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2024-2025九年级上册数学课堂同步练习【浙教版】
4.5相似三角形的性质九大题型（一课一练）
1．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，和相交于点，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是等边 ABC的边上的一点；下面四个条件不能判定是（ ）
A． B．
C．， D．
4．如图，在中，，点是 ABC的重心，连接，若，则线段长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
5．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为，坡面上的影长为，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从 ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 ABC相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在平行四边形中，，连接，，分别交于点M，N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
10．如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．如图，在 ABC中， ，正方形的顶点D、G分别在、上，在上，则正方形的边长为 ．
12．如图，点C，D在线段上，且，．若，，，则的周长为 ．
13．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为 ．
14．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为 米．
15．已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ．
16．如图，与交于点，且．若，则 ．
17．如图所示，在梯形中，，点、分别在、上，且，如果，，，那么的长为 ．
18．如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是 ．
19．图1、图2、图3是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上；
(2)在图2中，在上找一点，使得；
(3)在图3中，以为对角线画一个面积为4的矩形，点在小正方形的顶点上．
20．如图，在 ABC中，点D、E、F分别在边上，，．
(1)求证： BDE∽；
(2)若，且，求线段的长．
21．在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计）
22．如图，在 ABC中，，是上一点（不与点、）重合，，交于点．设 ABC的面积为，的面积为．
(1)当是中点时，求的值；
(2)设，求与的函数表达式，并求出的最大值．
23．在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．
(1)求出的取值范围；
(2)当时，，两点之间的距离是多少？
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
24．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点A在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
(1)求点A，的坐标；
(2)反比例函数的图象经过点，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，A为顶点的三角形相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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4.5相似三角形的性质九大题型（一课一练）
1．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，得出，，再由进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，，
，
故选：C．
2．如图，已知，和相交于点，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴：：，
∴，
∴．
故选：A．
3．如图，点是等边 ABC的边上的一点；下面四个条件不能判定是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解．
【详解】解：已知是等边三角形，
∴，
A、，
∴，
在中，，
∴，
∴，且，
∴，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
B、，
根据比例的性质可得，，且，
∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
C、，
∴，，，
∴，或者，或者，
∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意；
D、，
两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似，
∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意；
故选：D ．
4．如图，在中，，点是 ABC的重心，连接，若，则线段长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考査三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到，D是中点．
延长交于D，由重心的性质得到，D是中点，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：延长交于D，
点G是的重心，
，D是中点，
，
，
，D是中点，
故选：C．
5．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为，坡面上的影长为，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，勾股定理，延长交延长线于点，则即为的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，延长交延长线于点，作于，则，
在中，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵同一时刻，一根长为且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，
∴同一时刻，一根长为、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，即，
∴，
∵同一时刻，一根长为且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为，
∴，
故选：．
6．如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从 ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 ABC相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知，
，
∴，
∴，
同理可证明，
∴从 ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 ABC相似的有3个，
故选C．
7．如图，在平行四边形中，，连接，，分别交于点M，N，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，同理：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
8．如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解．
【详解】解：设，
在平行四边形中，点为上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的相关性质，由题意得出，，，从而得出，由勾股定理推出， 求出，证明，即可得解．
【详解】解：由题意可得：，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正方形和等边三角形的性质可证，从而，再证明可判断A；证明可判断B；由平行线的性质可证，由补角的性质可求，从而可判断C；由可判断D．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
在和中，
∵
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴与不相似，
∴不成立，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，在 ABC中， ，正方形的顶点D、G分别在、上，在上，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质、勾股定理，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
根据正方形的性质得到，推出，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：过作于，交于点，
设正方形的边长为，，
由正方形得，，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
得，
解得，
正方形的边长是．
故答案为：．
12．如图，点C，D在线段上，且，．若，，，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得到以及熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据等腰三角形的性质可得，可知，可证得，列出比例式即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即：，
