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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.3&4.4相似三角形及其判定七大题型（一课一练）
1．如图，下列条件不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，D是 ABC的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．如图，已知 ABC与 BDE都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ）
A．0与1之间 B．1 与2之间 C．2与3之间 D．3 与4之间
8．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知 ABC，，，．将 ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，下列条件不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．
12．如图，在 ABC中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
13．如图，已知，则图中相似三角形共有 对．
14．如图， ABC为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ．
15．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ．
17．如图1，在 ABC中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为 ．
18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
19．如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将 ABC分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹)
20．如图，是的直径，是的中点，
(1)判断与 ABC的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
21．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：；
22．如图，已知等腰 ABC和等腰 ADE有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
(1)求证：；
(2)若与相交于点，求证：．
23．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
24．如图1， ABC中，∠B=90°，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.3&4.4相似三角形及其判定七大题型（一课一练）
1．如图，下列条件不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】解：由图得：，
∴当或或时，与相似；
也可．
D选项中不是成比例的两边的夹角．
故选：D．
2．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判断，熟练掌握基本性质是解题关键．
通过勾股定理算出已知图形三条边的长度，然后算出三边之比，再逐一算出选项的三边之比是否和题干图形的比一样，再进行判断即可．
【详解】解：通过勾股定理可得到已经图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为
A、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
B、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，1，，所以三边之比为，与已知图形之比一样，故两个三角形相似，故符合题意；
C、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，3，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
D、通过勾股定理可得到图形的三条边分别为，2，，所以三边之比为，与已知图形之比不一样，故不符合题意；
故选：B ．
3．如图，在 ABC中，D是 ABC的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题的关键．取的中点G，连接，根据三角形中位线性质得，，再证明，得，从而求得，即可求得答案．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
D是的中点，
，，
，
，
，
，
．
故选B．
4．如图，已知 ABC与 BDE都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：与都是等边三角形，
，
又，
，
与相似的三角形是，
故选：D．
5．如图，在 ABC中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、由条件无法判断，故不能判定，该选项符合题意；
故选：．
6．如图，在中，，D是边的中点，于点E，交边于点F，连接，则图中与相似的三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：∵，D是AB边的中点，
∴，
∴．
又∵于点E，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴图中与相似的三角形共有3个．
故选B．
7．如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ）
A．0与1之间 B．1 与2之间 C．2与3之间 D．3 与4之间
【答案】C
【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的作图，可证明，，再证明，得出，由此即可判断答案．
【详解】设直线交 于点E，
，，，
，
由题意可知，为 的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
故选 C．
8．如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，得到，设，则，再根据勾股定理列方程，并求解方程，即得答案．
【详解】，
，
把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，
，，
，
又，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得或0（舍去），
，
故选C．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
9．如图，已知 ABC，，，．将 ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
10．如图，下列条件不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、符合两边及其夹角法，故本选项正确，不符合题意；
B、符合两角法，故本选项正确，不符合题意；
C、符合两角法，故本选项正确，不符合题意；
D、由，得，不符合两边及其夹角法，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
11．如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可．
【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，
，，
∴，，
∴，
同理可得，，
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，在 ABC中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．
根据相似三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：∵，
∴添加条件：可判定．
故答案为：（答案不唯一）．
13．如图，已知，则图中相似三角形共有 对．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平行线的判定和相似三角形的判定．根据已知先判定线段，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：，
．
，
，
，
，
，
同理：，，
，
，，
．
共4对．
故答案为：4．
14．如图， ABC为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ．
【答案】
【分析】首先根据三角形的高的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一性质，得出，接着根据勾股定理求出，再根据面积法求出，进一步得出，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求出答案．
【详解】，，
点F是两边上的高的交点，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15．如图，在中，，，D、E分别为、中点，连接、相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为 ．
【答案】/平方厘米
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连结，利用三角形中位线定理可得，，，即得，所以，即可求出，再由可求得，由此即得答案．
【详解】如图所示，连接，
∵D、E分别为、中点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的几何综合应用，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论点P在不同位置时的情形是解题的关键．设点P的坐标为，先求出点A和点B的坐标，分点P在y轴负半轴上，在线段上和在的延长线上三种情况讨论，分别证明，求出的长，再根据，即可列方程求解答案．
【详解】解：设点P的坐标为，
令，则，
，
，，
令，则，
解得，
，
，
当点P在y轴负半轴上时，
如图，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
；
当点P在线段上时，
如图，同理可证 ，
，
，
，
，
，
，
方程无解，不合题意，舍去；
当点P在的延长线上时，
如图，同理可证 ，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
；
综上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
17．如图1，在 ABC中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示，当恰好平分时的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形与函数图象间的关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，正确理解两种图形间的关联信息是解题的关键．根据函数图象可得，作的平分线，可得，进而得到，由相似求出的长即可．
【详解】如图，当恰好平分时，连接，
由图2可得，
，，
，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
解得（负值舍去），
，
．
故答案为：．
18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知．
【详解】过点A作于点E，于点F，
，
，
轴，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
．
19．如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将 ABC分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，过C作于点D，然后利用相似三角形的判定证明和相似即可．
【详解】解：如图，点D即为所求，
由作图知：，
∴，
又，
∴，
∴．
20．如图，是的直径，是的中点，
(1)判断与 ABC的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）可证明是的中位线，得到，则可证明；
（2）由三角形中位线定理得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵D是的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中位线，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
21．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：；
【答案】见解析
【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明．
【详解】证明：∵，是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．如图，已知等腰 ABC和等腰 ADE有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．
(1)求证：；
(2)若与相交于点，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键．
（1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可；
（2）先证明，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意，，，根据等腰直角三角形的性质知，所以，即可求得答案；
（2）对和两种情况分别列方程求解，即得答案．
【详解】（1）由题意，，，
若为等腰直角三角形，则，
，
解得，
当为何值时，为等腰直角三角形；
（2）分两种情况讨论：
在矩形中，
①若时，，
，
解得；
②若时，，
，
解得；
所以当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似．
24．如图1， ABC中，∠B=90°，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②或
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可；
②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
∴，，，
根据垂线段最短知，
又，
∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，
此时，
∴面积的最大值为；
②∵，，
∴，
同理
∴为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
∴为直角三角形，
此时旋转角；
当和C重合时，如图，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
又
∴为直角三角形，
此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
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