版数学九上第4章 相似三角形 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七上·深圳开学考）图上1厘米，表示实际5米，这幅图的比例尺为（ ）
A．1：5 B．1：50 C．1：500 D．1：5000
2．（2021·西安模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
3．（2024·柳州三模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天山模拟） 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
5．（2024·双流模拟）如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，若，，，，则DE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．（2024·沙坪坝模拟）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．30
7．（2024九下·江夏月考）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．
C．， D．，
8．（2021九上·上虞期末）如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
10．（重庆市第一中学校 2024-2025学年九年级上学期暑假自主消化作业二试题）如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题）若，则的值为 ．
12．（2020九上·岐山期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 。
13．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 ．
14．（2024·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
15．（2022·盘山模拟）如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
16．（2024九上·南岗开学考）如图，在正方形中，F在的延长线上，E在上，延长线交于点H，若，，，则 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题9分，第20题9分，第21题10分，第22题6分，第23题8分，第24题12分，共66分）
17．（2023九上·临平月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
18．（2024九下·钱塘模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点，使得．
（2）如图2，在三角形内寻找格点，使得．
19．（2024·从江模拟）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，矩形的周长为，求的长．
20．（2024·惠城模拟）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究：①如1图，与之间存在什么关系 请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时， mm；
（2）运用：如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ．
21．（2024·巴中模拟）已知，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，D为BC的中点，作∠MDN=30°，∠MDN绕D点旋转．
（1）提出问题：如图1，当的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证：；
（2）类比探究：将绕点D旋转到图2情形时，的两边分别交BA的延长线.边AC于点E、F.
①与的关系是 ▲ （填相似或不相似）；
②连接EF，求证：.
（3）问题解决：根据图2，设，的面积为y，试用x的代数式表示y.
22．（2022九上·宁波期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
23．（2016九上·常熟期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的长．
24．（2024·浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点，CD与AB交于点F，点E为CF上一点，且.
（1）求的度数.
（2）求证：
（3）若求AF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：∵5m=500cm，
∴图上距离：实际距离=1cm：500cm=1：500
故答案为：C
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，单位需要一致.
2．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故答案为：C．
【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．
4．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴周长比也为1：2
∵的周长为8，则的周长为2×8=16
故答案为：C
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】，
DE=3，
故答案为：C.
【分析】根据，判断利用相似三角形的性质即可求解.
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，，的周长为3，
∴和的相似比为：，
∴和的周长比为：，
∴的周长为6；
故答案为：A
【分析】根据位似结合即可得到和的相似比为：，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判断△ABC∽△ADE，此选项符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断A选项；根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可判断B选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断两个三角形相似，但给定的条件是“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，这两个条件不能判断两个三角形相似，据此可判断C选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断D选项.
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： A.∵，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为：A不合题意；
B.∵，∴，B符合题意；
C.∵，∴，故答案为：C不合题意；
D.∵，∴△ADE∽△ABC，∴.故答案为：D不合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式；
B、根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式≠；
C、根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式；
D、根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式.
9．【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵DO=2BO，
∴设BO=x，则DO=2x，
∴BD=3x，
∵AB⊥x轴，∠COD=90°，
∴∠ABD=∠COD=90°，
∴AB∥OC，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：D．
【分析】设BO=x，则DO=2x，得BD=3x，易证AB∥OC，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而得，接下来利用三角形面积公式求出，得，即可求出A的坐标，最后根据反比例函数上点的坐标特征求出k的值.
11．【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴DB=AB-AD=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】首先求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比列式，先求出AB的长，则DB的长可求.
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
14．【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而代入数值即可求出CD.
15．【答案】1或3或8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=9-x，
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得．
②当时，，解得或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为：1或3或8．
【分析】分类讨论：①当时，，①当时，，再分别求解即可。
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点G，
∵四边形是正方形，，，，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，即，∴，
∴；
∵，∴，∴，即，
∴，∴；
∵，∴，∴，∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】延长，交于点G，设，证得得到，代入得到，进而求得；然后同理证明出，根据相似三角形的性质得到，得到，在中利用勾股定理求出，进而求解即可．
17．【答案】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDB＝∠FEC＝90°，
∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE＝EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴＝，
∴，
∵BD＝4，CE＝3，
∴，
∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去），
∴DE＝2．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)先证明∠GDB＝∠FEC，∠B＝∠EFC，再证明△DBG∽△EFC即可。
(2)由△DBG∽△EFC得出线段间的比例关系，代入数据进行求解即可。
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接格点M，N，构造△AMD∽△CND，且相似比为1：4
(2)构造三角形ABC的外心，即AB，BC的垂直平分线的交点P即可.
