(共48张PPT)
第三章 实数
3.2 从有理数到实数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.了解无理数和实数的概念与分类，知道实数由有理数和无理数组成；
2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数；
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围；
4.了解实数的比较大小。
02
新知导入
用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么？由此你能得出A4纸长与宽的比是多少吗？
03
新知讲解
如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。
设每一方格的边长为1个单位长度，讨论下面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少？
(2)阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？
(3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？(请与你的同伴交流)
03
新知讲解
观察右图，我们可得图中阴影正方形的边长为。因为1＜＜2，所以它不是整数。
下面让我们一起探究的十分位、百分位、千分位等数位上的值。
03
新知讲解
我们可以通过计算，得到下表。
＜2＜ 1.4＜＜1.5
＜2＜ 1.41＜＜1.42
＜2＜ 1.414＜＜1.415
＜2＜ 1.4142＜＜1.4143
＜2＜ 1.41421＜＜1.41422
… …
03
新知讲解
如此进行下去，可以得到一系列越来越接近2的近似值。
事实上,＝1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 …，
它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。
像这种无限不循环小数叫作无理数。
03
新知讲解
无理数广泛存在着，例如:
π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3…，
＝1.732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 9…。
任意写一个无限不循环小数，如1.010 010 001…(两个“1”之间依次多一个“0”),它也是无理数。
03
新知讲解
注意
(1)无理数的小数部分位数无限.
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
(3)判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如是有理数，而不是无理数.
(4)不是分数，也不是有理数，是无理数.形如(b≠0,a,b是整数)的不是整数的数才是分数.
03
新知讲解
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如π,,,,都是正无理数,-π,-,-,-,都是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
03
新知讲解
按概念分类：
03
新知讲解
按正实数，零，负实数的关系分类：
03
新知讲解
注意
对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按统一标准，做到不重不漏.
03
新知讲解
我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。
例如，可把－2，－0.5，和2表示在数轴上。
-3 -2 -1 0 1 2
－0.5
03
新知讲解
那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？答案是否定的。
如下图，通过画图3-2中正方形ABCD的边长，就能准确地把和－表示在数轴上。
-2 -1 0 1 2
－
03
新知讲解
把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。
例如，和－互为相反数，||＝|－|＝。
03
新知讲解
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
03
新知讲解
拓展
(1)实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数.
(2)数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数.
03
新知讲解
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“＜”连接)。，－π，1.5，－。
分析：对于－π，－等无理数，我们可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取－π≈－3.1，－≈－1.7。
解：把，－π，1.5，－表示在数轴上，如下图。
所以－π<－<1.5<。
-3 -2 -1 0 1 2 3
－π － 1.5
03
新知讲解
利用估算法确定无理数的大小
对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。
03
新知讲解
负实数 正实数
图示
03
新知讲解
实数的大小比较
1.利用数轴比较实数的大小
与有理数的大小比较法则一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
2.利用实数的分类比较大小
(1)正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数.
(2)两个正实数，绝对值大的数较大.
(3)两个负实数，绝对值大的数反而小
03
新知讲解
实数的大小比较
3.无理数大小的比较
(1)作差法：若->0，则；若-0，则.
(2)平方法：把含根号的两个无理数同时平方，比较平方后数的大小，同时要考虑符号，如:比较3,4, 的大小，利用<<即可得到3<4<.
03
新知讲解
拓展
当两个带根号的无理数比较大小时，可应用
a>b≥0 .
04
课堂练习
【例1】，，1.414 144 1，，
6.1717717771…(自左而右每两个1之间依次多一个7),中，无理数有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B【解析】=0.875，所以是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数；1.4141441是有限小数，所以是有理数；中开不尽方，所以是无理数；6.171771 7771…(自左而右每两个1之间依次多一个7)是无限不循环小数，所以是无理数;=4，所以是有理数，所以无理数一共有3个.故选B.
04
课堂练习
【例2】估计的值
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
C【解析】因为<<，所以3<<4，即在3和4之间.故选C.
04
课堂练习
【例3】如图，在数轴上对应的点可能是
A.点M B.点N C.点P D.点Q
D【解析】<<，即2<<3，故选D.
