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第三章 实数
3.3 立方根
学习目标：
理解立方根的概念，能准确识别一个数的立方根；
掌握立方根的运算方法，能熟练进行简单的立方根计算；
学会运用立方根解决实际问题，体会数学与生活的联系。
核心素养目标：通过学习立方根，初步形成基本的数学抽象和数学运算的能力；通过立方与开立方的应用，培养逻辑思维能力和运算能力。
学习重点：算术立方根的概念以及运算方法。
学习难点：立方根符号表示复杂，与平方根易混淆；立方根运算规则抽象，负数立方根理解不易。
一、知识链接
1.一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的_______，也叫作 a的三次方根，记作________。
2.性质：一个正数有一个_____的立方根；一个负数有一个_____的立方根；零的立方根是_____。
3.一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作________。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“________”读作“________”。
4.求一个数的立方根的运算叫作________.
5.开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根. 二、自学自测
1.-27的立方根是________.
A. 3
B. -3
C.9
D.-9
2.的算术平方根是_______.
一、创设情境、导入新课
如图是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方这8个单位立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同图案。
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
要做一个体积为 8 的立方体模型，它的棱要取多长？
从运算的角度看，就是已知一个数的立方等于8，求这个数。
思考：什么数的立方等于－8？
【强调】：
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作a的三次方根，记作。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“”读作“三次根号”。
例如，＝8，其中 2 是 8 的立方根，即 ＝2；
＝－8，
其中－2是－8的立方根，即3－8＝－2。
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。
注意：中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。
【强调】:
说明
(1)平方根的被开方数必须为非负数，立方根的被开方数为任意数。
(2)立方根是它本身的数有1,-1,0;平方根是它本身的数只有0。
探究二：例题讲解
教材第88页
例1 求下列各数的立方根：
(1)27； (2)－27； (3)； (4)－0.064； (5)0。
【强调】
一般地，我们有以下事实：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
例2 计算：
(1)； (2)+。
提炼概念(本节课主要内容提炼)
知识点1 立方根
1.概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。
2.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3.一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作“三次根号”。
知识点2 开立方
1.概念：求一个数的立方根的运算叫作开立方.
2.开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根.
【例1】 －8的立方根是( )
－2 B.2 C.±2 D.不存在
【例2】若＝49，＝-2，则a+b的值是( )
A.1或5 B.-1或-15
C.1或-15 D.-1或15
【例3】 一个正数6的平方根为a+1和2a-7,则9a+b的立方根是( )
A.2 B.3 C.9 D.±3
【例4】下列结论正确的是( )
A.64的立方根是±4 B.-没有立方根
C.若=,则a=1 D.=
【选做】5.把一个长为6cm,宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长。
【选做】6.下列说法中，正确的是
A.±5是125的立方根
B.平方根是-
C.的算术平方根是-4
D.的立方根是2
知识点1 立方根
1.概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。
2.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3.一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。一个正数a的立方根就用“±”表示(读作“正、负根号a”)，其中a叫作被开方数.
知识点2 开立方
1.概念：求一个数的立方根的运算叫作开立方.
2.开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根.
必做题：
1.下列等式成立的是( )
=±1 B.=15
C.=-9 D.-3
2.一个正数b的平方根为a+1和2a-7，则9a+b的立方根是
A.2 B.3 C.9 D.±3
3.按照下列程序进行计算，最后输出的答案是( )
A. B. +2 C. D.
4.已知y=+,则的值为_________。
选做题：
5.已知|-1|=3,,且的立方根。
6.填表
拓展题：
求下列各式中的x:
(1) 8+27=0;
(2) 64=27
参考答案
【预习自测】
1. B
2. 2
【作业布置】
必做
1.C【解析】
A:=1，故原等式错误；
B.=15，故原等式错误；
C.=-9，正确；
D.=-3，故原等式错误.故选C.
D.√(3& 27)=-3，故原等式错误.故选C.