19．【答案】（1）证明：在和中，
，
．
，而，
．
又，，
在和中，
，
≌．
．
（2）解：，
矩形的周长为，
．
解得．
，．
由可证∽．
．
．
．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明≌，可得AE=CD；
（2）由矩形的性质及线段的和差可得AD=AE+4，，据此求出AE，从而求出AF，BF的长，由AD∥BC可证∽，利用相似三角形的性质可求出BG，继而得出CG.
20．【答案】（1）解：①相等，理由如下：∵由题意，得，∴，∴，即，∴．②43.2
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：②∵，，，
∴，
∴；
故答案为：43.2；
（2）根据题意可知，点P的坐标为（-3×2，4×2），即（-6，8）.
故答案为：（-6，8）.
【分析】（1）①根据题意证明，根据相似三角形的性质得到，即，进而即可得到答案；
②将，，代入，计算即可得到答案；
（2）根据①号“E”与②号“E”的相似比为，代入数值即可得到点P的坐标 .
21．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∵∠MDN=30°，
∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∴∠DFC=∠BDE，
又∠B=∠C，
∴；
（2）解：①相似
②由①知：，
∴，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴，
又∠B=∠EDF=30°，
∴.
（3）解：连接AD，分别过到点D作DG⊥EB于点G，DH⊥EF于点H，
由（2）②知，
∴∠BED=∠DFE，
∴DG=DH，
∵AB=AC=6，点D式BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=30°，
∴AD=3，
∴BD=，
∴DG=，
∴DH=DG=，
∴的面积 y=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）
（2）①相似。
如图2，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∵∠MDN=30°，
∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∴∠DFC=∠BDE，
又∠B=∠C，
∴；
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理及平角定义得出∠DFC=∠BDE，进一步即可得出；
（2）①根据（1）的思路可得与的 的关系是相似；
②根据两角对应成比例且夹角相等，可证明；
（3）连接AD，分别过到点D作DG⊥EB于点G，DH⊥EF于点H，根据，可得出∠BED=∠FED，然后根据角平分线的性质即可得出DH=DG，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出DH=DG=，再根据三角形的性质，即可得出y=
22．【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1） 设线段x是线段a，b的比例中项 ，根据比例的性质可得x2=ab，据此建立方程，求解检验即可；
（2）根据比例的性质这x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并约分即可得出答案.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180° ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
AF=
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出∠ADF=∠CED 、∠AFD=∠C ，根据两角相等两三角形相似，得到△ADF∽△DEC；（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的值，由（1）中的△ADF∽△DEC，得到比例，求出AF的值；
24．【答案】（1）解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠BAC=2∠ABC
∴∠ABC=30°，∠CAE=∠ABC=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC=∠EAC，∠ACD=∠ECA
∴△ADC∽△EAC
（3）解：∵AB=8，∠ABC=30°
又：
∵∠EAC=30°=∠EAF
即令AF=3x，FE=2x
当CD在O上方时，作CP⊥DA延长线于点P
由题可知：
∵△ADF∽△CBF
即
当CD在O下方时，作CQ⊥DA于点Q
同理可得：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可求，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明，可得，即可得到结论；
（3）由直角三角形的性质得，由勾股定理得出，根据求出，推出，设分类讨论：当在O上方时，作延长线于点P，求出，，，证明，根据比例式求出，从而求出；当在O下方时，作于点Q，同理可得：.
1 / 1浙教版数学九上第4章 相似三角形 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七上·深圳开学考）图上1厘米，表示实际5米，这幅图的比例尺为（ ）
A．1：5 B．1：50 C．1：500 D．1：5000
【答案】C
【知识点】比例尺
【解析】【解答】解：∵5m=500cm，
∴图上距离：实际距离=1cm：500cm=1：500
故答案为：C
【分析】比例尺=图上距离：实际距离，单位需要一致.
2．（2021·西安模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）.
A．点D B．点E C．点F D．点G
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线
∴点D是△ABC重心.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的重心的定义“三角形重心是三角形三边中线的交点”并结合网格图的特征可判断求解.
3．（2024·柳州三模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是，
故答案为：C．
【分析】根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．
4．（2024·天山模拟） 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴周长比也为1：2
∵的周长为8，则的周长为2×8=16
故答案为：C
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
5．（2024·双流模拟）如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，若，，，，则DE的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】，
DE=3，
故答案为：C.