-3 -2 -1 0 1 2 3
M N P Q
04
课堂练习
【例4】满足≥k的最大整数k是________.
3【解析】因为3<<4，且k≤，所以最大整数k是3.故答案为3.
04
课堂练习
【选做】5. 如图，在数轴上表示2,的对应点分别为C,B,若点C是AB的中点，则点A表示的数是
A.-
B.2-
C.4-
D.-2
O A C B
2
04
课堂练习
【选做】5.
C【解析】因为在数轴上表示2,的对应点分别为C,B，点C是AB的中点，所以BC=AC.设A点表示的数为a，则-2=2-a，所以a=4-，故选C.
04
课堂练习
【选做】6.若实数a,b，c，d满足a-1=b-=c+1=d+2,则a,b,c，d这四个实数中最大的是
A.a B.b C.c D.d
B【解析】因为a-1=b-,所以b=a-1+,所以b>a.
因为a-1=c+1,所以a=c+2，所以a>c.
因为c+1=d+2，所以c=d+1，所以c>d，所以b>a>c>d，所以6最大.故选B.
05
课堂小结
像这种无限不循环小数叫作无理数。
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。有理数和无理数统称实数。
05
课堂小结
05
课堂小结
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
06
作业布置
【必做】1.有下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数；(2)无理数是无限不循环小数；(3)无理数包括正无理数、零、负无理数；(4)一个无理数的平方一定是有理数.其中正确的说法的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
A【解析】(1)π是无理数，但不是开方开不尽的数，故原说法错误；(2)无理数就是无限不循环小数，故原说法正确；(3)0是有理数，不是无理数，故原说法错误；(4)π是无理数，故原说法错误，故选A.
06
作业布置
【必做】2.下列各实数的大小比较，正确的是
A.<2.5
B.<2
C.>
D.<
06
作业布置
【必做】2.
D【解析】A选项，因为=6.25，所以2.5=.因为>，所以>2.5 ，故错误；
B选项，因为=4,2 =4，所以=2 ，故错误；
C选项，因为π,所以，故错误；
D选项,因为<，所以<2，所以-1<1，所以<，故正确.故选D
06
作业布置
【必做】3.如图，数轴上的两点A,B对应的实数分别是a，b，则下列式子中成立的是
A.1-2a>1-2b
B.-a<-b
C.a+b<0
D.|a|-|b|>0
-2 -1 0 1 2 3
A B
a b
06
作业布置
-2 -1 0 1 2 3
A B
a b
【必做】3.A
A.因为a<0
-2b，所以1-2a>1-2b，所以A正确
B.因为a-b，所以B不正确
C.因为-20，所以C不正确
D.因为-206
作业布置
【必做】4.在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A的距离等于2个单位的点所表示的数是________
+2或-2
【解析】如果这个点在点A的右侧，那么表示的数为+2；如果这个点在点A的左侧，那么表示的数为-2.故答案为+2或-2.
06
作业布置
【选做】5.如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1,-,-3,点D为数轴上一点，则点D到A,B,C三点距离之和的最小值为________
4【解析】当点D在点B的位置上时，点D到A，B，C三点距离之和最小，最小值为AC的长，即1-(-3)=4，故答案为4.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
C B A
06
作业布置
【选做】6.已知min{a,b,c}表示取三个数中最小的那个数.例如：min{|-2|, ，}=-8.当min{，，x}=时，x的值为
A. B. C. D.
06
作业布置
【选做】6.C
A.当x=时，=，=，且≠，错误；
B.当x=时，=，=，C.当x=时，=，=，D.当x=时，=，=，故选C
06
作业布置
【拓展题】如图所示的是一个数值转换器.
(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________;
(2)当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________;
(3)若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______.
输入x
输出y
取算术平方根
是无理数
是无理数
06
作业布置
【拓展题】 6.(1) (2)25 (3)0或1
【解析】(1)当x=9时，=3,3为有理数，3的算术平方根是为无理数，故答案为.
(2)当y=时，是5的算术平方根，=25,则x=25.故答案为25.
(3)当x=0，1时，始终输不出y值.因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，所以所有满足要求的x的值为0或1.故答案为0或1.
