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专题4.7 探究与表达规律
模块1：学习目标
1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；
2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证；
3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、数列的规律 3
考点2、数（图）表的规律 4
考点3、算式的规律 5
考点4、图形的规律（一次类） 7
考点5、图形的规律（二次类） 9
考点6、图形的规律（指数类） 10
考点7、循环规律类问题 12
模块3：能力培优 15
模块2：知识梳理
1.规律探索型问题解题技巧
1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
考点1、 数列的规律
例1．（2024·云南昆明·二模）数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，…，第n个数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
变式2．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
考点2、数（图）表的规律
例1．（2023·山东泰安·统考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
变式1．（23-24七年级下·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（ ）
A． B．90 C． D．91
变式2．（2023·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A 、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．
考点3、算式的规律
例1．（2023·湖北七年级期中）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
变式1．（24-25七年级上·广东·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．
从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
变式2.（2024·山西大同·三模）观察下列等式：
，
，
，
，
照此规律，第个等式为 ．
考点4、图形的规律（一次类）
例1．（2024·重庆·二模）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
变式1．（2024·陕西西安·模拟预测）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
变式2．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
考点5、图形的规律（二次类）
例1．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（ ）
A．56 B．58 C．63 D．74
变式1．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．40 B．49 C．50 D．52
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，，按此归路排列下去，第个图形中圆的个数是（ ）个
A． B． C． D．
考点6、图形的规律（指数类）
例1．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ．
变式2．（2023·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：
(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
图1 图2 图3 图4
○的个数 3 9 21 ______
▲的个数 1 4 10 ______
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
考点7、循环规律类问题
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ．
变式2．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
2．（2024·广东河源·一模）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（ ）
A．39 B．44 C．65 D．71
4．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第n幅图中有平行四边形( )
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东济宁·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为( )
A．143 B．140 C．123 D．120
8．（2024·重庆渝中·二模）如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，第（2）个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第（10）个图形中小圆圈的个数是（ ）
A．43 B．47 C．51 D．55
9.（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
10．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是（ ）
A．3 B．252 C．243 D．498
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·浙江·假期作业）按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球．
12．（24-25七年级上·重庆·假期作业）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ．
13．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
14．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ．
15．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ．
16．（2024·山西朔州·模拟预测）观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有15根小棍，第3个图形有27根小棍…，则第10个图形中有 根小棍．
17．（2024·山东泰安·二模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为 ．
18．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ．
19．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，观察给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中点的个数的变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为 ．
