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专题4.7 整体思想与整式的化简求值（章节重难点）
1.掌握整式的化简求值；
2.了解数学中的整体思想；了解五种常见的整体思想求值题型；
3.会灵活使用整体思想求整式的值。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.运用整体思想化简求值 2
考点2.整式的化简求值 5
模块3：能力培优 8
整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题. 这种思想方法在解题中往往能起到意想不到的效果．学生如果能应用整体思想思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。
在代数中有一类题目，给出一个含有未知变量的等式，解出未知变量确有很大难度，此类问题用最常规的思维方法来解，必然要先求出未知变量，然后代入所求的式子中进行求解．这种常规方法虽然可以求出答案，但是过程繁琐，计算复杂．而用整体法求解则会截然不同．
考点1、整体思想
例1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数：若，则；若，则．例，；已知当，时有，则代数式的值为________．
变式1．（2024·福建·七年级校考期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用．如：已知，，则．利用上述思想方法计算：已知，．则______．
例2．（2023·江苏苏州·校考二模）若，则（ ）
A．5 B．－5 C．3 D．－3
变式2．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______ ．
例3．（2023·浙江杭州·七年级期中）当时，多项式的值为2，则当时，多项式的值为（ ）
A．0 B． C． D．
变式3.（2024·广西·七年级期末）当时，代数式的值为3，则当时，代数式值为_______．
例4．（2023秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，则代数式的值为
A．38 B．35 C． D．
变式4．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）若，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
例5.（2023 安丘市七年级月考）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，
求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．
变式5．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．
考点2、代数式化简求值
例1．（2024·浙江金华·二模）先化简，再求值：．其中．
变式1．（23-24七年级·黑龙江·期中）先化简，再求值：，其中．
变式2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中
变式3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值
，其中．
变式4．（23-24七年级·广东·假期作业）有这样一道题：计算的值，其中．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的．你说这是怎么回事？
1．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）若代数式的值是4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江衢州·七年级校考期中）当时，，则当时的值为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考阶段练习）若，，则式子的值是（ ）
A． B．16 C．10 D．
4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C．14 D．16
6．（2024·河北初一期中），那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北十堰·统考二模）若，则的值为___________．
8.（2024·山东·七年级期中）已知，则的值为__________．
9．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）已知等式，，如果a和b分别代表一个整数，那么的值是___________；
10．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）某数学小组在观察等式时发现：当时，.现在请你计算：______________
11．（23-24七年级上·湖南常德·期中）先化简， 再求值：，其中
12．（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
13．（23-24七年级上·河南许昌·期末）先化简，再求值：，其中，．
14．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）先化简，再求值：，其中．
15．（2023·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：的值，其中，
16．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）先化简，再求值： ，其中；
17．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中．
18．（23-24七年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，．
19．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
20．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）化简求值：
(1)，其中，．
(2)，其中
22．（23-24七年级·浙江·假期作业）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简，再求值：，其中．
23．（2024·河北石家庄·二模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．
(1)请说明原点在第几部分；(2)若，，，求；
(3)若且，求的值．
24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）黑板上有一个正确的整式加减法算式，小明不小心擦去了前面的多项式，如下所示：
(1)求被擦去的多项式；(2)当x，y满足时，求被擦去多项式的值．
25．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】（）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示）
（）若代数式的值为，求代数式的值为 ；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（）已知，的值为最大的负整数，求的值．
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专题4.7 整体思想与整式的化简求值（章节重难点）
1.掌握整式的化简求值；
2.了解数学中的整体思想；了解五种常见的整体思想求值题型；
3.会灵活使用整体思想求整式的值。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1.运用整体思想化简求值 2
考点2.整式的化简求值 5
模块3：能力培优 8
整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题. 这种思想方法在解题中往往能起到意想不到的效果．学生如果能应用整体思想思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。
在代数中有一类题目，给出一个含有未知变量的等式，解出未知变量确有很大难度，此类问题用最常规的思维方法来解，必然要先求出未知变量，然后代入所求的式子中进行求解．这种常规方法虽然可以求出答案，但是过程繁琐，计算复杂．而用整体法求解则会截然不同．
考点1、整体思想
例1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数：若，则；若，则．例，；已知当，时有，则代数式的值为________．
【答案】4
【分析】由相伴数的定义分别计算，的值，再计算，最后利用整体思想解题．
