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有理数的运算 小结与反思学案
一、复习目标
1.复习有理数运算的基本法则，巩固加、减、乘、除、乘方有理数的运算方法.
2.培养学生运用有理数进行实际问题解决的能力.
3. 激发学生学习数学的兴趣.
二、知识导图
复习教材32页-71页，在下面空白处画出本章的知识框架图.
回顾与反思
通过梳理本章的知识请回答下列问题，并与同伴交流.
1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联系与区别？
2. 有理数有哪些运算律？举出两个用运算律简化运算的例子。
3. 加、减、乘、除、乘方这些运算之间有怎样的关系？
4. 什么是准确数和近似数？分别举一个例子加以说明.
5. 进行有理数运算时，如何减少错误？你有什么经验可以与同学分享？
典例讲解
例1、下列运算：①--＝－1；②0－7－2×5＝－9×5＝－45；③2÷＝2÷2＝1；④－（－2）3＝23＝8；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a（a－b）＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－6＋1＝－5，则（－2） 3＝___________________.
例3、（1）截至2021年4月19日，全国31个省和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约195 000 000剂次，195 000 000用科学记数法可表示为 ．
（2）9.831精确到百分位得到__________________．
（3）用科学记数法表示的数为5.2×106，则原数为__________________.
例4、下列解题过程正确吗？如果不对，该如何订正？
例5、计算：( 1)2+| 4| ( + )×( 24 )
例6、科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
例7、已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式的值．
课堂总结
通过本节课的学习你有什么收获？
布置作业
完成对应的课后练习
课后练习
基础练习
1．已知太康好人园某日早晨的气温是﹣2℃，到中午上升了10℃，则中午好人园的气温是（ ）
A．﹣2℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃
2．为了计算简便，把“（﹣3.2）﹣（﹣6）﹣（+2.8）+（+6.4）”写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（ ）
A．﹣3.2﹣6+2.8+6.4 B．﹣3.2+6﹣2.8+6.4
C．﹣3.2+6+2.8﹣6.4 D．3.2+6﹣2.8﹣6.4
3.﹣|﹣2024|的倒数是（ ）
A． B．2024 C．﹣2024 D．
4.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×108
5.某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了 米．
6. 2.737373…用四舍五入法保留两位小数是 ．
7.如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入数为3，则计算结果为 ．
8.设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，则a+b+c﹣d＝ ．
9.计算：
（1）（﹣8）﹣（﹣1）； （2）（﹣7）+（+5）﹣（+6）﹣（﹣3）；
（3）（﹣5）×（﹣7）+20÷（﹣4）； （4）（﹣3）3÷（﹣22）；
10.泸州铁路养护小组乘车沿东西向铁路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+12，﹣8，+7，﹣10，+8．
（1）问B地在A地的东方还是西方？它们相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油5升，求该天共耗油多少升？
能力提升
11.有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．ab＞0
12.若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ ．
13.定义一个新运算，已知|a|＝2，b＝1，则f（a，b）＝ ．
14.计算：
（1） （2）﹣14﹣（1﹣0.5）×．
15.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
|3﹣1|表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以看作|3﹣（﹣1）|，表示3与﹣1的差的绝对值，也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和﹣2的两点之间的距离是 ．
（2）①若|x﹣（﹣1）|＝3，则x＝ ；
②若使x所表示的点到表示3和﹣2的点的距离之和为5，请列出所有符合条件的整数，并求出它们的积是多少．
【拓展延伸】
（3）当x＝ 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值．
答案版
1．已知太康好人园某日早晨的气温是﹣2℃，到中午上升了10℃，则中午好人园的气温是（ ）
A．﹣2℃ B．﹣8℃ C．8℃ D．10℃
解：中午好人园的气温是：﹣2+10＝8（℃），选：C．
2．为了计算简便，把“（﹣3.2）﹣（﹣6）﹣（+2.8）+（+6.4）”写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（ ）
A．﹣3.2﹣6+2.8+6.4 B．﹣3.2+6﹣2.8+6.4
C．﹣3.2+6+2.8﹣6.4 D．3.2+6﹣2.8﹣6.4
解：（﹣3.2）﹣（﹣6）﹣（+2.8）+（+6.4）
＝（﹣3.2）+（+6）+（﹣2.8）+（+6.4）
＝﹣3.2+6﹣2.8+6.4，选：B．
3.﹣|﹣2024|的倒数是（ ）
A． B．2024 C．﹣2024 D．
解：﹣|﹣2024|＝﹣2024，则它的倒数为﹣，选：D．
4.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×108
解：17500000＝1.75×107．选：C．
5.某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了 9 米．
解：根据题意得：