20．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在2024年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在A，B，C三个盘子里分别放了一些小球，，，记为．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．若，则 ， ．
三、解答题（本大题共5小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·湖南张家界·统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，
①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如数列①中数列②中那么数列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．
22．（2023·江苏泰州·七年级校考期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有个小正方形；
(3)借助以上结论计算：．
23．（2024·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
24．（2024·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形的宽为1，长为的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应的值．
25．（2024·广东·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有 个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有 个正方形？(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝ ．
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专题4.7 探究与表达规律
模块1：学习目标
1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；
2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证；
3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、数列的规律 3
考点2、数（图）表的规律 4
考点3、算式的规律 5
考点4、图形的规律（一次类） 7
考点5、图形的规律（二次类） 9
考点6、图形的规律（指数类） 10
考点7、循环规律类问题 12
模块3：能力培优 15
模块2：知识梳理
1.规律探索型问题解题技巧
1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
考点1、 数列的规律
例1．（2024·云南昆明·二模）数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，…，第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出各数之间的变化规律是解题的关键．从题目中找出各数之间的变化规律，尤其要关注各数的符号，即可得出结果．
【详解】解：根据题意可知：一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，，
第个数是：，故选：D
变式1．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化之类的问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．观察第二行可知第个数为：，第一行的第个数为第2行第个数的2倍减1，从而得到答案．
【详解】解：设第一行第个数为，第二行第个数为，
观察第二行可知第个数为：，
∴第二行可知第个数为：，
∵第一行的第个数为第2行第个数的2倍减1，即，
∴第一行的第8个数为：，
∵，∴取每行数的第8个数，计算这两个数的和是，故选：C．
变式2．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
【详解】解：，，，，…，这组数为：，，，…，
这一组数的第个数是，第个数是，故答案为：，．
考点2、数（图）表的规律
例1．（2023·山东泰安·统考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
【答案】
【分析】根据题干中给出的三角形中数字规律，得出第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为，再根据第n行第2个数是第行第2个数和第三个数的和进行求解即可．
【详解】解：根据题目中给出数的特点，第n行第1个数表示为，第n行第2个数表示为，
∴第6行第1个数为，第6行第2个数为 ，
∴第六行第三个数表示的是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据题目中给出的数字找出规律．
变式1．（23-24七年级下·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（ ）
A． B．90 C． D．91
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先找到规律前n行共有个数，进而得到第10行从左边数第9个数是第90个数，再找到规律当k为奇数时，第k个数是，当k为偶数时，第k个数为，据此可得答案．
【详解】解：第一行有1个数，
前两行有个数，
前三行有个数，
前四行有个数，……，
以此类推，前n行共有个数，
∴前9行一共有个数，
∴第10行从左边数第9个数是第90个数，
观察可知，当k为奇数时，第k个数是，当k为偶数时，第k个数为，
∴第10行从左边数第9个数是，故选：B．
变式2．（2023·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A 、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．
【答案】50
【分析】根据点P到A、B两点的距离和是16，确定有理数x的值，再按照规律确定y的值．
【详解】解：∵点P到A、B两点的距离和是16，且点P在原点左侧，
∴点P在点A左侧，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，
观察图形中的四个数，左上角的数是右上角的数的绝对值少1，左下角的数比左上角的数多2，从第2个图形开始，右下角的数是左上角的数与左下角的数的积再加2，
∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案为：50．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数字类图形变化题．注意观察总结出规律，能正确的应用规律．
考点3、算式的规律
例1．（2023·湖北七年级期中）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）根据题中等式的规律可得；（2）观察等式的规律可得；
