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专题4.3.整式
1. 掌握单项式和多项式、整式的定义；
2. 掌握单项式的系数和次数的概念；
3. 掌握多项式的项、项数和次数的概念；
4. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、单项式的概念辨析 2
考点2、单项式的系数与次数 3
考点3、多项式的概念辨析 4
考点4、多项式的项与次数 5
考点5、整式的概念辨析 6
考点6、书写符合条件的单项式或多项式 7
考点7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 8
模块3：能力培优 10
单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
例：5x；10ab；0；a等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。例：的次数为1+2=3次。多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：在多项式的所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数。
例：的项有：，，-2；常数项是-2；次数最高的项的次数是2；称为二次三项式。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
考点1、单项式的概念辨析
例1．（2023·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ， ， ， ， 中，单项式共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（2023·黑龙江·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
考点2、单项式的系数与次数
例1．（2023·浙江七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是
C．式子是单项式 D．有理数是单项式
变式1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ．
变式2．（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ．
变式3．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式
考点3、多项式的概念辨析
例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（2023·河南·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4、多项式的项与次数
例1．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3
变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式
变式2．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（ ）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
考点5、整式的概念辨析
例1．（2023·福建漳州·七年级校考期中）在代数式：中，整式有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个．
A． B． C． D．
变式2．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
考点6、书写符合条件的单项式或多项式
例1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可）
例2．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ．
变式1．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ．
变式2. （2023 无锡期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式： ．
考点7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数
例1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ．
变式2．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2024·广西百色·七年级统考期中）下列代数式中，是多项式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·吉林四平·七年级统考期末）下列单项式中，次数为6的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8
C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2
6．（2023·黑龙江·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（ ）
①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
7．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
10.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·内蒙古·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ．
12．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ．
13．（2024·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ．
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ．
15．（2023·吉林松原·七年级统考期中）写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式_________________．
16．（2023·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________．
17．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知多项式，，该多项式的第12项为________，用字母、和表示多项式第项________．（为正整数）
18．（2023·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，
根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ；
（2）（是正整数）的结果为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；多项式：（ ）；整式：（ ）．
20.（2023 双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
21．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1
(1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内：
(2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________．
22．（2023·陕西渭南·七年级统考期末）已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数．(1)点A表示的数为________；点B表示的数为________；
(2)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），则用含t的式子表示甲、乙小球所在的点表示的数；