【分析】根据，判断利用相似三角形的性质即可求解.
6．（2024·沙坪坝模拟）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．30
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，，的周长为3，
∴和的相似比为：，
∴和的周长比为：，
∴的周长为6；
故答案为：A
【分析】根据位似结合即可得到和的相似比为：，进而即可求解。
7．（2024九下·江夏月考）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．， B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
B、∵
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意；
C、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴不能判断△ABC∽△ADE，此选项符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵，
∴△ABC∽△ADE，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可判断A选项；根据“三边对应成比例的两个三角形相似”可判断B选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断两个三角形相似，但给定的条件是“两边对应成比例且其中一边的对角相等”，这两个条件不能判断两个三角形相似，据此可判断C选项；根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可判断D选项.
8．（2021九上·上虞期末）如图，在中，，则下列比例式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： A.∵，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为：A不合题意；
B.∵，∴，B符合题意；
C.∵，∴，故答案为：C不合题意；
D.∵，∴△ADE∽△ABC，∴.故答案为：D不合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式；
B、根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式≠；
C、根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式；
D、根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的性质可得比例式.
9．（2024九上·深圳开学考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故答案为：A．
【分析】黄金分割点的定义：如果线段上一点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，那么这个点就是线段的黄金分割点，根据定义列式即可作答．
10．（重庆市第一中学校 2024-2025学年九年级上学期暑假自主消化作业二试题）如图，点是反比例函数图象上的一点，过作轴于点，点为轴正半轴上一点且，连接交轴于点，连接．若的面积为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵DO=2BO，
∴设BO=x，则DO=2x，
∴BD=3x，
∵AB⊥x轴，∠COD=90°，
∴∠ABD=∠COD=90°，
∴AB∥OC，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A是反比例函数图象上的一点，
∴，
故答案为：D．
【分析】设BO=x，则DO=2x，得BD=3x，易证AB∥OC，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而得，接下来利用三角形面积公式求出，得，即可求出A的坐标，最后根据反比例函数上点的坐标特征求出k的值.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（浙江省金华市东阳市横店八校联考2024-2025学年九年级上学期开学数学试题）若，则的值为 ．
【答案】7
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：7.
【分析】先根据等式用表示出，得到：，然后代入比例式进行计算即可得解．
12．（2020九上·岐山期末）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 。
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴DB=AB-AD=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】首先求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比列式，先求出AB的长，则DB的长可求.
13．（2023九上·长春开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
由平移可得：DF||EC，DF=EC
∴四边形DFCE为平行四边形
∵点F是AB中点
∴点D是AC中点
∴DF是△ACB的中位线
故答案为：12
【分析】根据勾股定理求出AC长，再根据平移性质，平行四边形的判定定理及性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例性质即可求出答案。
14．（2024·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
【答案】12
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12
【分析】先根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而代入数值即可求出CD.
15．（2022·盘山模拟）如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
【答案】1或3或8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=9-x，
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得．
②当时，，解得或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为：1或3或8．
【分析】分类讨论：①当时，，①当时，，再分别求解即可。
16．（2024九上·南岗开学考）如图，在正方形中，F在的延长线上，E在上，延长线交于点H，若，，，则 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点G，
∵四边形是正方形，，，，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，即，∴，
∴；
∵，∴，∴，即，
∴，∴；
∵，∴，∴，∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】延长，交于点G，设，证得得到，代入得到，进而求得；然后同理证明出，根据相似三角形的性质得到，得到，在中利用勾股定理求出，进而求解即可．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题9分，第20题9分，第21题10分，第22题6分，第23题8分，第24题12分，共66分）
17．（2023九上·临平月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDB＝∠FEC＝90°，
∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE＝EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴＝，
∴，
∵BD＝4，CE＝3，
∴，
∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去），
∴DE＝2．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)先证明∠GDB＝∠FEC，∠B＝∠EFC，再证明△DBG∽△EFC即可。
(2)由△DBG∽△EFC得出线段间的比例关系，代入数据进行求解即可。
18．（2024九下·钱塘模拟）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段上找一点，使得．
（2）如图2，在三角形内寻找格点，使得．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接格点M，N，构造△AMD∽△CND，且相似比为1：4
(2)构造三角形ABC的外心，即AB，BC的垂直平分线的交点P即可.
