4.3两个三角形相似的条件(1) 学案
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4.3两个三角形相似的判定（1）
学习目标 ：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程.提高数学思维水平；
2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似.
学习重点和难点：
1．学习的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似.
2．学习的是难点.有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程.
学习过程
课前预习
1、相似三角形定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。
2、两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？
3、先完成下面二题，猜想两个三角形相似的还有哪些判定方法吗
（1）如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.
想一想：这两个三角形的三个内角是否相等？
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（2）如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？
△ADE∽△ABC∽△AFG？说明理由.
定理： 于三角形一边的直线和其他两边（或它们的 ）相交，所构成的三角形与原三角形 .
定理的几何语言表述：∵
∴△ADE∽△ABC
二．探索新知
1、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一
判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.
简称：两角对应相等，两三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ，
求证：△ABC∽△A′B′C′
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）
证明：
判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中
∵ ,
∴△ABC∽△A′B′C′（ ）
三、学以致用，体验成功
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
证明：
例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给出解题过程）
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
已知：如图，在RtΔABC中， 。
求证：
ΔACD∽
ΔABC∽
ΔCBD
证明:
四．巩固应用，拓展延伸
1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
2、在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （分两种情况讨论）
练习：完成课本“课内练习”P1081、2
五．归纳小结，反思提高
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
2、基本图形
（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
（2）如图乙，若AC∥DB,则△AOC∽△BOD.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB；
（2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC；
（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC.
重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角；
（3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.
五．布置作业
1、作业本及课本上作业题
2、在正方形ABCD中, AB = 2, P是BC 边上与 B、C 不重合的任意点,DQ⊥AP于Q.
(1)求证:ΔDQA∽ΔABP.
(2)当P 点在BC上变化时,线段 DQ 也随之变化.
设PA= x, DQ= y,求 y 与 x 之间的函数关系式.
3、由三角形全等的SSS判定方法，我们会想到如何判定这两个三角形相似呢？由三角形全等的SAS判定方法，我们会想到如何判定两个三角形相似呢？请预习4.3两个三角形相似的判定（2）。
学习目标 ：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”的探索过程.提高数学思维水平；
2．能运用“有两个角对应相等”的条件判定两个三角形相似.
学习重点和难点：
1．学习的重点是相似三角形的判定方法：有两个角对应相等的两个三角形相似.
2．学习的是难点.有两个角相等的三角形是相似三角形的探索过程.
学习过程
课前预习
1、相似三角形定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。
2、两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个相似三角形一定全等吗？
3、先完成下面二题，猜想两个三角形相似的还有哪些判定方法吗
（1）如图，在方格图中△ABC，DE∥BC，问：△ADE∽△ABC吗？说明理由.
想一想：这两个三角形的三个内角是否相等？
量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
（2）如图2，A、B、C、D、E、F、G都在小方格的的顶点上，问：DE∥BC∥FG吗？
△ADE∽△ABC∽△AFG？说明理由.
定理： 于三角形一边的直线和其他两边（或它们的 ）相交，所构成的三角形与原三角形 .
定理的几何语言表述：∵
∴△ADE∽△ABC
二．探索新知
1、结合预备定理探求三角形相似的判定定理一
判定定理一：有两个角对应相等的两个三角形相似.
简称：两角对应相等，两三角形相似.
已知：在△ABC 和△A′B′C′中, ，
求证：△ABC∽△A′B′C′
分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；另一个是上面学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？（即怎样把小的三角形移动到大的三角形上）
证明：
判定定理一的几何语言表述：在△ABC和△A′B′C′中
∵ ,
∴△ABC∽△A′B′C′（ ）
三、学以致用，体验成功
例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°.
求证：ΔABC∽ΔDEF
证明：
例2、一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达Ｄ处，再右转90°到E，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m就可以求出河宽AB你算出结果（要求给出解题过程）
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
已知：如图，在RtΔABC中， 。
求证：
ΔACD∽
ΔABC∽
ΔCBD
证明:
四．巩固应用，拓展延伸
1、如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。
2、在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ （分两种情况讨论）
练习：完成课本“课内练习”P1081、2
五．归纳小结，反思提高
1、有两个角对应相等的两个三角形相似.
如图，∵∠A＝∠A′,∠B＝∠B′
∴△ABC∽△A′B′C′
2、基本图形
（1）如图甲，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
（2）如图乙，若AC∥DB,则△AOC∽△BOD.
3、常见图形
（1）如图1,若∠AED＝∠B,则△ADE∽△ACB；
（2）如图2,若∠ACD＝∠B,则△ACD∽△ABC；
（3）如图3,若∠BAC＝90°,AD⊥BC,则△ABC∽△DBA∽△DAC.
重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角；
（3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等.
五．布置作业
1、作业本及课本上作业题
2、在正方形ABCD中, AB = 2, P是BC 边上与 B、C 不重合的任意点,DQ⊥AP于Q.
(1)求证:ΔDQA∽ΔABP.
(2)当P 点在BC上变化时,线段 DQ 也随之变化.
设PA= x, DQ= y,求 y 与 x 之间的函数关系式.
3、由三角形全等的SSS判定方法，我们会想到如何判定这两个三角形相似呢？由三角形全等的SAS判定方法，我们会想到如何判定两个三角形相似呢？请预习4.3两个三角形相似的判定（2）。
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