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3.2 从有理数到实数教学设计
课题 3.2 从有理数到实数 单元 第三单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 有理数和实数作为“数与代数”领域的重要内容，贯穿整个初中数学教学。从有理数到实数的扩展，标志着学生对数的认识从有限的、离散的有理数范围扩展到了无限的、连续的实数范围。这一扩展不仅完善了学生的知识结构，还培养了学生的逻辑思维和想象能力，为后续学习二次根式、一元二次方程、函数等知识奠定了基础。
核心素养 能力培养 从具体的数（如整数、分数等有理数）的运算和性质中抽象出实数的概念，理解实数是有理数的扩充； 认识实数与数轴上的点一一对应，借助数轴比较实数的大小，培养数形结合能力。
教学目标 了解无理数和实数的概念与分类，知道实数由有理数和无理数组成； 了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数； 能用有理数估计一个无理数的大致范围； 了解实数的比较大小。
教学重点 有理数和实数的定义及其分类；实数与数轴上点的对应关系。
教学难点 无理数的理解及其在数轴上的表示；实数的运算规则。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 的平方根是_________。 ±9 【解析】因为=81，所以81的平方根是±9.故答案为±9. 创设情境、导入新课 用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么？由此你能得出A4纸长与宽的比是多少吗？ 复习回顾上节课学方根的运算。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固认识平方根和开平方相关知识。 从A4纸的长宽比导入无理数，引出无理数和实数的概念。
新知探究 探究一：引入概念 如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。 设每一方格的边长为1个单位长度，讨论下面的问题： (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？ (3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？(请与你的同伴交流) 观察右图，我们可得图中阴影正方形的边长为。因为1＜＜2，所以它不是整数。 下面让我们一起探究的十分位、百分位、千分位等数位上的值。 我们可以通过计算，得到下表。 如此进行下去，可以得到一系列越来越接近2的近似值。 事实上,＝1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 …， 它既不是有限小数，也不是无限循环小数(不能化为分数)。 【强调】： 像这种无限不循环小数叫作无理数。 无理数广泛存在着，例如: π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3…， ＝1.732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 9…。 任意写一个无限不循环小数，如1.010 010 001…(两个“1”之间依次多一个“0”),它也是无理数。 注意 (1)无理数的小数部分位数无限. (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. (3)判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如是有理数，而不是无理数. (4)不是分数，也不是有理数，是无理数.形如(b≠0,a,b是整数)的不是整数的数才是分数. 【强调】： 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。 和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如π,,,,都是正无理数,-π,-,-,-,都是负无理数。 有理数和无理数统称实数。 按概念分类： 按正实数，零，负实数的关系分类： 注意 对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按统一标准，做到不重不漏. 我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。 例如，可把－2，－0.5，和2表示在数轴上。 那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？答案是否定的。 如下图，通过画图3-2中正方形ABCD的边长，就能准确地把和－表示在数轴上。 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 例如，和－互为相反数，||＝|－|＝。 【强调】： 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 有理数的大小比较法则也适用于实数。 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 拓展 (1)实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数. (2)数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数. 探究二：例题讲解 教材第84页： 例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“＜”连接)。 ，－π，1.5，－。 分析：对于－π，－等无理数，我们可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取－π≈－3.1，－≈－1.7。 解：把，－π，1.5，－表示在数轴上，如下图。 所以－π<－<1.5<。 利用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。 图示 实数的大小比较 1.利用数轴比较实数的大小 与有理数的大小比较法则一样，在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 2.利用实数的分类比较大小 (1)正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数. (2)两个正实数，绝对值大的数较大. (3)两个负实数，绝对值大的数反而小 3.无理数大小的比较 (1)作差法：若->0，则；若-0，则. (2)平方法：把含根号的两个无理数同时平方，比较平方后数的大小，同时要考虑符号，如:比较3,4, 的大小，利用<<即可得到3<4<. 拓展 当两个带根号的无理数比较大小时，可应用a>b≥0 . 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过对问题的讨论，学生将学习无理数和实数的运算，大小比较。