﹣18﹣（﹣27）＝19（米），
答：此潜艇上升了9米．
6. 2.737373…用四舍五入法保留两位小数是 2.74 ．
解：2.737373…小数位上第三位数字是7，7＞5，
∴2.737373…≈2.74，
故答案为：2.74．
7.如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，若输入数为3，则计算结果为 ﹣9 ．
解：根据题意可得：
3×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2＝﹣9，
故答案为：﹣9．
8.设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，则a+b+c﹣d＝ 2 ．
解：∵a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，
∴a＝0，b＝1，c＝0，d＝﹣1，
则a+b+c﹣d＝2．
答案为：2．
9.计算：
解：（1）（﹣8）﹣（﹣1）
＝（﹣8）+1
＝﹣7；
（2）（﹣7）+（+5）﹣（+6）﹣（﹣3）
＝（﹣7）+（+5）+（﹣6）+3
＝﹣5；
（3）原式＝35+（﹣5）
＝30；
（4）（﹣3）3÷（﹣22）
＝+（﹣27）÷（﹣4）
＝
10.泸州铁路养护小组乘车沿东西向铁路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，向西为负方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+12，﹣8，+7，﹣10，+8．
（1）问B地在A地的东方还是西方？它们相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油5升，求该天共耗油多少升？
解：（1）+12﹣8+7﹣10+8
＝27﹣18
＝9．
答：B地在A地的正东方，它们相距9千米．
（2）（12+8+7+10+8）×5
＝45×5
＝225（升）．
答：该天共耗油225升．
能力提升
11.有理数a、b在数轴上如图所示，下列式子错误的是（ ）
A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．a+b＜0 D．ab＞0
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜0＜b，故选项A正确，不合题意；
|a|＞|b|，故选项B正确，不合题意；
a+b＜0，故选项C正确，不合题意；
ab＜0，故选项D错误，符合题意；选：D．
12.若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝ 45或23 ．
解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20．
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
答案为：45或23．
13.定义一个新运算，已知|a|＝2，b＝1，则f（a，b）＝ 1或﹣1 ．
解：∵|a|＝2,
∴a＝±2，
当a＝2，b＝1时，f（a，b）＝f（2，1）＝2﹣1＝1；
当a＝﹣2，b＝1时，f（a，b）＝f（﹣2，1）＝﹣2+1＝﹣1；
由上可得，f（a，b）的值为1或﹣1，
故答案为：1或﹣1．
计算：
（1）
＝
＝
＝25×4
＝100．
（2）﹣14﹣（1﹣0.5）×．
＝﹣1﹣××（2﹣9）
＝﹣1﹣×（﹣7）
＝﹣1+
＝．
15.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】
|3﹣1|表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以看作|3﹣（﹣1）|，表示3与﹣1的差的绝对值，也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】
（1）数轴上表示4和﹣2的两点之间的距离是 6 ．
（2）①若|x﹣（﹣1）|＝3，则x＝ 2或﹣4 ；
②若使x所表示的点到表示3和﹣2的点的距离之和为5，请列出所有符合条件的整数，并求出它们的积是多少．
【拓展延伸】
（3）当x＝ 2 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值．
解：（1）表示4和﹣2两点之间的距离是|4﹣（﹣2）|＝6，
答案为：6；
（2）①∵|x﹣（﹣1）|＝3，
∴x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x＝2或x＝﹣4，答案为：2或﹣4；
②∵使x所表示的点到表示3和﹣2的点的距离之和为5，
∴|x﹣3|+|x+2|＝5，
∵3与﹣2的距离是5，
∴﹣2≤x≤3，
∵x是整数，
∴x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∴所有符合条件的整数x的积为0；
（3）解：∵|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣1、2和3所对应的点的距离之和，
∴当x＝2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值4．答案为：2．
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第二章 有理数的运算
小结与反思
浙教版（2024）七年级上册
复习目标
1.复习有理数运算的基本法则，巩固加、减、乘、除、乘方有理数的运算方法。
2.培养学生运用有理数进行实际问题解决的能力。
3. 激发学生学习数学的兴趣。
知识导图
有理数的运算
加法
交换律
乘方
分配律
减法
运算律
除法
科学记数法
乘法
结合律
回顾反思
1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联系与区别？
加法法则：
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数
回顾反思
1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联系与区别？
减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
回顾反思
1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联系与区别？
乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，积为零。
回顾反思
1. 有理数的加、减、乘、除有哪些运算法则？与小学学过的运算法则有什么联系与区别？
联系：运算顺序相同.
