浙教版2024年八年级上册第2章《特殊三角形》单元测试卷 含解析

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浙教版2024年八年级上册第2章《特殊三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列四个垃圾分类标识中，其文字上方的图案属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列命题的逆命题正确的是（　　）
A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．等边三角形是等腰三角形
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，若∠A：∠ABC＝5：4，则∠CBD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．140° D．130°
4．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
5．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则BC2+AB2+AC2等于（　　）
A．20 B．100 C．200 D．144
6．直角三角形的两条直角边的比为5：12，斜边长为26cm，则较长的直角边的长为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．24cm
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
8．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．90° B．75° C．70° D．60°
9．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝5，EF＝BG，则DF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝6，则AB的长为（　　）
A． B．12 C．15 D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知一个直角三角的一个角为20°，另一个角为 　 　．
12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　 　．
13．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个，不添加辅助线）
14．若x，y满足|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为　 　．
15．如图，已知∠MAB是锐角，BN⊥AM，BN＝1cm，AB＝2cm．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 　 　cm．若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S4的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边长．
（1）已知a＝5，b＝12，求c的值；
（2）已知c＝25，a＝7，求b的值；
（3）若c＝40，a：b＝3：4，求a，b的值．
18．（8分）小琳想要证明命题：等腰三角形两腰上的中线相等．
请你将该命题的已知与求证补充完整，并完成证明过程．
已知：如图，△ABC中，AB＝　 　MC，NB分别为AB边与AC边上的中线，
求证：　 　．
19．（8分）如图，小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处．已知滑雪台的高度AC为14米，滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2米，则滑雪台的长度AB为多少米？
20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）连接AA1，AA2，A1A2，请直接写出△AA1A2的面积．
21．（10分）在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D与B、C不重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝120°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变 　 　（填“大”或“小”）．
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？
（3）在点D的运动过程中，什么时候DA与DE的长度相等？求出此时∠BDA的度数．
23．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为　 　（用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
浙教版2024年八年级上册第2章《特殊三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：A．图形不是轴对称图形，不符合题意；
B．图形不是轴对称图形，不符合题意．
C．图形是轴对称图形，符合题意；
D．图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
2．【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断出是否正确即可得出答案．
【解答】A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，
B．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误，
C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误，
D．等边三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形是等边三角形，错误，
故选：A．
3．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠A+∠ABC＝90°，结合已知可得∠A的度数，然后利用三角形外角的性质求出∠CBD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠A：∠ABC＝5：4，
∴，
∴∠CBD＝∠A+∠C＝50°+90°＝140°，
故选：C．
4．【分析】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
5．【分析】根据△ABC是直角三角形，斜边BC＝10，可得∠A＝90°，从而可以得到AB2+AC2＝BC2＝102＝100，然后即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，斜边BC＝10，
∴∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2＝102＝100，
∴BC2+AB2+AC2
＝BC2+（AB2+AC2）
＝BC2+BC2
＝100+100
＝200，
故选：C．
6．【分析】设直角三角形的两条直角边分别为5a，12a，则斜边长为：，可得13a＝26，即可求解．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边分别为5a，12a，
则斜边长为：，
∴13a＝26
解得：a＝2，
∴较长的直角边的长＝12a＝24 cm，
故选：D．
7．【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
8．【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：D．
9．【分析】由题知△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，再根据EF＝BG，证明出△ADE≌△DEF，即可得出答案．
【解答】解：∵S正方形ABCD＝5，四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH＝EF＝FG＝HG．
由题可知：△ADE≌△ABF≌△BCG≌△CDH．
∵EF＝BG，
∴EF＝AF，
∴E是中点，
即AE＝EF，
∴．
∴△ADE≌△DEF（SAS）．
即DF＝AD＝．
故选：B．
10．【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设AB为x，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