(3)在（2）的条件下，求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？
23．（2024·吉林松原·七年级校联考期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为．(1)直接写出a与b之间的关系；(2)求的值．
24．（2024·湖南长沙·七年级校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
25．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出的值．
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专题4.3.整式
1. 掌握单项式和多项式、整式的定义；
2. 掌握单项式的系数和次数的概念；
3. 掌握多项式的项、项数和次数的概念；
4. 培养观察、归纳、概括和语言表达的能力。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1、单项式的概念辨析 2
考点2、单项式的系数与次数 3
考点3、多项式的概念辨析 4
考点4、多项式的项与次数 5
考点5、整式的概念辨析 6
考点6、书写符合条件的单项式或多项式 7
考点7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 8
模块3：能力培优 10
单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。
例：5x；10ab；0；a等。
注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。例：的次数为1+2=3次。
多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。
多项式的次数：在多项式的所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数。
例：的项有：，，-2；常数项是-2；次数最高的项的次数是2；称为二次三项式。
整式：单项式与多项式统称为整式。
注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）
考点1、单项式的概念辨析
例1．（2023·河北唐山·七年级统考期中）代数式，，，a，20，，中单项式的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据单项式的定义：数字与字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也是单项式，求解即可．
【详解】解：单项式有：，a，20，，共有5个，故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，熟悉相关性质是解题的关键，注意单独的一个数或单独的一个字母也是单项式．
变式1．（2023·广东惠州·七年级统考期中）下列代数式 ，0， ， ， ， ， 中，单项式共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母，也是单项式，进行判断即可．
【详解】解： ，0， ， ， ， ， 中，属于单项式的有 ，0， ，共4个；故选B．
【点睛】本题考查单项式．熟练掌握单项式的定义，是解题的关键．
变式2．（2023·黑龙江·七年级校考期中）代数式：，，，t，，，，其中单项式的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式，根据定义即可判断．
【详解】解：单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母是单项式，
所以是单项式的是：，，t，，所以单项式的个数是4个．故选：B．
【点睛】本题考查了单项式的定义，正确理解定义是关键．
考点2、单项式的系数与次数
例1．（2023·浙江七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数 B．单项式的系数是
C．式子是单项式 D．有理数是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式及其系数、次数的定义：只含有数与字母的积的整式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．判断选择即可．
【详解】A、单项式系数是，次数是，故原说法错误；
B、单项式的系数是，故原说法错误；
C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误；
D、有理数是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确．故选：D．
【点睛】本题考查单项式及其系数、次数的定义，熟练掌握单项式及其系数、次数的定义是解题关键．
变式1．（2023·江西赣州·七年级统考期末）若单项式的次数为 ．
【答案】3
【分析】根据单项式的次数的定义得出即可．
【详解】单项式的次数为 故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，能熟记单项式的次数的定义的内容是解此题的关键，注意：单项式中的字母的指数的和，叫单项式的次数．
变式2．（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）单项式的系数是 ．
【答案】
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的的系数解答即可．
【详解】解：单项式的系数是．故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
变式3．（2023·福建三明·七年级校考期中）下面的说法中，正确的是（ ）
A．单项式的次数是2次 B．中底数是2 C．的系数是3 D．3是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式的相关概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、单项式的次数是3次，故此选项错误，不符合题意；
B、中底数是，故此选项错误，不符合题意；
C、的系数是，故此选项错误，不符合题意；
D、3是单项式，故此选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，熟练掌握相关概念是解题的关键．
考点3、多项式的概念辨析
例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列式子：，，，4，，，，其中是多项式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：由题意得，，均是多项式，共三个；
的分母含字母，不是整式；，4，是单项式；故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
变式1．（2023·河南·七年级统考期中）下列代数式中，不是多项式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多项式是几个单项式的和去判断即可．
【详解】A. 是多项式，不符合题意；B. 是多项式，不符合题意；
C. 不是多项式，符合题意； D. 是多项式，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握定义是解题的关键．
变式2．（2023·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】多项式是几个单项式和的形式．
【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B．
【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和．
考点4、多项式的项与次数
例1．（2023·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1
C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3