【详解】解：根据题意得，，则，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查新定义计算、已知式子的值，求代数式的值，理解题意是解题关键．
变式1．（2024·福建·七年级校考期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它在数学运算、推理中有广泛的应用．如：已知，，则．利用上述思想方法计算：已知，．则______．
【答案】3
【分析】先将原式去括号、合并同类项，然后利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴===2－（-1）=3故答案为：3．
【点睛】此题考查的是整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则和整体代入法是解题关键．
例2．（2023·江苏苏州·校考二模）若，则（ ）
A．5 B．－5 C．3 D．－3
【答案】A
【分析】由题意知，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算．
变式2．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）若代数式的值为，则代数式的值为______ ．
【答案】22
【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法计算即可得出结论．
【详解】解：代数式的值为，，，
．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体代入的方法计算是解题的关键．
例3．（2023·浙江杭州·七年级期中）当时，多项式的值为2，则当时，多项式的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，把代入多项式，得到，再把代入多项式，变形后计算即可得到答案．
【详解】解：把代入多项式，得：，即，
把代入多项式，得：，故选A．
【点睛】本题考查代数式求值，有理数乘方运算，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解题关键．
变式3.（2024·广西·七年级期末）当时，代数式的值为3，则当时，代数式值为_______．
【答案】-2
【分析】把x=-2020代入代数式ax5+bx3-1使其值为3，可得到-20205a-20203b=4，再将x=-2020代入ax5+bx3+2后，进行适当的变形，整体代入计算即可．
【详解】解：当x=-2020时，代数式ax5+bx3-1的值为3，
即-a×20205-20203b-1=3，也就是：-20205a-20203b=4，
∴当x=2020时，ax5+bx3+2=20205a+20203b+2=-（-20205a-20203b）+2=-4+2=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查代数式求值，代入是常用的方法，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键．
例4．（2023秋·陕西延安·七年级校考期末）已知，，则代数式的值为
A．38 B．35 C． D．
【答案】C
【分析】把化成，再代值计算便可．
【详解】解：，
当，时，原式．故选：C．
【点睛】本题考查了代数式求值的方法，还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力，题目有一定难度．
变式4．（2023秋·四川宜宾·七年级统考期末）若，，则的值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴．故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想，将变形为．
例5.（2023 安丘市七年级月考）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：
已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，
求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．
【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；
（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；
（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，
由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；
①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，∴a6+a4+a2＝0．
变式5．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法，已知．例如：给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得；给赋值使，则可以求得代数式的值为______．
【答案】16
【分析】给赋值使﹐则可求得；给赋值使，则可求得，然后把代入即可计算．
【详解】解：给赋值使﹐则，解得，
给赋值使，则，∴，∴．故答案为：16．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解赋值法的意义和所给算式的特点是解题的关键．
考点2、代数式化简求值
例1．（2024·浙江金华·二模）先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当时，
原式
变式1．（23-24七年级·黑龙江·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值，根据非负数的性质先求解，再去括号，计算整式的加减运算，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
，
，
．
当时，
原式，
．
变式2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值问题．先去括号，再合并同类项，然后代值计算即可，注意计算的准确性．
【详解】解：原式
当时，原式
变式3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）化简求值
，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的加减以及化简求值，将原式去括号合并同类项得到最简结果，再将，代入计算．
【详解】解：
；
当时，
原式．
变式4．（23-24七年级·广东·假期作业）有这样一道题：计算的值，其中．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的．你说这是怎么回事？
【答案】见解析
【分析】本题考查了整式的运算，计算时，通过合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
由于计算结果与的值无关，所以正确．
1．（2023秋·河南开封·七年级统考期末）若代数式的值是4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把变形为，再把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确变形所求代数式和运用整体代入的思想是解答本题的关键．
2．（2024·浙江衢州·七年级校考期中）当时，，则当时的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由当时，代数式，可化为，当时，代数式，再把代入即可得出答案．
【详解】解：当时，，即，
当时，，故选A．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，应用整体思想是解决本题的关键．
3．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考阶段练习）若，，则式子的值是（ ）
A． B．16 C．10 D．
【答案】C
【分析】将进行拆解组合成条件相关式子，然后整体代入即可．
【详解】解：
将，代入上式得：原式故选C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，整体思想的利用是解题关键．
4．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）历史上数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示，把x等于某数a时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据，可得：，所以，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：∵，∴8m+2n+5=6，∴，