课堂练习 【例1】，，1.414 144 1，， 6.1717717771…(自左而右每两个1之间依次多一个7),中，无理数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B【解析】=0.875，所以是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数；1.4141441是有限小数，所以是有理数；中开不尽方，所以是无理数；6.171771 7771…(自左而右每两个1之间依次多一个7)是无限不循环小数，所以是无理数;=4，所以是有理数，所以无理数一共有3个.故选B. 【例2】估计的值 A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 C【解析】因为<<，所以3<<4，即在3和4之间.故选C. 【例3】如图，在数轴上对应的点可能是 A.点M B.点N C.点P D.点Q D【解析】<<，即2<<3，故选D. 【例4】满足≥k的最大整数k是________. 3【解析】因为3<<4，且k≤，所以最大整数k是3.故答案为3. 【选做】5. 如图，在数轴上表示2,的对应点分别为C,B,若点C是AB的中点，则点A表示的数是 A.- B.2- C.4- D.-2 C【解析】因为在数轴上表示2,的对应点分别为C,B，点C是AB的中点，所以BC=AC.设A点表示的数为a，则-2=2-a，所以a=4-，故选C. 【选做】6.若实数a,b，c，d满足a-1=b-=c+1=d+2,则a,b,c，d这四个实数中最大的是 A.a B.b C.c D.d B 【解析】因为a-1=b-,所以b=a-1+,所以b>a. 因为a-1=c+1,所以a=c+2，所以a>c. 因为c+1=d+2，所以c=d+1，所以c>d，所以b>a>c>d，所以6最大.故选B. 完成例题和练习. 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对无理数和实数的理解，巩固数轴的应用，以及实数的大小比较。培养学生多角度思考和解决问题的能力.
课堂小结 像这种无限不循环小数叫作无理数。 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。 和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。有理数和无理数统称实数。 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 我们说实数和数轴上的点一一对应。 有理数的大小比较法则也适用于实数。 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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第三章 实数
3.2 从有理数到实数
学习目标：
了解无理数和实数的概念与分类，知道实数由有理数和无理数组成；
了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数；
能用有理数估计一个无理数的大致范围;
了解实数的比较大小。
核心素养目标：从具体的数（如整数、分数等有理数）的运算和性质中抽象出实数的概念，理解实数是有理数的扩充；认识实数与数轴上的点一一对应，借助数轴比较实数的大小，培养数形结合能力。
学习重点：有理数和实数的定义及其分类；实数与数轴上点的对应关系。
学习难点：无理数的理解及其在数轴上的表示；实数的运算规则。
一、知识链接
1.像这种无限不循环小数叫作_________。
2.如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是_________与_________的统称。
3.有理数和无理数统称_________。
4.在实数范围内，每一个实数都可以用_________上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_________。
5.实数和数轴上的点_________。
6.在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数_________。
二、自学自测
1.下列各数中，属于无理数的是( )
A.
B.1.414
C.
D.
2.估计的值
A.在0和1之间
B.在1和2之间
C.在2和3之间
D.在3和4之间
创设情境、导入新课
用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么？由此你能得出A4纸长与宽的比是多少吗？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。
设每一方格的边长为1个单位长度，讨论下面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少？
(2)阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？
(3)阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？(请与你的同伴交流)
【强调】：
像这种无限不循环小数叫作无理数。
无理数广泛存在着，例如:
π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 3…，
＝1.732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 366 9…。
任意写一个无限不循环小数，如1.010 010 001…(两个“1”之间依次多一个“0”),它也是无理数。
注意
(1)无理数的小数部分位数无限.
(2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
(3)判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果，如是有理数，而不是无理数.
(4)不是分数，也不是有理数，是无理数.形如(b≠0,a,b是整数)的不是整数的数才是分数.
【强调】：
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。例如π,,,,都是正无理数,-π,-,-,-,都是负无理数。
有理数和无理数统称实数。
按概念分类：
按正实数，零，负实数的关系分类：
注意
对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按统一标准，做到不重不漏.
我们已经知道，每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来。
例如，可把－2，－0.5，和2表示在数轴上。
那么，数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？
把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。
例如，和－互为相反数，||＝|－|＝。
【强调】：
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
拓展
(1)实数与数轴上的点是一一对应的，而与有理数就不是一一对应的，实数包括有理数.