区别：初中的各种运算如加减乘除和乘方中加入了负数即异号的运算.
除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。
除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。
回顾反思
2. 有理数有哪些运算律？举出两个用运算律简化运算的例子。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
ab＝ba。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
（ab）c＝a（bc）。
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
a（b＋c）＝ab＋ac。
回顾反思
3. 加、减、乘、除、乘方这些运算之间有怎样的关系？
在混合运算时有括号先算括号里的，没有括号的先算乘除，后算加减，有乘方时先算乘方，只有同一级运算则从左到右依次计算.
回顾反思
4. 什么是准确数和近似数？分别举一个例子加以说明。
与实际完全符合的数称为准确数.
与实际接近的数称为近似数.
如：某本书的定价是4.50元.其中4.50是一个准确数.
如：把3.14159精确到百分位的近似数是3.14,其中3.14就是近似数.
回顾反思
5. 进行有理数运算时，如何减少错误？你有什么经验可以与同学分享？
计算细心，顺序第一.
数形结合百般好.
典例讲解
例1、下列运算：①- ＝－1；②0－7－2×5＝－9×5＝－45；
③2÷ ＝2÷2＝1；④－（－2）3＝23＝8；其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
典例讲解
例2、定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a（a－b）＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－6＋1＝－5，则（－2） 3＝ .
11
典例讲解
例3、（1）截至2021年4月19日，全国31个省和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗约195 000 000剂次，195 000 000用科学记数法可表示为 ．
（2）9.831精确到百分位得到 ．
（3）用科学记数法表示的数为5.2×106，则原数为 .
1.95×108
9.83
5 200 000
易错点：科学记数法是写成×10，变回原数，小数点要往右移多少个数位，就乘以10的几次方，就可以确定n的取值.
解：错误
原式＝(﹣15)÷(﹣ ×6（第一步）
＝(﹣15)×(﹣ 6)×6（第二步）
＝540（第三步）
典例讲解
例4、下列解题过程正确吗？如果不对，该如何订正？
计算(﹣15)÷ ﹣ ×6
解：原式＝(﹣15)÷(﹣ ×6（第一步）
＝(﹣15)÷(﹣1)（第二步）
＝﹣15（第三步）
易错点：乘除是同级运算，应由左往右计算．
典例讲解
×24
例5、
典例讲解
例6、科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农民采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周柚子的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克） ＋3 －5 －2 ＋10 －7 ＋13 ＋5
（1）小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
解：(1)13-(-7)＝13+7＝20(千克).
答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克．
典例讲解
（2）小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？
（3）若小王按10元/千克进行柚子销售，平均运费为3.5元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？
星期 一 二 三 四 五 六 日
销售超过或不足计划量情况（单位：千克） ＋3 －5 －2 ＋10 －7 ＋13 ＋5
(2)3-5-2+10-7+13+5+100×7＝17+700＝717(千克).
答：小王第一周实际销售柚子的总量是717千克．
(3)717×(10-3.5)＝717×6.5＝4 660.5(元).
答：小王第一周销售柚子一共收入4 660.5元．
典例讲解
例7、已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|n|＝3，求代数式
的值．
课堂总结
你学到了什么？
你悟到了什么？
你又有什么质疑和发现？
谢谢
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