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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.2由平行线截得的比例线段六大题型（一课一练）
1．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
【详解】解：A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【详解】解：，
，
直线，
，
故选：B
3．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ）
A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
故选C
4．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则．
【详解】解：∵．
∴，
∴，
故选：C．
5．如图，已知在 ABC中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．分别利用和，得出，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
故选：A．
6．如图，在 ABC中，点分别是边上的点，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．由得，故，再根据得．
【详解】解：
．
故选：D．
7．如图，在 ABC中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．25：16
【答案】A
【分析】过点C作，交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点E，
则，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选A．
8．如图，在平行四边形中，，，的长为5，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题综合性的考查了平行线分线段成比例性质，准确掌握平行线分线段成比例性质是解题的关键．根据平行线分线段成比例性质求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B
9．如图， ABC中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线分线段成比例，过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．
【详解】过点作交的延长线于点，如图1所示．
∵，是的平分线，
，
．
∵，，
∴，
是中点，
∴
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：C．
10．在 ABC中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（ ）
A．5 B．6 C． D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可．
【详解】解：如图，延长交于G，连接，
，，
平分
到、的距离h相等，
设点A到距离为y
则，，
，
又，
，，
又，
，
，
，
垂直平分线段，得，
同理，
即，
；
故选：B．
11．如图，已知，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，在 ABC中，平分交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点．
过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可．
【详解】如图，过点作交的延长线于点，
则，
平分，
．
故答案为：．
13．如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则 ．
【答案】9
【分析】本体考查反比例函数的比例系数k的几何意义，平行线截线段成比例等知识，过C作轴，垂足为D，先求出的值，从而求出，再根据即可得解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
过C作轴，垂足为D，
则，
∴，
∴，
∴．
14．如图，已知，是 ABC的中线，是的中点，则 ．
【答案】
【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：过点作交于，
则，
是的中线，是的中点，
，，
，
．
故答案为：．
15．如图，，则 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
故答案为：6．
16．如图，在 ABC中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为．
17．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，过点作于点，设，由，可以假设，由点为中点，得到，由翻折的性质可知：，，因为共线，，推出，推出，可得，
解得或（舍去），从而得到，再利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：过点作于点，如图所示，
设，
，
可以假设，
点为中点，
，
由翻折的性质可知：，，
，
，
，
，
，
共线，，
，
，
，
或（舍去），
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可．
【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴，
∴，
设，，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键．
19．如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长．
【详解】解：，
，即，
．
20．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长．
【答案】，7．
【分析】本题考查成比例线段；
先求得，再根据求得；由求得．
【详解】∵，，，
∴，的长分别为；
21．如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)求的值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考査正方形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识点．
(1)由结合可得四边形是矩形，再由即可得证；
(2)由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形；
（2）解：由(1)知四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
．
22．如图， ABC是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点．
(1)求证：．
(2)若，点恰好是的中点，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据题意得，结合等腰三角形的性质和平行线的性质得和，即可判定，则有；
（2）取中点O，连接可得，连接，建立直角坐标系，由已知得四边形为平行四边形，则有和，且点为中点，点G在上，设，，，则可求得直线的解析式为，直线的解析式为，可得点和点，结合点在直线上，求得，则，根据平行线分线段成比例定理和，解得，利用线段和差关系即可求得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，取中点O，连接，
∴
连接，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵点恰好是的中点，
∴点在上，且为中点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴点G在上，
设，，，则点，，，
设直线的解析式为将点G和点C代入得，
同理可求得直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵直线过点G，则
∴直线的解析式为，
∴点，
∵点为中点，
∴，
∵点在直线上，
∴，化简得，
∴，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴，解得，
则．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、待定系数法求解析式以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是建立直角坐标系并找到对应线段成比例．
23．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例；
（1）由平行线可得，即，结合可得四边形是平行四边形，由三线合一可得即可得到四边形是矩形；
（2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明∵，点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
24．已知， 的半径为1，是圆上四点，且满足，且于点（其中点在圆内，且，．
(1)请在图1中直接用尺规作出弦与点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2所示，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，，点为的中点，连结．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，平行线分线段成比例，中位线的性质等知识点；
（1）先作垂直的直径交于，再作垂直直径的直径所在直线，再以为圆心，为半径画弧交于，再过作直线的垂线，与圆的交点组成的线段即为，与交点即为；
（2）先由平行线分线段成比例证明G是中点，即可得到是中位线，，再依据角平分线作垂直，然后依据全等证明，即，即可得到．
【详解】（1）如图1，、点H即为所求；
（2）过点P作于G点，过点P作于点K，于点E，
则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
即G是中点，
∴，
∵平分，，
∴，设，则，
∴，
∴
∴，
∴，
在中，，即
∵点为的中点，
∴是中位线
∴，
∴．
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4.2由平行线截得的比例线段六大题型（一课一练）
1．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ）
A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m
4．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，已知在 ABC中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，点分别是边上的点，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．25：16
8．如图，在平行四边形中，，，的长为5，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
9．如图， ABC中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．在 ABC中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（ ）
A．5 B．6 C． D．7
11．如图，已知，若，，，则的长为 ．
12．如图，在 ABC中，平分交于点．若，，则 ．
13．如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则 ．
14．如图，已知，是 ABC的中线，是的中点，则 ．
15．如图，，则 ．
16．如图，在 ABC中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ．
17．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ．
18．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．
19．如图，已知直线、、分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．如果，求的长．
20．如图，已知点D，E分别在边，上，，交于点O，，，，，．求，的长．
21．如图，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F．
(1)求证：四边形是正方形．
(2)求的值．
22．如图， ABC是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点．
(1)求证：．
(2)若，点恰好是的中点，求的长．
23．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，且．点E为的中点，过点E作的平行线，交于点F．在的延长线上取一点G，使得．连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
24．已知， 的半径为1，是圆上四点，且满足，且于点（其中点在圆内，且，．
(1)请在图1中直接用尺规作出弦与点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2所示，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，，点为的中点，连结．求证：．
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