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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.1比例线段六大题型（一课一练）
一、单选题
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据比例线段的定义得到，即，据此分别验证四个选项中与是否相等即可．
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，
∴，即，
A选项中，，，故A不符合题意；
B选项中，，，故B不符合题意；
C选项中，，，故C不符合题意；
D选项中，，，故D符合题意；
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则
B．一元二次方程的根是
C．用配方法解方程时，原方程应变形为
D．顺次连接矩形各边中点得到菱形
【答案】D
【分析】选项A根据比例线段的定义判断即可；选项B利用因式分解法求解即可；选项C利用配方法判断即可；选项D根据菱形和矩形的性质判断即可．
【详解】解：A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则，故本选项不符合题意；
B．一元二次方程的根是，，故本选项不符合题意；
C．用配方法解方程时，原方程应变形为，故本选项不符合题意；
D．顺次连接矩形各边中点得到菱形，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣配方法，一元二次方程的解，菱形的性质，矩形的性质以及中点四边形，掌握一元二次方程的解法和菱形与矩形的性质是解答本题的关键．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
故选：C．
4．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解．
【详解】解：，
，即，
故选：D．
5．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可．
【详解】解：，
∴比例尺为：；
故选A．
6．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（ ）
A．D B．E C．F D．D 或F
【答案】C
【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点．
【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为，
∵线段，
∴，
∴点F最接近线段的黄金分割点．
故选：C．
7．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴
故选：D．
8．已知成比例的四条线段的长度分别为，，，，且的三边长分别为，，，则 ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定
【答案】C
【分析】本题考查了成比例线段和勾股定理的逆定理，掌握成比例线段定理是解答此题的关键．根据题意求出的值；然后再根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状即可．
【详解】解：四条线段成比例，
解得：；
的三边长分别为，，，，
是直角三角形，
故选：C．
9．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
10．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
11．已知是成比例线段，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义可得，再根据比例的基本性质，求得的值即可，掌握成比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是成比例线段，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．已知，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行恒等变换即可求解．
【详解】∵
∴
∵
∴
故答案为：．
13．已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据黄金分割的定义得出，从而表示出，然后得出，最后利用分母有理化计算即可得解．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点且，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ．
【答案】
【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，
．
因为，
所以，
所以，
所以．
故答案为：
15．如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ．
【答案】21
【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可．
【详解】解：设点B坐标为，
∵矩形的面积为35，
∴，轴，
则点D的坐标为，
∴，，
∵，
∴，解得，且满足所列方程，
故答案为：21．
16．已知，，那么 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．根据题意得到，将其代入中，求出值，进而得到，将，代入中求解，即可解题．
【详解】解：，，
，则，
解得：，
故，
那么．
故答案为：2．
17．小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1
.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程．
【答案】3
【分析】本题考查了线段的比例中项，线段比例的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可知，，则．
【详解】解：当时， ，理由如下：
，，
．
故答案为：3．
18．在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了黄金分割，概率公式，先根据黄金分割的定义可得，，从而利用线段的和差关系可得，进而可得，然后根据小明获胜的概率，进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵点，分别是线段的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
∴，
∴小明获胜的概率，
故答案为：．
19．已知线段a，b满足，且．
(1)求a，b，c的值．
(2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查比例的性质，比例中项，熟练掌握比例的性质，是解题的关键：
（1）设，得到，根据，求出的值，即可；
（2）根据比例中项的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：设，
则：，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段x是线段b，c的比例中项，
∴，且，
∴．
20．已知 ABC三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断 ABC的形状．
【答案】(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判断求解；
本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴ ABC为直角三角形．
21．已知线段，，．
(1)求线段与线段的比和线段与线段的比；
(2)如果线段、、、成比例，求线段的长．
(3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)
(3)是和的比例中项，理由见解析
【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键．
（1）根据；，，即可求得的值，的值；
（2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长；
（3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项．
【详解】（1）解：，，
；
，，
；
（2）解：线段、、、是成比例线段，
，
，
；
（3）解：，，
，
是和的比例中项．
22．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
【答案】成比例，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答．
【详解】解：成比例．理由如下：
， ，
， ，
∴，
∴，
∴线段、、、成比例．
23．阅读下面的一段文字：
设，则有，当时，．
从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．
利用等比性质完成下题：
(1)在和中，，且厘米，求的周长．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)15厘米
(2)
【分析】本题考查了比例的基本性质．
（1）根据题意得到，由，代入计算即可求解；
（2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果．
【详解】（1）解：，且，
，
的周长（厘米）．
故的周长为15厘米．
（2）解：，
，
，
．
24．活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为）
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______；
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______；
④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形．
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长；
步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长；
步骤三：作黄金三角形．
【答案】（1）活动一：①2；②1；③；④；
（2）见解析
【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；
活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可．
【详解】解：活动一：
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则；
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则；
④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则；
活动二：
步骤一：作一条线段，使得的长度为，
步骤二：1．过点H作于点H，
2．在上截取，连接，
3．在上截取，
4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图：
步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图，
则为黄金三角形．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键．
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4.1比例线段六大题型（一课一练）
一、单选题
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．下列说法正确的是（ ）
A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则
B．一元二次方程的根是
C．用配方法解方程时，原方程应变形为
D．顺次连接矩形各边中点得到菱形
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（ ）
A．D B．E C．F D．D 或F
7．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知成比例的四条线段的长度分别为，，，，且的三边长分别为，，，则 ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法判定
9．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是成比例线段，则 ．
12．已知，那么 ．
13．已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为
14．如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ．
15．如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ．
16．已知，，那么 ．
17．小薛同学在学习了浙教版九年级上册“4.1
.3比例线段”课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值 ，感受这种特殊化的学习过程．
18．在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 ．
19．已知线段a，b满足，且．
(1)求a，b，c的值．
(2)若线段x是线段b，c的比例中项，求x．
20．已知 ABC三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断 ABC的形状．
21．已知线段，，．
(1)求线段与线段的比和线段与线段的比；
(2)如果线段、、、成比例，求线段的长．
(3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？
22．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？
23．阅读下面的一段文字：
设，则有，当时，．
从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．
利用等比性质完成下题：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求的周长．
(2)若且，求的值．
24．活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为）
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______；
③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______；
④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形．
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长；
步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长；
步骤三：作黄金三角形．
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