（3）将等式的左边进行整式的混合运算，判断与等式右边是否相等即可．
【详解】（1）根据题中规律可得：
（2）观察式子可得：
（3）等式左边===3=等式右边
∴（2）中所写式子一定成立．
【点睛】本题通过找规律的方式考查整式的混合运算．分析所给等式，找到规律是解题的关键．
变式1．（24-25七年级上·广东·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．
从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数字（图形）变化的规律，观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可.
【详解】图1：正方形数是4，；
图2：正方形数是9，；
图3：正方形数是16，；
图4：正方形数是25，；
图5：正方形数是36，.故选：C.
变式2.（2024·山西大同·三模）观察下列等式：
，
，
，
，
照此规律，第个等式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字规律，较强的类比归纳能力是解题的关键．根据已有等式类比归纳出第n个等式即可．
【详解】解：①；②；③；④；⑤，……
第n个等式为：．故答案为：．
考点4、图形的规律（一次类）
例1．（2024·重庆·二模）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查图形规律探究，根据题意易得第n个图案棋子的颗数为；由此问题可求解．
【详解】解：∵第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…；∴第n个图案棋子的颗数为，
依题意，解得：故选：C．
变式1．（2024·陕西西安·模拟预测）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
【答案】B
【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形抽象出相应的数字规律，进行求解即可．
【详解】解：由已知图形可知，后一个小屋子所需的棋子的数量比前一个多6个；
∴第个图形需要：枚棋子，
∴摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为；故选B．
变式2．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个菱形，
第②个图案中有个菱形，
第③个图案中有个菱形，
第④个图案中有个菱形，
∴第个图案中有个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为，故选：C．
考点5、图形的规律（二次类）
例1．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（ ）
A．56 B．58 C．63 D．74
【答案】D
【分析】此题考查图形的规律探究，由题意可知：第一个图形有个小圆，第二个图形有个小圆，第三个图形有个小圆，第四个图形有个小圆由此得出，第个图形的小圆数量个，由此得出答案即可．
【详解】解：第一个图形的小圆数量；第二个图形的小圆数量；
第三个图形的小圆数量；第个图形的小圆数量个，
则第8个图形的小圆数量个故选：D．
变式1．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．40 B．49 C．50 D．52
【答案】B
【分析】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
【详解】观察图形可知，第1个图形共有圆点个；
第2个图形共有圆点个；第3个图形共有圆点个；
第4个图形共有圆点个；…；
第n个图形共有圆点个；
∴第8个图案中共有圆点的个数是．故选：B．
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，，按此归路排列下去，第个图形中圆的个数是（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形的变换规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可求解，根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是是解题的关键．
【详解】解：∵第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，
可得第个图形中圆的个数是， ∴第个图形中圆的个数为，故选：．
考点6、图形的规律（指数类）
例1．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而根据规律，即可求解．
【详解】解：依题意，故选：B．
变式1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可推导一般性规律为：，即，，，……，，将等式左右同时相加得，，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴可推导一般性规律为：，
∴，，，……
，，将等式左右同时相加得，，
∴，
解得，，故答案为：．
变式2．（2023·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：
(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
图1 图2 图3 图4
○的个数 3 9 21 ______
▲的个数 1 4 10 ______
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45，22(2)图n中，○的个数，▲的个数．
【分析】（1）根据图形总结规律，直接得出结果；（2）根据（1）即可得到规律．
【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数，
图2，○的个数，▲的个数，
图3，○的个数，▲的个数，
图4，○的个数，▲的个数，故答案为：45，22；
（2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数．
【点睛】本题主要考查探求规律的问题，能够结合图形的数目探求规律是解题的关键．
考点7、循环规律类问题
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
【答案】B
【分析】本题主要考查了周期性问题，分别计算天干与地支是本题解题的关键．
天干年为一周期，地支年为一周期，计算出从年到年过了多少年，然后进行解答．
【详解】解：(年),，，
∴天干为己，地支为丑，∴1949年应为己丑年.故选: B．
变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据尾数的变化找出计算结果中的个位数字循环是解题的关键．根据计算结果中的个位数字的变化，可得出计算结果中的个位数字的规律为4、0、8、2依次循环，结合余1，可得出的个位数字．
【详解】解：∵，…，
∴计算结果中的个位数字按4、0、8、2依次循环．
∵余1，∴的个位数字与的个位数字相同．故答案为：4．
变式2．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和求得到分别是多少，即可找出规律，求得答案.
【详解】解：任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，，
，，，，，.
每6个数为一循环，且6个数的和为0，
.故选：B.
