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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.6&4.7相似多边形和图形的位似七大题型（一课一练）
1．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
2．如图， ABC和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 ABC和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平面直角坐标系中，已知 ABC顶点，以原点为位似中心，将 ABC缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．如图，是 ABC的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．都不相似
6．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
7．如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把 AOB缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
8．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，且位似比为，则经过点的反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
11．如图， ABC与是位似图形，相似比为，，则的长为 ．
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
13．如图， ABC与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．
14．（1）将一个直角三角形按的比放大，则放大后的斜边长与放大前斜边长的比是
（2）如果把圆按的比放大，那么放大后的面积与放大前面积的比是 ．
15．在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将 ABC放大后得到 BDE．已知点，，则 ABC与 BDE的面积比是 ，点的坐标是 ．
17．如图，将 AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ．
18．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ．
19．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点 ABC（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出 ABC的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
20．如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC的顶点A、B、C点均在格点上，在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中，画出 ABC的边上的中线；
(2)在图②中画出，点、分别在边、上，满足；
(3)在图③中画出，点、分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为．
22．如图，某小区原有一矩形花坛，现对小区进行规划，按要求作出相应的位似图形．
(1)在原地将花坛扩建，使各边的对应边变为原来的倍；
(2)在异地修建一块矩形草坪，使它与花坛的对应边的比为，你能设计出图纸吗
23．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图：
(1)与 ABC关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将 ABC放大，画出放大后的并写出点的坐标；
(3)根据信息回答问题：已知 ABC的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的顶点，点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴于点，点，以和为邻边作．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当点在线段上时，求的值．
(3)当、、不重合时，连结、，当线段、、满足其中两条线段之和等于第三条线段时，求的取值范围．
(4)若点在抛物线对称轴右侧，连结、、，当时，直接写出点的坐标．
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4.6&4.7相似多边形和图形的位似七大题型（一课一练）
1．如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ）
A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键．
根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可．
【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的，
所以这两张图片之间的关系是位似，
故选：D．
2．如图， ABC和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 ABC和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：D．
3．如图，平面直角坐标系中，已知 ABC顶点，以原点为位似中心，将 ABC缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解∵已知 ABC顶点，以原点为位似中心，将 ABC缩小后得到，若
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：D．
4．如图，是 ABC的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案．
【详解】解： 是 ABC的中位线，是的中位线，
，，
，，，
，
相似比为，
，
，
，
故选：B．
5．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．都不相似
【答案】B
【分析】本题考查的了相似多边形的判定，分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．
【详解】解：矩形，，的邻边之比分别为：，，，
∴相似的是，
故选：．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
【答案】D
【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可．
【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把 AOB缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查坐标与位似，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系，是解题的关键．根据位似比等于相似比，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况进行求解即可．
【详解】解：相似比为，
位似比为，
当位似图形在原点的同侧时，点的对应点的坐标为：，即：；
当位似图形在原点的异侧时，点的对应点的坐标为：，即：；
综上：的坐标为或；
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图：
由图可知，点，
∵正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴点或，
故选：C．
9．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，且位似比为，则经过点的反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据位似变换的性质、相似三角形的性质求出，进而求出过点的反比例函数表达式．
【详解】解：∵点A在反比例函数上，
∴，
∵以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，
∴，
∴，
∴过点的反比例函数表达式为：，
故选：C．
10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可.
【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，
此时正方形的面积为：，
故选C.
【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.
11．如图， ABC与是位似图形，相似比为，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵与是位似图形，相似比为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：6．
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
13．如图， ABC与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
14．（1）将一个直角三角形按的比放大，则放大后的斜边长与放大前斜边长的比是
（2）如果把圆按的比放大，那么放大后的面积与放大前面积的比是 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的放大缩小，利用相似图形的性质是解决问题的关键．
（1）根据图形放大或缩小的特征，把三角形按放大，其放大后与原来相似，相似比为，可知三角形放大后的斜边与放大前斜边的比是；