【答案】D
【分析】根据多项式的概念和降幂排序的方法进行判断即可．
【详解】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意；
B、常数项是1，故此项不符合题意；
C、按y降幂排列为，故此不项符合题意；
D、四次项的系数是，故此项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查多项式的定义及多项式的降幂排序，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键．
变式1．（2023·安徽合肥·七年级校考阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．最高次项是 B．二次项系数是 C．常数项是 D．是三次四项式
【答案】D
【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数进行分析即可．
【详解】解：多项式最高次项是，二次项系数是，常数项是，是三次四项式，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，关键是掌握和多项式有关的定义．
变式2．（2023·江西吉安·七年级统考期中）多项式是（ ）
A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式
【答案】C
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：项式是四次四项式．故选C．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
考点5、整式的概念辨析
例1．（2023·福建漳州·七年级校考期中）在代数式：中，整式有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整式的定义，单项式和多项式统称为整式解决此题．
【详解】解：根据整式的定义，整式有，共4个．故选：C．
【点睛】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键．
变式1．（2023·河北唐山·模拟预测）在，，，，等五个代数式中整式一共有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．
【详解】解：是不是整式，、、、是整式，故整式的个数有4个，故选：B．
【点睛】本题主要考查的是整式的定义，属于基础题型．正确理解整式的定义是解决这个问题的关键．
变式2．（2023·上海浦东新·七年级校考期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断．
【详解】、分母中含字母，不是整式，
是多项式、、、是单项式，属于整式，
故整式有，共4个，故选：．
【点睛】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，解答题的关键是正确理解：单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减法．
考点6、书写符合条件的单项式或多项式
例1．（2023·河南鹤壁·七年级统考期中）写一个含有3个字母，系数是，次数是4的单项式，则这个单项式可以是 ．（写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的次数和系数的定义构造单项式即可．
【详解】解：由题意可得：这个单项式可以是，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查单项式的次数和系数，熟记概念是关键．
例2．（2023·上海·七年级统考期末）写一个只含有字母x，且一次项系数为的二次三项式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据多项式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而一次系数为．
【详解】解：由题意得：满足题意的可为：，答案不唯一．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查的是对多项式的性质的理解，此题答案不唯一，只要满足条件即可．
变式1．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期中）请写出一个系数是负数，次数是5的单项式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：由单项式定义可得满足条件的一个单项式为，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查单项式定义，熟记单项式定义是解决问题的关键．
变式2. （2023 无锡期末）写出一个次数是3，且只含有x，y的二项式： ．
【解题思路】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合已知条件的即可．
【解答过程】解：次数是3，且只含有x，y的二项式是x2y+x，
故答案为：x2y+x（答案不唯一）．
考点7、根据单项式（多项式）的次数、项数求参数
例1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数．
【答案】1和
【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案．
【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为，
或，解得：或，
单项式与该多项式的次数相同，，
把代入得：，解得：，，
多项式为，三次项系数为1和．
【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．
变式1．（2023秋·浙江七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数．
【详解】解：∵多项式是五次多项式，，解得：，
∵单项式与该多项式的次数相同，，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
变式2．（2023·陕西榆林·七年级统考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和项数以及单项式的次数的定义，即可求解．
【详解】解：因为多项式的次数是6，
所以单项式的次数也是6，所以，所以．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各式中，不是单项式的是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可．
【详解】解：x，5，都是单项式，不是整式，不是单项式，故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，即数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
2．（2024·广西百色·七年级统考期中）下列代数式中，是多项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．
【详解】解：A、既不是单项式也不是多项式，故此选项不符合题意；
B、是单项式，故此选项不符合题意；C、是单项式，故此选项不符合题意；
D、是多项式，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式的定义是解题的关键．
3．（2023秋·吉林四平·七年级统考期末）下列单项式中，次数为6的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【详解】解：A．次数为7，故A选项不符合题意；B．次数为5，故B选项不符合题意；
C．次数为4，故C选项不符合题意；D．次数为6，故D选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题主要考查单项式的次数，解题的关键是熟知：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