∴，故选：C．
【点睛】此题考查了新定义，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
5．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C．14 D．16
【答案】A
【分析】直接用减去即可．
【详解】∵，，∴，故选A
【点睛】本题考查了代数式的求值，能够得到是解题的关键．
6．（2024·河北初一期中），那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式=3a+7+5b﹣6a﹣2b=3b﹣3a+7=﹣3（a﹣b）+7=﹣8．故选D．
点睛：将整式的加减与代数式变形相结合解题是中考中经常考查的知识点．先把此代数式变形为a﹣b的形式，代入数值即可．
7．（2023·湖北十堰·统考二模）若，则的值为___________．
【答案】12
【分析】把代数式变形为，再代入计算即可．
【详解】解：，
，故答案为：12．
【点睛】本题考查了代数式的值，解题的关键是把代数式变形为，利用整体代入得思想求解．
8.（2024·山东·七年级期中）已知，则的值为__________．
【答案】1
【分析】把直接代入即可解答．
【详解】解：∵，∴，
∴．故答案为1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体思想是解题关键．
9．（2023秋·湖南衡阳·七年级校考期末）已知等式，，如果a和b分别代表一个整数，那么的值是___________；
【答案】
【分析】根据已知等式，两式相减即可求解．
【详解】解：∵，，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
10．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）某数学小组在观察等式时发现：当时，.现在请你计算：______________
【答案】26
【分析】把代入等式，求得d的值；把代入等式，把d的值代入等式，即可求解．
【详解】把代入等式，得：；
把代入等式，得：；
∴；∴．故答案为：26
【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入求值和代入特殊数据求值．
11．（23-24七年级上·湖南常德·期中）先化简， 再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值问题．根据整式的加减法法则，先化简再代入求值即可．
【详解】解：原式
当时，原式
12．（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
【答案】，
【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，且，，
∴，
∴，，
原式=．
13．（23-24七年级上·河南许昌·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，43
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值．先去括号，然后合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
14．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，11
【分析】本题考查整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先去括号合并同类项，再把代入计算即可．
【详解】
当时，
原式．
15．（2023·江苏苏州·模拟预测）先化简，再求值：的值，其中，
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式的化简，求整式的值，关键先化简，再代入求值；关键是化简，然后把给定的值代入求值．
【详解】原式；
当，时，原式．
16．（2023春·湖南永州·七年级校考期中）先化简，再求值： ，其中；
【答案】，
【分析】先去括号，再合并同类项，然后再将x的值代入计算．
【详解】
．
当时，原式．
【点睛】此题考查整式的化简求值，依据整式的加减法法则正确化简整式是解题的关键．
17．（2024·浙江台州·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】此题考查了整式的加减－化简求值．先去括号，然后合并同类项得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．（23-24七年级下·广西南宁·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
19．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，首先去括号，然后合并同类项，化简后，再代入、的值求解即可．
【详解】解：
当时
原式．
20．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，再把，代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
；
21．（23-24七年级·黑龙江大庆·期中）化简求值：
(1)，其中，．
(2)，其中
【答案】(1)；(2)；1
【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项和掌握去括号法则是解题关键，
（1）直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案；
（2）原式先去括号，然后合并同类项进行化简，然后再求值．
【详解】（1）解：原式
，
当，时，
原式
．
（2）解：原式
．
∵，且，，
，，
解得：，，
∴原式
22．（23-24七年级·浙江·假期作业）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；；（2）；69
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键．
（1）先去括号，然后根据整式的加减进行求解，最后代值求解即可；
（2）先去括号，然后进行整式的加减运算，最后代值求解即可．
【详解】（1）原式
把代入得；
（2）原式
把代入得：
23．（2024·河北石家庄·二模）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．
(1)请说明原点在第几部分；(2)若，，，求；
(3)若且，求的值．
【答案】(1)第③部分(2)(3)
【分析】本题考查数轴，线段的和差以及代数式求值．
（1）根据异号两数相乘结果为负可知b，异号，即可求解；
（2）根据线段的和差可得，再根据点在数轴上的位置即可求解；
（3）利用整体代入法即可求解．
【详解】（1），
，异号．
原点在第③部分；
（2）若，，
则．
，
；
（3），，
即，
24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）黑板上有一个正确的整式加减法算式，小明不小心擦去了前面的多项式，如下所示：
(1)求被擦去的多项式；
(2)当x，y满足时，求被擦去多项式的值．
【答案】(1)(2)8
【分析】本题考查整式的加减运算，非负数的性质，代数式求值．掌握整式的加减混合运算法则，绝对值和平方的非负性是解题关键．
（1）根据整式的加减混合运算法则，用多项式加上多项式求解即可；
（2）根据绝对值和平方的非负性可求出，，再代入（1）所求式子求值即可．
【详解】（1）解：，
故被擦去的多项式为；
（2）解：∵，
∴，，
解得：，．
当，时，多项式．
25．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题．
【解决问题】（）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示）
（）若代数式的值为，求代数式的值为 ；
【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题：
（）已知，的值为最大的负整数，求的值．
【答案】（）；（）；（）．
【分析】（）求出的结果，再把代入化简后的结果计算即可求解；（）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解；（）由的值为最大的负整数得，再把代数式转化为，把、代入计算即可求解；
本题考查了整式的加减运算，代数式求值，掌握“整体思想”的运用是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴，故答案为：；
（）∵，∴，
∴，故答案为：；
（）∵的值为最大的负整数，∴，
∴，，，．
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