【解答】解：如图，设∠B为∠1，∠C为∠2，∠CDE为∠3，图2中∠1的余角为∠4，
∵△ABC是等腰三角形，BD＝6
∴∠1＝∠2，CD＝6，
∵∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴CO＝OD＝OB，
∴，
∵AO＝AD′，AD′＝AD，
∴，
设AB为x，
根据勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
故选D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵直角三角的一个角为20°，
∴另一个角为90°﹣20°＝70°，
故答案为：70°．
12．【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
13．【分析】轴对称图形的定义即可得到结论．
【解答】解：AD＝CD，
理由：在△ABD与△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD，
∴四边形ABCD是一个轴对称图形，
故答案为：AD＝CD．
14．【分析】根据非负数的性质求出x，y的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题．
【解答】解：∵|x﹣3|+（y﹣6）2＝0，
又∵|x﹣3|≥0，（y﹣6）2≥0，
∴x＝3，y＝6，
当x＝3为腰时，3+3＝6，不满足三角形三边的关系，故舍去，
当3为底时，6，6，3满足三角形三边关系，
∴等腰三角形的周长为15，
故答案为：15．
15．【分析】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，只有当两个直角三角形满足上述条件时，才全等．
【解答】解：（1）分别在NA，NM上截取NC，NC′，使NC＝NC′，连接BC，BC′，
∵BN⊥AM，
∴BC＝BC′，
在△ABC和△ABC′中，AB＝AB，BC＝BC′，∠A＝∠A，
△ABC和△ABC′不全等，
BC长可选取的范围是：1cm＜BC＜2cm，
故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等是假命题，证明见解析，1cm＜BC＜2cm；
（2）①当BC＝1cm时，△ABC是直角三角形，此时，△ABC的形状、大小是唯一确定的；
②当BC≥2cm时，点C在射线NM上运动，此时，△ABC的形状、大小是唯一确定的．
故答案为：BC＝1cm或BC≥2cm．
16．【分析】根据题意求出面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答S4．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律．
【解答】解：如图所示，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，∠CED＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴面积标记为S2的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为，
则S3＝1×1＝1，
面积标记为S4的等腰直角三角形的直角边长为，
则，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．【分析】（1）由勾股定理直接求解即可；
（2）由勾股定理直接求解即可；
（3）设a＝3x，b＝4x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【解答】解：（1）c＝；
（2）b＝＝24；
（3）设a＝3x，b＝4x，
则（3x）2+（4x）2＝402，
解得x＝8或x＝﹣8（舍去），
∴a＝3x＝24，b＝4x＝32．
18．【分析】先根据命题的条件和结论写出已知，求证，然后利用等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质进行证明，即可解答．
【解答】解：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，MC，NB分别为AB边与AC边上的中线，
求证：CM＝BN，
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，
∴MB＝AB，CN＝AC，
∴MB＝CN，
∵BC＝CB，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴CM＝BN，
故答案为：AC，CM＝BE．
19．【分析】设AB的长为x米，则BC的长为（x﹣2）米，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设AB的长为x米．则BC的长为（x﹣2）米．
∵AC＝14米，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴142+（x﹣2）2＝x2，解得x＝50．
答：滑雪台的长度AB为50米．
20．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得．
【解答】解：（1）如图1，分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，连接得到的△A1B1C1即为所求图形；
（2）如图2，分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，连接得到的△A2B2C2为所求图形；
（3）如图3，
△AA1A2的面积为：．
21．【分析】设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则有CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解之得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84．
22．【分析】（1）根据平角定义求出∠EDC，根据三角形内角和定理求出∠DEC即可；
（2）求出∠BAD＝∠CDE＝30°，AB＝CD，再根据全等三角形的判定定理求出即可；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵ADE＝40°，∠BDA＝120°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣120°＝20°，
∵∠B＝∠C＝40°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣20°＝120°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，
故答案为：20，120，小；
（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，
理由是：∵DC＝3，AB＝AC＝3，
∴AB＝DC＝AC，
∵∠C＝40°，
∴∠ADC＝∠DAC＝（180°﹣∠C）＝70°，
∵∠B＝40°，∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°﹣40°＝30°，∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
即当DC＝3时，△ABD≌△DCE；
（3）当∠BDA的度数为110°时，DA与DE的长度相等，
当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°，
即当∠BDA的度数为110°，DA与DE的长度相等．
23．【分析】（1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
【解答】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；
故答案为（6﹣2t）cm．
（2）当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2厘米，
∵AB＝8厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝4厘米．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6厘米，
∴PC＝6﹣2＝4厘米，
∴PC＝BD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm，
∴点P，点Q运动的时间t＝＝秒，
∴VQ＝＝＝厘米/秒．