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力.涉及到有理数的加法法则，解题的关键在于分析题意，找到规律并进行推导.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．故选：D
2．（2024·广东河源·一模）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式以及规律型：数字的变化类，设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，，将三个数相加，可得出三个数之和为，进而可得出三个数之和为的倍数，即可得出结论．根据各数之间的关系，找出三个数之和为3的倍数是解题的关键．
【详解】解：设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，，
∴三个数之和为或，∴三个数之和为的倍数，
又∵，，，，
∴方框中三个数的和可能是．故选：B．
3．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（ ）
A．39 B．44 C．65 D．71
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“型”中间数为，“十字型”中间数为，则，求出，表示出，由图形可得：的最大值为，此时，代入计算即可得出答案．
【详解】解：设“型”中间数为，“十字型”中间数为，
由题意得：,,
∵，∴，∴，∴，
由图形可得：的最大值为，此时，
∴，∴的最大值为，故选：B．
4．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第n幅图中有平行四边形( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多个平行四边形可得，第幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果．
【详解】解：第幅图中有个；第幅图中有(个)
第幅图中有(个)；可以发现，每个图形都比前一个图形多个平行四边形，
所以第幅图有个平行四边形．故选：B．
5．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形规律，理解图示，掌握图形规律是解题的关键．
根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，由此即可求解．
【详解】解：根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，
∴的图形规律为：白黑黑白，故选：D ．
6．（2024·山东济宁·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解．
【详解】原数据为：，□，，，，…
∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，∴□为故选：A．
7．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为( )
A．143 B．140 C．123 D．120
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，先求出前几个数之间的关系，找到规律为，再代入计算．
【详解】解：，，，，，
第个圆中规律为：，
当时，，故选：A．
8．（2024·重庆渝中·二模）如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，第（2）个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第（10）个图形中小圆圈的个数是（ ）
A．43 B．47 C．51 D．55
【答案】A
【分析】本题考查了图形规律探索，由题意知，其规律是每次增加4个圆圈，依此规律则可求得第（10）个图形中小圆圈的个数．找出规律是解题的关键．
【详解】解：第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，
第（2）个图形中小圆圈的个数是（个），
第（3）个图形中小圆圈的个数是（个），
第（4）个图形中小圆圈的个数是（个），……，
则第（10）个图形中小圆圈的个数是（个）；故选：A．
9.（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案．
【详解】解：，，
第24个数在从开始的第行的第个数，
观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，，
由从开始的第行的数依次为：，，，，，，
由从开始的第行的数依次为，，，，，，，第24个数为，故选：A．
10．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是（ ）
A．3 B．252 C．243 D．498
【答案】C
【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先分析得到经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；由，可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意第一轮剩下：，，，，，，
第二轮剩下：，，，，∴经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；
∵，即，∴当圆圈只剩一个人时，，∴这个同学的编号为．故选C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（24-25七年级上·浙江·假期作业）按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球．
【答案】 15
【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，
则第n堆小球共有：，
第五堆小球共有：（个），故答案为：15；．
12．（24-25七年级上·重庆·假期作业）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 ．
【答案】651
【分析】解答此题的关键是根据图找出拐弯外数的数与次数的规律，然后再根据规律解答．
第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…可以得到n个拐弯处的数．当n为奇数时，；当n为偶数时，．第50次为偶数，代入即可计算出此处拐弯处的数．
【详解】解：由分析可知，第50次拐弯处的数为：
．故答案为：651．
13．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
【答案】 9 144
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，当n为偶数时，，
故当时，，故答案为：9，144．
14．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能准确归纳出该组数字出现的规律．
通过归纳出第个数的表达式为进行求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
，
第个数记为，
故答案为：．
15．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含的代数式表示出第组最后一个数，判断出第组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规律是解题的关键．
【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个，
∴第组最后一个奇数为：，
∴当时，第组最后一个奇数为：，
当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，，
则表示的数是，故答案为：．
16．（2024·山西朔州·模拟预测）观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有15根小棍，第3个图形有27根小棍…，则第10个图形中有 根小棍．
【答案】195
【分析】本题考查了图形规律探索：先观察第1、2、3这三个图形，得出第个图形的小棍的数量是，再把代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：结合图形，得出