（2）根据图形放大或缩小的特征，把圆按放大，其放大后与原来相似，相似比为，可知放大后的面积与放大前面积的比．
【详解】解：（1）将一个直角三角形按的比放大，
则放大后的直角三角形与原来边的直角三角形相似，相似比为，
∴放大后的斜边长与放大前斜边长的比是；
（2）如果把圆按的比放大，
则放大后的圆与放大前的圆相似，相似比比为，
∴放大后的面积与放大前面积的比是．
故答案为：；．
15．在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是关于原点位似图形的性质，根据位似图形的面积比是相似比的平方解题即可．
【详解】解：与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，
与的相似比为，
点的坐标为，
点的坐标为或，
即或，
故答案为：或．
16．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将 ABC放大后得到 BDE．已知点，，则 ABC与 BDE的面积比是 ，点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．
根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵将放大后得到．点，
∴与的相似比为，
∵，
∴，
∴点的坐标是，
∵与的相似比为，
则与的面积比是，
故答案为：；．
17．如图，将 AOB以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键．
由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案．
【详解】解：∵、，
∴，
∵将以坐标原点O为位似中心扩大到，
∴位似比为：，
∵，
∴点C的坐标为：，
故答案为：．
18．已知正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，则点与点B的最大距离为 ；连接，若的周长为，则的面积为 ．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查了位似，正确作出位似图形，理解位似相似性质是解题的关键，
①根据对角线最长，当位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，根据勾股定理计算即可．
②根据正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，得到正方形得边长为2，得到，设，则，根据，列式计算即可．
【详解】如图，位似中心P与点C重合时，点最远，此时与点B的距离也是最大的，
∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，
∴正方形的边长为2，
∴，
∴，
故答案为：．
∵正方形的边长为4，点P是该正方形边上一点，以P为位似中心，作正方形正方形ABCD，相似比为，
∴正方形的边长为2，
∴，
设，则，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的面积为．
故答案为：．
19．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点 ABC（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出 ABC的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形：
（1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案．
【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，，，
∴，，
，
∴的周长为，
∵与的相似比为，
∴与的周长比为，
∴的周长为．
20．如图，，相交于点P，连接，，，，．
(1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由）
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)，与不是位似图形；
(2)6
【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点，
∴与不是位似图形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， ABC的顶点A、B、C点均在格点上，在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中，画出 ABC的边上的中线；
(2)在图②中画出，点、分别在边、上，满足；
(3)在图③中画出，点、分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取的中点，连接，线段即为所求；
（2）分别取，的中点，，连接，线段即为所求；
（3）取格点，，连接交于点，取点，使得，连接，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求．
；
（2）解：如图②中，线段即为所求．
；
（3）解：如图③中，线段即为所求．
．
22．如图，某小区原有一矩形花坛，现对小区进行规划，按要求作出相应的位似图形．
(1)在原地将花坛扩建，使各边的对应边变为原来的倍；
(2)在异地修建一块矩形草坪，使它与花坛的对应边的比为，你能设计出图纸吗
【答案】(1)画图见解析；
(2)画图见解析．
【分析】（）取矩形的对角线的交点为位似中心，如此利用位似比为，结合位似图形的作法即可作出图形；
（）在矩形外取一点为位似中心，结合草坪与花坛的对应边的比为，以及位似图形的作法即可作出图形；
本题考查了位似图形和位似变换的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）取矩形的对角线的交点为位似中心，
作射线；
分别在射线上取点，使；
连接，得四边形即为所求作的图形，如图所示，
（2）在矩形外取一点为位似中心，
作射线；
分别在射线上取点，使；
连接，得四边形即为所求作的图形，如图所示，
23．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度），请按下列要求画图：
(1)与 ABC关于原点成中心对称，画出并写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将 ABC放大，画出放大后的并写出点的坐标；
(3)根据信息回答问题：已知 ABC的面积为，边上的高为，请直接写出的面积和边上的高的值．
【答案】(1)画图见解析，；
(2)画图见解析，；
(3)的面积为，边上的高．
【分析】（）根据中心对称的性质即可得到，进而求出点的坐标；
（）根据位似图形的性质，即可得到放大后的，进而求出的坐标；
（）根据相似三角形的性质对应高的比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解；
本题考查了旋转变换以及位似变换即性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，找，，关于原点对称的点，
∴即为所求，；
（2）如图，以原点为位似中心，相似比为，把，，放大倍的对应坐标为，，，
∴即为所求，；
（3）∵的面积为，边上的高为，相似比为，
∴，边上的高与边上的高的比为，
∴的面积为，边上的高．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的顶点，点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴于点，点，以和为邻边作．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
(2)当点在线段上时，求的值．
(3)当、、不重合时，连结、，当线段、、满足其中两条线段之和等于第三条线段时，求的取值范围．
(4)若点在抛物线对称轴右侧，连结、、，当时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)当或时，点在线段上，
(3)，
(4)或
【分析】（1）根据顶点坐标直接可得顶点式，进而可得函数解析式；、
（2）根据平行四边形顶点坐标特点由P、Q、M得出N点坐标，再由线段平行轴可知，，求出m，进而确定点的坐标进行判定；
（3）求出直线，，进而判定三点共线，由当、、不重合时，．
（4）当时，根据平行四边形性质可得，，根据坐标与线段比例关系可求m．
【详解】（1）解：∵抛物线（、是常数）的顶点，
∴，
（2）解：如图，
∵在中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∴
∵点在线段，
∴，
解得：，，
当时，点坐标为，点坐标为，点坐标为，此时点M与点P重合；
当时，点坐标为，点坐标为，点坐标为，此时点N与点P重合；
综上所述：当或时，点在线段上，
（3）设直线解析式为，把点坐标为，，代入得：
，解得：，
∴直线解析式为：，
同理可求：，
∴、、三条线段再同一直线上，它们始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
又∵当、、不重合时，即，线段、、始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
（4）∵在中，，，
∴，
如图，点A在延长线上，则，过点作轴，交于K，交于T，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
，
∴
解并检验得： ，
如图，点A在延长线上，则，
同理可得：，即∴
解并检验得： ，
当在对称轴左侧时，，，
在线段上，即在平行四边形内部，故不存在点P，使．
综上所述：或
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数综合应用、矩形的性质、平行四边形的性质等知识，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
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