(2)数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数.
探究二：例题讲解
教材第84页：
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“＜”连接)。
，－π，1.5，－。
利用估算法确定无理数的大小
对于带根号的无理数的大小的估算，可以通过平方运算或立方运算，采用两边逐渐逼近的方法，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。
图示
实数的大小比较方法：
拓展
当两个带根号的无理数比较大小时，可应用a>b≥0 .
提炼概念(本节课主要内容提炼)
像这种无限不循环小数叫作无理数。
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。有理数和无理数统称实数。
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
【例1】，，1.414 144 1，，
6.1717717771…(自左而右每两个1之间依次多一个7),中，无理数有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【例2】估计的值
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
【例3】如图，在数轴上对应的点可能是
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【例4】满足≥k的最大整数k是________.
【选做】5. 如图，在数轴上表示2,的对应点分别为C,B,若点C是AB的中点，则点A表示的数是
A.-
B.2-
C.4-
D.-2
【选做】6.若实数a,b，c，d满足a-1=b-=c+1=d+2,则a,b,c，d这四个实数中最大的是
A.a B.b C.c D.d
像这种无限不循环小数叫作无理数。
如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。有理数和无理数统称实数。
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
我们说实数和数轴上的点一一对应。
有理数的大小比较法则也适用于实数。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
必做题：
1.有下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数；(2)无理数是无限不循环小数；(3)无理数包括正无理数、零、负无理数；(4)一个无理数的平方一定是有理数.其中正确的说法的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列各实数的大小比较，正确的是
A.<2.5
B.<2
C.>
D.<
3.如图，数轴上的两点A,B对应的实数分别是a，b，则下列式子中成立的是
A.1-2a>1-2b
B.-a<-b
C.a+b<0
D.|a|-|b|>0
4.在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A的距离等于2个单位的点所表示的数是________
选做题：
5.如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1,-,-3,点D为数轴上一点，则点D到A,B,C三点距离之和的最小值为________
6.已知min{a,b,c}表示取三个数中最小的那个数.例如：min{|-2|, ，}=-8.当min{，，x}=时，x的值为
A. B. C. D.
拓展题：
如图所示的是一个数值转换器.
(1)当输入的x值为9时，输出的y值为________;
(2)当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为________;
(3)若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为_______.
参考答案
【预习自测】
1. C
2. C【解析】因为<<，所以2<<，即在2和3之间.故选C.
【作业布置】
必做
1. A【解析】(1)π是无理数，但不是开方开不尽的数，故原说法错误；(2)无理数就是无限不循环小数，故原说法正确；(3)0是有理数，不是无理数，故原说法错误；(4)π是无理数，故原说法错误，故选A.
2. 2.
D【解析】A选项，因为=6.25，所以2.5=.因为>，所以>2.5 ，故错误；
B选项，因为=4,2 =4，所以=2 ，故错误；
C选项，因为π,所以，故错误；
D选项,因为<，所以<2，所以-1<1，所以<，故正确.故选D
3.A
A.因为a<0-2b，所以1-2a>1-2b，所以A正确
B.因为a-b，所以B不正确
C.因为-20，所以C不正确
D.因为-24. +2或-2
【解析】如果这个点在点A的右侧，那么表示的数为+2；如果这个点在点A的左侧，那么表示的数为-2.故答案为+2或-2.
选做
5. 4【解析】当点D在点B的位置上时，点D到A，B，C三点距离之和最小，最小值为AC的长，即1-(-3)=4，故答案为4.
6.C
A.当x=时，=，=，且≠，错误；
B.当x=时，=，=，C.当x=时，=，=，D.当x=时，=，=，故选C
拓展
6.(1) (2)25 (3)0或1
【解析】(1)当x=9时，=3,3为有理数，3的算术平方根是为无理数，故答案为.
(2)当y=时，是5的算术平方根，=25,则x=25.故答案为25.
(3)当x=0，1时，始终输不出y值.因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，所以所有满足要求的x的值为0或1.故答案为0或1.
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