4．（2023·河北沧州·七年级校考期中）下列代数式：，，，，，，a，其中整式有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】根据单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法，可得答案．
【详解】解：整式有，，，，，共有5个；故选：B．
【点睛】本题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，注意分母中含有字母的式子是分式不是整式．
5．（2023·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是，次数是3 B．的系数是，次数是8
C．的系数是，次数是5 D．的系数是5，次数是2
【答案】C
【分析】根据单项式的系数和次数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意；
B．的系数是，次数是，故选项错误，不符合题意；
C．的系数是，次数是5，故选项正确，符合题意；
D．的系数是，次数是2，故选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
6．（2023·黑龙江·七年级校考期中）下列结论正确的序号是（ ）
①是一个二次多项式；②多项式的系数是；③多项式是整式；④多项式的次数是4；⑤是多项式．
A．①②③④ B．①③ C．②③⑤ D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据单项式与多项式的系数与次数的定义进行求解即可．
【详解】①是一个二次多项式，故正确；②多项式没有系数，故错误；
③多项式是整式，正确；④多项式的次数是2，故错误；⑤不是整式，故错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查多项式与单项式，解答的关键是对多项式与单项式的次数与系数的掌握．
7．（2023·福建南平·七年级统考期中）一组按规律排列的式子：，，，，，则第个式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据上述式子，找到规律，进行解答，即可
【详解】∵，，，，，
通过观察，第一个式子的分子为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分子为：；
第一个式子的分母为：，第二个式子的分子为：，第三个式子的分子为：，第四个式子的分子为：，∴第个式子的分母为：，∴上述式子的规律为：，
∴第个式子为：．故选：C．
【点睛】本题考查整式的知识，解题的关键根据题意，找到式子的规律．
8．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）下列各式中，是二次三项式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、是二次二项式，故此选项不符合题意；
B、是一次三项式，故此选项不符合题意；C、是三次二项式，故此选项不符合题意；
D、是二次三项式，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握多项式的有关概念是解题的关键．
9．（2023·广西七年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．是单项式也是整式 B．是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
【答案】C
【分析】整式包括单项式和多项式；表示数与字母的积的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．
【详解】解：A. 是单独一个字母，是单项式也是整式，此选项正确，不符合题意；
B. 表示为5m-5n，是两个单项式的和，是多项式也是整式，此选项正确，不符合题意；
C. 整式可能是单项式，也可能是多项式，此选项不正确，符合题意；
D. 整式可能是单项式，也可能是多项式，整式不一定是多项式，此选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了整式的定义，掌握概念是解题的关键．
10.（2023·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值．
【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，∴m=-4，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·内蒙古·七年级统考期末）写出一个系数为，次数为4的单项式，这个单项式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数、次数的定义即可得．
【详解】解：由题意，这个单项式可以为，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了单项式的系数、次数的定义，熟记定义是解题关键．
12．（2023·黑龙江鸡西·七年级校考期中）多项式是 次 项式，它的常数项是 ．
【答案】 二 三
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，根据定义可得答案．
【详解】解：多项式二次三项式，常数项是，故答案为：二、三，
【点睛】本题考查的是多项式的次数与项，常数项的含义，熟记基础概念是解本题的关键．
13．（2024·安徽宣城·七年级校考期中）已知单项式的次数与多项式的次数相同，则 ．
【答案】5
【分析】根据单项式次数的定义：各字母指数的和；多项式中次数的定义：组成多项式的各单项式中次数最高的项，得出相应方程求解即可．
【详解】解：单项式的次数是7，
∴多项式的次数也是7，∴，∴．故答案为：5
【点睛】题目主要考查单项式与多项式中次数的定义，理解次数的定义是解题关键．
14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如果一个多项式的各项的次数都相同，那么这个多项式叫做齐次多项式，如：是3次齐次多项式，若是齐次多项式，则x的值是 ．
【答案】1
【分析】根据题意，得到，计算即可．
【详解】根据题意，得到，解得，故答案为：1．
【点睛】本题考查了多项式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键．
15．（2023·吉林松原·七年级统考期中）写出一个满足下列三个条件： ①只含有字母x、y、z；②系数为；③次数为5的单项式_________________．
【答案】(答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可．
【详解】解：符合题意的单项式为（答案不唯一，只要符合要求即可），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的相关定义是解题的关键．
16．（2023·吉林·七年级统考期末）任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项可写出所求多项式，只要符合题意即可．
【详解】解：∵一个含有字母三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为，
此多项式是：．故答案是：．
【点睛】本题考查了列代数式，多项式，解题的关键是熟练掌握多项式中系数、最高次项、常数项的概念．
17．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知多项式，，该多项式的第12项为________，用字母、和表示多项式第项________．（为正整数）
【答案】
【分析】根据已知多项式分别得出第1项、第2项、第3项的关系式，即可得到规律，从而得到结论．
【详解】解：已知多项式……，，
则可知该多项式的第1项为，则可知该多项式的第2项为，
则可知该多项式的第3项为，……，则可知该多项式的第n项为，
∴可知该多项式的第12项为；故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了与多项式有关的规律题型，准确分析，找出变化规律是解题的关键．
18．（2023·北京朝阳·七年级校考期中）观察下列图形及图形所对应的算式，
根据你发现的规律计算：（1）的结果为 ；
（2）（是正整数）的结果为 ．
【答案】 49
