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第4章 图形与坐标 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋 江北区期末）在平面直角坐标系中，点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023秋 慈溪市校级期中）平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何联结起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实这种研究方法体现的数学思想是
A．数形结合思想 B．类比思想 C．公理化思想 D．分类讨论思想
3．（2023秋 武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是
A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬
C．电影院中18座 D．北偏西方向
4．（2023秋 义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作，那么表示
A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座”
5．（2024 宁波模拟）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2024春 西湖区校级月考）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
7．（2024 恩施市模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是
A．或 B．
C． D．或
8．（2024 温州模拟）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为
A． B． C． D．
9．（2024春 金华期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，，，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为
A．25 B．30 C．36 D．48
10．（2024秋 宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，，则的坐标为是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 大冶市期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
12．（2024 路桥区校级开学）如图，在等腰△中，，腰长为2，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
13．（2023秋 婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则 ．
14．（2023秋 新昌县校级期中）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋所在点的坐标为，黑棋所在点的坐标为，则黑棋所在点的坐标为 ．
15．（2024春 路桥区期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段平移所得，已知，，，则下列4个结论中，正确的有 （填序号）
①；②；③四边形的面积为10；④点坐标为．
16．（2024春 玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点共有 个．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 临海市校级期中）已知点，试根据下列条件分别求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点的横坐标比纵坐标大2；
（3）点到轴的距离为3．
18．（2024春 温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）．
小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．”
小军说：“玖珑花海的坐标是．”
（1）小华是用 和 描述玖珑花海的位置；
（2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系；
（3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 ，音乐喷泉广场 ．
19．（2023秋 瓯海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，点坐标，点关于轴对称的点为点．
（1）在图中画出，并直接写出点的坐标 ；
（2）的面积为 ；
（3）直接写出中边上的高为 ．
20．（2023秋 慈溪市校级期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 ；
（2）若，两点为“等距点”，求的值．
21．（2024春 临海市期中）已知点，解答下列各题．
（1）若点在轴上，求点的坐标．
（2）点的坐标为，直线轴，求点的坐标．
（3）点到两坐标轴的距离相等，直接写出点的坐标．
22．（2023春 路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶智慧点” 为常数，且．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．
（1）点的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点的“阶智慧点”在第三象限，求的整数解．
（3）若点的“阶智慧点”到轴的距离为1，求的值．
23．（2023秋 建平县校级期中）如图，直线与轴，轴分别相交于点，，是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求：
（1）点的坐标；
（2）的面积．
24．（2022秋 东阳市期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
（1）求点的坐标．
（2）当点移动4秒时，请求出点的坐标．
（3）当点移动到距离轴5个单位长度时，求点移动的时间．
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第4章 图形与坐标 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋 江北区期末）在平面直角坐标系中，点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】的横坐标为负，纵坐标为正，
在第二象限．
故选．
2．（2023秋 慈溪市校级期中）平面直角坐标系是法国数学家笛卡尔将代数与几何联结起来的桥梁，它使得平面图形中的点与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，使得用代数方法研究几何问题成为现实这种研究方法体现的数学思想是
A．数形结合思想 B．类比思想 C．公理化思想 D．分类讨论思想
【答案】
【解析】：数形结合是指把数字和图形结合起来，符合笛卡尔的方法，故符合题意；
：类比是指将两个相似的概念进行对比并寻找其中规律，不符题意；
：公理化思想是把普遍存在的规律归纳为大家认可的公理，不符题意；
：分类讨论是针对不同情况分类别讨论，不符题意．
故选．
3．（2023秋 武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是
A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬
C．电影院中18座 D．北偏西方向
【答案】．
【解析】由题意可得，
离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故不符合题意，
东经，北纬，能确定位置，故符合题意，
电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故不符合题意，
北偏西方向没说明长度及观测点，不固定，故不符合题意，
故选．
4．（2023秋 义乌市期末）如果把电影票上“4排3座”记作，那么表示
A．“5排5座” B．“9排5座” C．“5排9座” D．“9排9座”
【答案】
【解析】由题意知，表示“5排9座”，
故选．
5．（2024 宁波模拟）如图，从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【解析】从点出发，先向西走4步，再向南走3步到达点，点的位置用表示，
表示的位置是先向东走1步，再向北走2步，即为点，
故选．
6．（2024春 西湖区校级月考）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到，
点向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到的对应点的坐标为．
故选．
7．（2024 恩施市模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是
A．或 B．
C． D．或
【答案】
【解析】第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，