第1个图形的小棍的数量是；第2个图形的小棍的数量是，
第3个图形的小棍的数量是，
以此类推：得出第个图形的小棍的数量是，
，，
当时，则，故答案为：195．
17．（2024·山东泰安·二模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：中，第三项系数为 ．
【答案】
【分析】此题考查了数字的变化规律，根据题意得到第三项系数的规律即可解答，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，的第三项系数为，的第三项系数为，
的第三项系数为，的第三项系数为，，
的第三项系数为，故答案为：．
18．（2024·四川成都·三模）在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数，否则称为合数．若一个偶数可以写成两个奇合数的和，则称这个偶数为“佳偶数”，例如：，则24和30都称为“佳偶数”．最大的一个非“佳偶数”是 ．
【答案】38
【分析】本题是自定义类规律题，主要考查奇数偶数和合数的概念．
通过理解奇合数的定义，然后通过举例和推理，找出不能表示为两个奇合数之和的最大偶数．
【详解】奇合数有：，以上分别为：，
可以知道：为两个奇数之积，一定是奇合数，
所以大于等于 40 的偶数都能写成两个奇合数之和，
而， 均不为两个奇合数之和，所以 38 即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数；
故最大的一个非“佳偶数”是最大的一个是 38 ．故答案为：38．
19．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，观察给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中点的个数的变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．观察前面几个图形中点的排列规律即可发现后面一个图形比前一个多4个点，据此求解即可．
【详解】∵第1个点阵中的点的个数，第2个点阵中的点的个数，
第3个点阵中的点的个数，第4个点阵中的点的个数，…
∴第个点阵中的点的个数．故选答案为：．
20．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在2024年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在A，B，C三个盘子里分别放了一些小球，，，记为．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了数字的变化规律．根据题意先列出前10个数列，得出从开始每3次为一个周期循环的规律，据此可得答案．
【详解】解： ，，，，
，，，
，，，……，从开始每3次为一个周期循环，
，，故答案为：，．
三、解答题（本大题共5小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·湖南张家界·统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，
①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如数列①中数列②中那么数列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．
【答案】(1)(2)(3)(4)第项为：，第项为：
【分析】（1）利用等差数列的定义进行求解即可；（2）根据所给的式子进行求解即可；
（3）结合（2）进行总结即可；（4）利用（3）的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：，，中的，故答案为：；
（2）解：，，
，故答案为：；
（3）解：由（2）得：，故答案为：；
（4）解：，，，第项为：，第项为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是对由所给的式子总结出存在的规律．
22．（2023·江苏泰州·七年级校考期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有个小正方形；
(3)借助以上结论计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）观察图形根据已知图形得出第2个图形比第1个图形多：个；第3个图形比第2个图形多：个；第4个图形比第3个图形多：个；即可得出后面一个图形比第前个图形多的个数是连续奇数，即可求解；（2）根据（1）的规律，写出式子即可求解．（3）根据（2）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；故答案为：；
（2）∵第2个图形比第1个图形多：个；第3个图形比第2个图形多：个；
第4个图形比第3个图形多：个；
∴第n个图形比第个图形多：个；第个图中有个小正方形，
此类推，图n中（未画出）共有个小正方形故答案为：；
（3）解：∵，∴
【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．
23．（2024·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
【答案】(1)(2)(3)，共有1025156个小正方形
【分析】（1）根据给出的等式写出答案即可；（2）根据这3个等式写出答案即可；
（3）因为最底端有2024个小正方形，所以，得出n的值，再计算有多少个小正方形即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：因为最底端有2024个小正方形，所以，解得：
所以（个）
答：，共有1025156个小正方形．
【点睛】本题考查图形的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键．
24．（2024·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形的宽为1，长为的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应的值．
【答案】见解析
【分析】有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1；当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为；当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为．
【详解】①如图，
；
②如图，
；
③如图，
；
④如图，
．
【点睛】本题的关键是：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．
25．（2024·广东·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有 个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有 个正方形？(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝ ．
【答案】(1)30个，图见解析(2)55(3)(4)9411
【分析】（1）先画出图形，再根据探究二的思路即可得；（2）根据探究三的思路得出规律即可解决问题；
（3）根据探究一、二、三归纳类推出一般规律即可得；
（4）将原式转化为，再利用规律计算即可得．
【详解】（1）解：画图如下：
由图可知，边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个，边长为4的正方形有个，则总共有个正方形．
（2）解：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为（个），故答案为：55．
（3）解：当时，图形中正方形的个数为，
当时，图形中正方形的个数为，
当时，，
归纳类推得：将边长为的正方形四条边分别等分，连接各边对应的等分点，图形中一共有正方形的个数为，故答案为：．
（4）解：原式
，故答案为：9411．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
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