2.B【解析】因为正数b的平方根为a+1和2a-7，
所以a+1+2a-7=0，所以a=2，所以a+1=2+1=3，所以6=32=9，所以9a+b=9×2+9=27，所以9a+b的立方根是3。
故选B.
3.根据题意最后输出的答案是√(3&x^2) +2 +2
4.【解析】因为y=+-8，所以-24≥0,24-≥0，所以=24，所以y=-8,所以==4.故答案为4.
选做
5.【解析】
∵|x-1|=3,
∴x-1=±3,y=±5
x=4或x=-2
∵xy<0
∴x=4,y=-5或x=-2,y=5
x+y=4-5=-1或x+y=-2+5=3
∴x+y的立方根是一1或3.
6.【解析】
拓展
【解析】
(2) 因为64=27,
所以=，
所以x+1=
解得x=-
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3.3 立方根教学设计
课题 3.3 立方根 单元 第三单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 立方根这一教材内容，是数的运算的重要拓展。教材通常先从实际问题引入立方根的概念，让学生感受其产生的必要性。通过对比平方根，凸显立方根的特性，如正数的立方根是正数，负数的立方根是负数等。在例题和习题设置上，逐步引导学生掌握立方根的求法及应用。教材注重知识的连贯性和系统性，为后续学习更高次的根式运算奠定基础，也有助于培养学生的数学思维和运算能力。
核心素养 能力培养 通过学习立方根，初步形成基本的数学抽象和逻辑推算的能力； 通过立方与开立方的应用，培养运算能力和应用意识。
教学目标 1.理解立方根的概念，能准确识别一个数的立方根； 2.掌握立方根的运算方法，能熟练进行简单的立方根计算； 3.学会运用立方根解决实际问题，体会数学与生活的联系。
教学重点 算术立方根的概念以及运算方法。
教学难点 立方根符号表示复杂，与平方根易混淆；立方根运算规则抽象，负数立方根理解不易。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： _______，3-π的绝对值是______。 创设情境、导入新课 如图是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方这8个单位立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同图案。 复习回顾之前学习第三章的从有理数到实数。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固认识立方根的运算法则相关知识。 从立方体魔方导入立方根的定义，引出运算方法。
新知探究 探究一：引入概念 要做一个体积为 8 的立方体模型，它的棱要取多长？ 从运算的角度看，就是已知一个数的立方等于8，求这个数。 思考：什么数的立方等于－8？ 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作a的三次方根，记作。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作“三次根号”。 例如，＝8，其中 2 是 8 的立方根， 即 ＝2； ＝－8， 其中－2是－8的立方根， 即3－8＝－2。 求一个数的立方根的运算叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根。 注意 中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。 说明 平方根与立方根的区别 【强调】： 关于数的立方根，我们有以下事实： (1)平方根的被开方数必须为非负数，立方根的被开方数为任意数。 (2)立方根是它本身的数有1,-1,0;平方根是它本身的数只有0。 探究二：例题讲解 教材第88页： 例1 求下列各数的立方根： (1)27； (2)－27； (3)； (4)－0.064； (5)0。 解： (1)因为＝27， 所以27的立方根是3，即 ＝3。 (2)因为＝－27， 所以－27的立方根是－3，即 ＝－3。 (3)因为所以的立方根是，即＝。 (4)因为＝－0.064， 所以－0.064的立方根是－0.4，即 ＝－0.4。 (5)因为＝0， 所以0的立方根是0，即＝0。 【强调】： 一般地，我们有以下事实： 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 例2 计算： (1)； (2)+。 解： (1)= (2) ＋ ＝－4＋4＝0。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习立方根，开立方。