【分析】算式与正方形的面积有关，分别列出前三个图形的面积，找出规律，从而得到第个图形的面积．
【详解】解：第（1）个图形的面积；
第（2）个图形的面积；
第（3）个图形的面积；
第个图形的面积是正整数），故答案为：49；．
【点睛】本题考查探索规律，体现了数形结合的数学思想，发现算式与正方形的面积有关是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·安徽六安·七年级校考阶段练习）对下列式子进行分类．
．
单项式：（ ）；多项式：（ ）；整式：（ ）．
【答案】，，，；，，；，，，，，，
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式． 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式．
【详解】单项式：（，，，）
多项式：（，，）
是整式：（，，，，，，）
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，熟练掌握相关的概念是解题的关键．
20.（2023 双流区校级期中）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
（2）当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【解题思路】（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
【解答过程】解：（1）由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2，
则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2，
把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．
21．（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）有一列式子：①，②，③r，④，⑤，⑥，⑦，⑧1
(1)请把上述各式的序号分别填入如图所示的相应圆圈内：
(2)填空：单项式中__________的次数最高，次数是__________．
【答案】(1)代数式：①③④⑤⑥⑦⑧；单项式：③④⑦⑧；多项式：①⑥(2)⑦，5
【分析】（1）根据代数式、单项式和多项式的定义进行求解即可；
（2）根据单项式次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）填入的序号如图所示：
（2）单项式的有：③④⑦⑧，③的次数为，④的次数为，
⑦的次数为，⑧的次数为，
∴单项式中⑦的次数最高，次数是．故答案为：⑦，．
【点睛】本题考查了代数式、单项式和多项式，熟知其相关概念定义是解题的关键．
22．（2023·陕西渭南·七年级统考期末）已知多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数．(1)点A表示的数为________；点B表示的数为________；
(2)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t（秒），则用含t的式子表示甲、乙小球所在的点表示的数；
(3)在（2）的条件下，求经过多长时间甲、乙小球相距2个单位长度？
【答案】(1)，6(2)小球甲表示的数为，小球乙表示的数为(3)或
【分析】（1）根据多项式次数和单项式系数的定义求解即可
（2）根据数轴上两点距离公式进行求解即可；（3）根据数轴上两点距离公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵多项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，∴，
∵a，b分别是点A、B在数轴上对应的有理数，
∴点A表示的数为 ；点B表示的数为6，故答案为：，6；
（2）解：由题意得，小球甲表示的数为，小球乙表示的数为；
（3）解：由题意得，或，解得或．
【点睛】本题考查数轴上两点距离公式，多项式的次数和单项式的系数，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．（2024·吉林松原·七年级校联考期中）若多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为．(1)直接写出a与b之间的关系；(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意可得即可求解；
（2）根据题意可得，求出m，n的值即可求解．
【详解】（1）解：∵多项式是关于x的三次三项式，其中二次项系数为，
∴，∴a与b之间的关系是；
（2）解：由（1）可得：，解得，∴＝．
【点睛】本题主要考查了多项式的项、系数和次数的定义，熟知几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．
24．（2024·湖南长沙·七年级校考阶段练习）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“青一多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“青一和”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“青一多项式”，它的“青一和”为．请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“青一多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
①；②；③．
(2)若关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，且均为正整数，求的值；
(3)若多项式是关于x，y的“青一多项式”，则多项式也是关于x，y的“青一多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
【答案】(1)①③(2)(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“青一多项式”的定义进行解答即可；（2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可；（3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，∴属于青一多项式”；
∵（为整数），∴不属于青一多项式”；
∵，∴属于青一多项式”；
故属于“青一多项式”的是①③，故答案为：①③．
（2）∵关于x的“青一多项式”的“青一和”为7，∴，即，
∵均为正整数，∴也为正整数，
当时，则，即，则；
当时，则，即，则；综上：的值为；
（3）是，理由如下：
∵项式是关于x，y的“青一多项式”，
∴（为整数），∴，
∴，∴是的整数倍，
∴多项式也是关于x，y的“青一多项式”．
【点睛】本题考查了多项式的系数，整倍数的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键．
25．（2023·福建三明·七年级校考期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：
第1个点阵：
第2个点阵：
______＋______
第3个点阵：
______＋______
（2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式．
（3）根据以上猜想，求出的值．
【答案】（1），，，；（2）；（3）20201
【分析】（1）根据点阵图即可求解；（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式；（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可．
【详解】解：（1）由图可得：，，
故答案为：，，，；
（2）第1个点阵：
第2个点阵：
第3个点阵：
第个点阵相对应的等式为：
；
（3）由（2）可得：，
，，
．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键．
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