∵，则，
∴，
∴的周长为，
故答案为：17．
13．两个相似三角形的一组对应边分别为和，如果较小三角形的周长为，那么较大三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的周长比等于相似比定理的应用是解此题的关键．由两个相似三角形的一组对应边分别为和，可求得相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，较小三角形的周长为，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的一组对应边分别为和，
∴相似比为：，
∴周长比为：，
∵较小三角形的周长为，
∴较大三角形的周长为：．
故答案为：
14．在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为 米．
【答案】60
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
【详解】解：设栋楼的高度是米，
由题意得：，
解得：．
故答案为：60．
15．已知，若与相似比为，与相似比为，则与相似比为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似比，熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比是解题的关键．
【详解】解：∵与相似比为，与相似比为，
∴，，
即，，
∴与相似比为，
故答案为：．
16．如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
17．如图所示，在梯形中，，点、分别在、上，且，如果，，，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．如图，连接，延长交延长线于，根据可证明，利用相似三角形的性质可得，可求出，根据，得出，可证明，利用相似三角形的性质可得，可求出，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】解：如图，连接，延长交延长线于，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
18．如图所示，在中，已知，，点为边上一点，点在边上，且，将沿翻折，使得的对应边经过点，当时，点到点的距离是 ．
【答案】/
【分析】设，则；由等腰三角形的性质及翻折的性质得，，从而得，由相似三角形的性质得到关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，设，则；
∵，，
∴；
∵，
∴；
由翻折的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
∵，
∴，
整理得：，
解得：；
当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，翻折的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
19．图1、图2、图3是三张方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为斜边的等腰直角，点在小正方形的顶点上；
(2)在图2中，在上找一点，使得；
(3)在图3中，以为对角线画一个面积为4的矩形，点在小正方形的顶点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，熟悉网格特点和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）根据网格特点和勾股定理及其逆定理，结合等腰三角形的判定作图即可；
（2）根据网格特点和相似三角形的判定和性质作图即可；
（3）利用网格特点和矩形的性质、勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，点即为所求：
取格点，连接交于点，此时，
∴；
（3）解：如图，矩形即为所求：
∵，，，，
∴，
∴四边形是矩形，且面积为．
20．如图，在 ABC中，点D、E、F分别在边上，，．
(1)求证： BDE∽；
(2)若，且，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，
（1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
在和中,
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计）
【答案】米
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意，可证，设，可得，再证，即可求解．
【详解】解：已知，，，点、、、、在一条直线上，
∴，
根据题意，米，米，米，米，米，
∵位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
解得，，
∴大雁塔的高度米．
22．如图，在 ABC中，，是上一点（不与点、）重合，，交于点．设 ABC的面积为，的面积为．
(1)当是中点时，求的值；
(2)设，求与的函数表达式，并求出的最大值．
【答案】(1)；
(2)，的最大值为．
【分析】（1）先求出和的面积相等，再根据平行线得出，推出把代入求出即可；
（2）求出①②，联立①②即可求出函数关系式，进而即可求得最大值．
【详解】（1）解：为中点，
，，
，
∴
，
的边上的高和的边上的高相等，
，
，
，
；
（2）解：∵，，
①，
，
，，
，
，
的边上的高和的边上的高相等，
②，
得：，
，
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，二次函数的性质，平行线分线段成比例，三角形的面积的计算方法，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23．在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．
(1)求出的取值范围；
(2)当时，，两点之间的距离是多少？
(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)
(3)为或
【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相似有两种情况，考虑要周到．
（1）分别求出点P、Q在各自边上运动的时间范围，即可确定t的范围；
（2）当时，可分别求得的长度，由勾股定理即可求得P，Q两点之间的距离；
（3）分两种情况：；，利用相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）解：由运动知，，．
∵，点P在线段上运动，
∴，
∴．
∵，点Q在线段上运动，
∴，
∴，
∴．
（2）当时，，，
在中，根据勾股定理，得．
（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且，
∴①当时，
∴，
∴，
∴．
②当时，
∴，
∴，
∴．
综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．
24．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点A在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，过点作轴于点，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
(1)求点A，的坐标；
(2)反比例函数的图象经过点，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，A为顶点的三角形相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点，点；
(2)；
(3)存在5个满足条件的点，坐标为或或或或．
【分析】（1）根据完全平方公式化简，用直接开平方法求出方程 的两根，从而得出，进而得出A、C两点的坐标；
（2）过点B作，垂足为E， 根据等角对等边得到， 设，在中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出、的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的k值；
（3）存在．当点P在上，若，根据相似三角形对应边成比例得出，列出方程，求解即可得出P点的坐标；当点P在上方，若， 根据相似三角形对应边成比例得出，则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；若，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；当点P在y轴负半轴，，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
（2）如图1，过点作于点．
∵中，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，
∵
∴，
解得或8，
∵，
∴舍去，
∴，
∴ ，
∴点坐标为，
把代入，
可得，
解得；
（3）5个满足条件的点．
①当点在上，如图2，，
∴，
∴，
解得或，
故或；
②当点在的延长线上，若，如图3，
∴，
∴，
解得，故；
若，如图4，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
故；
③当点P在y轴负半轴，如图5，
，
∴，
∴，
解得： 或 (不合题意舍去)，
∴P点坐标为
综上所述，点的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一元二次方程，等腰直角三角形，勾股定理，反比例函数，相似三角形等，解决问题的关键是作辅助线，熟练掌握坐标与图形的对应关系，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定，勾股定理解直角三角形，待定系数法求反比例函数系数，相似三角形的性质，分类讨论．
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