课堂练习 【例1】－8的立方根是( ) A.－2 B.2 C.±2 D.不存在 【解析】：－8的立方根是，即＝－2，故选A 【例2】若＝49，＝-2，则a+b的值是( ) A.1或5 B.-1或-15 C.1或-15 D.-1或15 【解析】因为=49，所以a=±7.因为，所以b=-8.当a=7,6=-8时，a+b=7-8=-1；当a=-7,6=-8时，a+b=-7-8=-15.故选B. 【例3】 一个正数6的平方根为a+1和2a-7,则9a+b的立方根是( ) A.2 B.3 C.9 D.±3 【解析】因为正数b的平方根为a+1和2a-7，所以a+1+2a-7=0，所以a=2，所以a+1=2+1=3，所以b==9，所以9a+b=9×2+9=27，所以9a+b的立方根是3，故选B. 【例4】下列结论正确的是( ) A.64的立方根是±4 B.-没有立方根 C.若=,则a=1 D.= 【解析】A:正数的立方根只有一个，所以64的立方根是4，故该选项的结论错误，不符合题意； B:负数也有立方根，所以-的立方根是-故该选项的结论错误，不符合题意； C:a也可以等于0，故该选项的结论错误，不符合题意； D:=-3，-=-3,故该选项的结论正确，符合题意，故选D。 【选做】5.把一个长为6cm,宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长。 【解析】设正方体铁块的棱长为acm，根据题意得，长方体铁块的体积与正方体铁块的体积相等，为6×4×9=216(),所以=216，所以a=6. 答：锻造后正方体铁块的棱长为6cm. 【选做】6.下列说法中，正确的是 A.±5是125的立方根 B.平方根是- C.的算术平方根是-4 D.的立方根是2 【解析】 A.5是125的立方根,本选项错误 B.的平方根是±，本选项错误 C.因为=16，所以的算术平方根是4，本选项错误； D.因为=8，所以的立方根是2，本选项正确。故选D. 易错点 混淆立方根与平方根的概念 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对立方根运算的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力.，
课堂小结 知识点1 立方根 1.概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。 2.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 3.一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作“三次根号”。 知识点2 开立方 1.概念：求一个数的立方根的运算叫作开立方. 2.开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根. 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第三章 实数
3.3 立方根
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.理解方根的概念，能准确识别一个数的立方根；
2. 掌握立方根的运算方法，能熟练进行简单的立方根计算；
3.学会运用立方根解决实际问题，体会数学与生活的联系。
02
新知导入
如图是由8个同样大小的单位立方体组成的魔方这8个单位立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同图案。
要做一个体积为 8 的立方体模型，它的棱要取多长？
从运算的角度看，就是已知一个数的立方等于8，求这个数。
思考：什么数的立方等于－8？
03
新知讲解
03
新知讲解
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，记作。其中a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作“三次根号”。
例如，＝8，其中 2 是 8 的立方根，即 ＝2；
＝－8，
其中－2是－8的立方根，即3－8＝－2。
03
新知讲解
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。
开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。
注意
中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。
03
新知讲解
被开方数 平方根 立方根
正数 有两个，互为相反数 有一个，是正数
负数 无平方根 有一个，是负数
0 0 0
注意
(1)平方根的被开方数必须为非负数，立方根的被开方数为任意数。
(2)立方根是它本身的数有1,-1,0;平方根是它本身的数只有0。
03
新知讲解
例1 求下列各数的立方根：
(1)27； (2)－27；
解：
(1)因为＝27，
所以27的立方根是3，即 ＝3。
(2)因为＝－27，
所以－27的立方根是－3，即 ＝－3。
03
新知讲解
例1 求下列各数的立方根：
(3)； (4)－0.064； (5)0。
解：(3)因为所以的立方根是，即＝。
(4)因为＝－0.064，
所以－0.064的立方根是－0.4，即 ＝－0.4。
(5)因为＝0，
所以0的立方根是0，即＝0。
03
新知讲解
一般地，我们有以下事实：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
03
新知讲解
例2 计算：
(1)； (2)+。
解：
(1)=
(2) ＋ ＝－4＋4＝0。
04
课堂练习
【例1】 －8的立方根是( )
A.－2 B.2 C.±2 D.不存在
解：－8的立方根是，即＝－2
故选A
04
课堂练习
【例2】若＝49，＝-2，则a+b的值是( )
A.1或5 B.-1或-15
C.1或-15 D.-1或15
解：B【解析】因为=49，所以a=±7.因为，所以b=-8.当a=7,6=-8时，a+b=7-8=-1；当a=-7,6=-8时，a+b=-7-8=-15.故选B.