，
平行于轴，
设，
，
，
或，
或．
故选．
8．（2024 温州模拟）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点的对应点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点的坐标为，点和点关于轴对称，
点的坐标为，
．
点坐标为，
．
过点作轴的垂线，垂足为，
由旋转可知，
，，
，
．
在△和△中，
，
△△，
，，
，
点的坐标为．
故选．
9．（2024春 金华期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，，，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为
A．25 B．30 C．36 D．48
【答案】
【解析】，，，
，
又，
，即，
，，且、都是整数，
的最小值为10，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
即的最大值为25，
故选．
10．（2024秋 宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知点，点．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记，在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，，则的坐标为是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】长方形的周长为，
设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，
根据题意得，
解得，
当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为，
五次相遇一循环，
，
的坐标为．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 大冶市期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
【答案】．
【解析】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
12．（2024 路桥区校级开学）如图，在等腰△中，，腰长为2，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
【答案】．
【解析】在等腰△中，，腰长为2，
，
点的坐标为，
故答案为：．
13．（2023秋 婺城区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则 ．
【答案】．
【解析】点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，
，
，
．
故答案为：．
14．（2023秋 新昌县校级期中）如图是两人正在玩的一盘五子棋，若白棋所在点的坐标为，黑棋所在点的坐标为，则黑棋所在点的坐标为 ．
【答案】．
【解析】由题意可得，如图所示的平面直角坐标系，
故点的坐标为，
故答案为：．
15．（2024春 路桥区期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段平移所得，已知，，，则下列4个结论中，正确的有 ①②③ （填序号）
①；②；③四边形的面积为10；④点坐标为．
【答案】①②③．
【解析】线段是由线段平移所得，
．
故①正确．
线段是由线段平移所得，
，，
，，
．
故②正确．
，，，且线段是由线段平移所得，
，且点的坐标为，
，
．
故③正确．
，，且点是点平移之后的对应点，
线段是由线段向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
点坐标为，
点的坐标为．
故④错误．
故答案为：①②③．
16．（2024春 玉环市期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点共有 2024 个．
【答案】2024．
【解析】由所给图形可知，
正方形四条边上的整点个数为：；
正方形四条边上的整点个数为：；
正方形四条边上的整点个数为：；
，
所以正方形四条边上的整点个数为个，
当时，
（个，
即正方形四条边上的整点个数为2024个．
故答案为：2024．
三．解答题（共8小题）
17．（2024春 临海市校级期中）已知点，试根据下列条件分别求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点的横坐标比纵坐标大2；
（3）点到轴的距离为3．
【解析】（1）点在轴上，
点纵坐标是0，即，
解得，
故，，
；
（2）点的横坐标比纵坐标大2，
，
解得，
故，，
；
（3）点到轴的距离为横坐标的绝对值，
，
解得或，
当时，，，
；
当时，，，
．
18．（2024春 温岭市期末）周末到了，小华和小军相约去九龙湖游玩．小华和小军对着如图所示的部分景区示意图分别描述玖珑花海的位置（图中小正方形的边长代表300米长，所有景点都在格点上）．
小华说：“玖珑花海在听雨轩古宅的东北方向约420米处．”
小军说：“玖珑花海的坐标是．”
（1）小华是用 方向 和 描述玖珑花海的位置；
（2）小军同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？请在图上做出平面直角坐标系；
（3）在（2）的基础上，请写出以下景点的坐标：生态湿地 ，音乐喷泉广场 ．
【解析】（1）小华是用方向和距离描述玖珑花海的位置；
故答案为：方向，距离；
（2）小军是以听雨轩古宅为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系的，如图所示；
（3）生态湿地，音乐喷泉广场．
故答案为：，．
19．（2023秋 瓯海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，点坐标，点关于轴对称的点为点．
（1）在图中画出，并直接写出点的坐标 ；
（2）的面积为 ；
（3）直接写出中边上的高为 ．
【解析】（1）如图所示：
点的坐标为：．
故答案为：．
（2）；
（3），，
，
．
故中边上的高为．
故答案为：．
20．（2023秋 慈溪市校级期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．
（1）已知点的坐标为，在点，，中，为点的“等距点”的是 、 ；
（2）若，两点为“等距点”，求的值．
【解析】（1）到、轴的距离中最大值为3，
与点是“等距点”的点是、．
故答案为：、；
（2），两点为“等距点”，
①时，则或，．解得（舍去）或．
②若时，则，解得：或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即的值是1或2．
21．（2024春 临海市期中）已知点，解答下列各题．
（1）若点在轴上，求点的坐标．
（2）点的坐标为，直线轴，求点的坐标．
（3）点到两坐标轴的距离相等，直接写出点的坐标．
【解析】（1）因为点在轴上，
所以，
解得，
所以，
所以点的坐标为．
（2）因为轴，且点坐标为，
所以，
解得，
所以，
所以点的坐标为．
（3）因为点到两坐标轴的距离相等，
所以，
解得或7，
当时，
，，
所以点的坐标为．
当时，
，，
所以点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
22．（2023春 路桥区期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶智慧点” 为常数，且．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．
（1）点的“3阶智慧点”的坐标为 ．
（2）若点的“阶智慧点”在第三象限，求的整数解．
（3）若点的“阶智慧点”到轴的距离为1，求的值．
【解析】（1）点的“3阶智慧点”的坐标为，即坐标为．
故答案为：．
（2）点，
点的“阶智慧点”为．
又在第三象限，
，
解得，
取整数，
；
（3）点，
点的“阶智慧点”为．
点的“阶智慧点”到轴的距离为1，
，
或．
解得 或．
23．（2023秋 建平县校级期中）如图，直线与轴，轴分别相交于点，，是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求：
（1）点的坐标；
（2）的面积．
【解析】（1），，
，，
，
，
，
的坐标为：．
（2）设，则，
在中，，
解得：，
，，
．
24．（2022秋 东阳市期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
（1）求点的坐标．
（2）当点移动4秒时，请求出点的坐标．
（3）当点移动到距离轴5个单位长度时，求点移动的时间．
【解析】（1）、满足，
，，
解得，，
点的坐标是；
（2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
点的路程：，
，，
当点移动4秒时，在线段上，，
即当点移动4秒时，此时点的坐标是；
（3）由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点在上时，
点移动的时间是：（秒，
第二种情况，当点在上时．
点移动的时间是：（秒，
故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是4.5秒或7.5秒．
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