19．（2024·从江模拟）如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，矩形的周长为，求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
．
，而，
．
又，，
在和中，
，
≌．
．
（2）解：，
矩形的周长为，
．
解得．
，．
由可证∽．
．
．
．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS证明≌，可得AE=CD；
（2）由矩形的性质及线段的和差可得AD=AE+4，，据此求出AE，从而求出AF，BF的长，由AD∥BC可证∽，利用相似三角形的性质可求出BG，继而得出CG.
20．（2024·惠城模拟）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究：①如1图，与之间存在什么关系 请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时， mm；
（2）运用：如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．
若点Q的坐标为，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）解：①相等，理由如下：∵由题意，得，∴，∴，即，∴．②43.2
（2）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：②∵，，，
∴，
∴；
故答案为：43.2；
（2）根据题意可知，点P的坐标为（-3×2，4×2），即（-6，8）.
故答案为：（-6，8）.
【分析】（1）①根据题意证明，根据相似三角形的性质得到，即，进而即可得到答案；
②将，，代入，计算即可得到答案；
（2）根据①号“E”与②号“E”的相似比为，代入数值即可得到点P的坐标 .
21．（2024·巴中模拟）已知，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，D为BC的中点，作∠MDN=30°，∠MDN绕D点旋转．
（1）提出问题：如图1，当的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证：；
（2）类比探究：将绕点D旋转到图2情形时，的两边分别交BA的延长线.边AC于点E、F.
①与的关系是 ▲ （填相似或不相似）；
②连接EF，求证：.
（3）问题解决：根据图2，设，的面积为y，试用x的代数式表示y.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∵∠MDN=30°，
∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∴∠DFC=∠BDE，
又∠B=∠C，
∴；
（2）解：①相似
②由①知：，
∴，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴，
又∠B=∠EDF=30°，
∴.
（3）解：连接AD，分别过到点D作DG⊥EB于点G，DH⊥EF于点H，
由（2）②知，
∴∠BED=∠DFE，
∴DG=DH，
∵AB=AC=6，点D式BC的中点，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=30°，
∴AD=3，
∴BD=，
∴DG=，
∴DH=DG=，
∴的面积 y=
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）
（2）①相似。
如图2，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠DFC=180°-∠C-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∵∠MDN=30°，
∴∠BDE=180°-∠MDN-∠CDF=180°-30°-∠CDF=150°-∠CDF，
∴∠DFC=∠BDE，
又∠B=∠C，
∴；
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理及平角定义得出∠DFC=∠BDE，进一步即可得出；
（2）①根据（1）的思路可得与的 的关系是相似；
②根据两角对应成比例且夹角相等，可证明；
（3）连接AD，分别过到点D作DG⊥EB于点G，DH⊥EF于点H，根据，可得出∠BED=∠FED，然后根据角平分线的性质即可得出DH=DG，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出DH=DG=，再根据三角形的性质，即可得出y=
22．（2022九上·宁波期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1） 设线段x是线段a，b的比例中项 ，根据比例的性质可得x2=ab，据此建立方程，求解检验即可；
（2）根据比例的性质这x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并约分即可得出答案.
23．（2016九上·常熟期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB＝4，AD＝3 ，AE＝3，求AF的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180° ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴
AF=
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出∠ADF=∠CED 、∠AFD=∠C ，根据两角相等两三角形相似，得到△ADF∽△DEC；（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的值，由（1）中的△ADF∽△DEC，得到比例，求出AF的值；
24．（2024·浙江模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为AB右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为AB左侧半圆上一点，CD与AB交于点F，点E为CF上一点，且.
（1）求的度数.
（2）求证：
（3）若求AF的长.
【答案】（1）解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠BAC=2∠ABC
∴∠ABC=30°，∠CAE=∠ABC=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC=∠EAC，∠ACD=∠ECA
∴△ADC∽△EAC
（3）解：∵AB=8，∠ABC=30°
又：
∵∠EAC=30°=∠EAF
即令AF=3x，FE=2x
当CD在O上方时，作CP⊥DA延长线于点P
由题可知：
∵△ADF∽△CBF
即
当CD在O下方时，作CQ⊥DA于点Q
同理可得：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可求，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明，可得，即可得到结论；
（3）由直角三角形的性质得，由勾股定理得出，根据求出，推出，设分类讨论：当在O上方时，作延长线于点P，求出，，，证明，根据比例式求出，从而求出；当在O下方时，作于点Q，同理可得：.
1 / 1