04
课堂练习
【例3】 一个正数6的平方根为a+1和2a-7,则9a+b的立方根是( )
A.2 B.3 C.9 D.±3
解：因为正数b的平方根为a+1和2a-7，所以a+1+2a-7=0，所以a=2，所以a+1=2+1=3，所以b==9，所以9a+b=9×2+9=27，所以9a+b的立方根是3，故选B.
04
课堂练习
【例4】下列结论正确的是( )
A.64的立方根是±4 B.-没有立方根
C.若=,则a=1 D.=
解:A:正数的立方根只有一个，所以64的立方根是4，故该选项的结论错误，不符合题意；
B:负数也有立方根，所以-的立方根是-故该选项的结论错误，不符合题意；
04
课堂练习
C:a也可以等于0，故该选项的结论错误，不符合题意；
D:=-3，-=-3,故该选项的结论正确，符合题意，故选D。
04
课堂练习
【选做】5.把一个长为6cm,宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长。
解：设正方体铁块的棱长为acm，根据题意得，长方体铁块的体积与正方体铁块的体积相等，为6×4×9=216(),所以=216，所以a=6.
答：锻造后正方体铁块的棱长为6cm.
6cm
04
课堂练习
【选做】6.下列说法中，正确的是
A.±5是125的立方根
B.平方根是-
C.的算术平方根是-4
D.的立方根是2
易错点 混淆立方根与平方根的概念
04
课堂练习
A.5是125的立方根,本选项错误；
B.的平方根是±，本选项错误；
C.因为=16，所以的算术平方根是4，本选项错误；
D.因为=8，所以的立方根是2，本选项正确。
故选D.
05
课堂小结
知识点1 立方根
1.概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。
2.性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
3.一个数的立方等于 a，这个数就叫作 a 的立方根，也叫作 a的三次方根，记作。其中 a是被开方数，3是根指数，符号“ ”读作“三次根号”。
05
课堂小结
知识点2 开立方
1.概念：求一个数的立方根的运算叫作开立方.
2.开立方是立方运算的逆运算，因此，可以运用立方运算求一个数的立方根.
06
作业布置
【必做】1.下列等式成立的是( )
A.=±1 B.=15
C.=-9 D.-3
【解析】
A:=1，故原等式错误；
B.=15，故原等式错误；
C.=-9，正确；
D.=-3，故原等式错误.故选C.
06
作业布置
【必做】2.一个正数b的平方根为a+1和2a-7，则9a+b的立方根是
A.2 B.3 C.9 D.±3
【解析】
因为正数b的平方根为a+1和2a-7，
所以a+1+2a-7=0，所以a=2，所以a+1=2+1=3，所以6=32=9，所以9a+b=9×2+9=27，所以9a+b的立方根是3。
故选B.
06
作业布置
【必做】3.按照下列程序进行计算，最后输出的答案是( )
A.B. +2 C. D.
解：根据题意最后输出的答案是 +2
+2
答案
06
作业布置
【必做】4.已知y=+,则的值为_________。
【解析】因为y=+-8，所以-24≥0,24-≥0，所以=24，所以y=-8,所以==4.故答案为4.
06
作业布置
【选做】5.已知|-1|=3,,且的立方根。
【解析】
∵|x-1|=3,
∴x-1=±3,y=±5
x=4或x=-2
∵xy<0
∴x=4,y=-5或x=-2,y=5
x+y=4-5=-1或x+y=-2+5=3
∴x+y的立方根是一1或3.
06
作业布置
【选做】6. 填表
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
1
【解析】
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
06
作业布置
【拓展题】求下列各式中的x:
(1) 8+27=0;
(2) 64=27。
【解析】
(2) 因为64=27,
所以=，
所以x+1=
解得x=-
Thanks!
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