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4.6&4.7相似多边形和图形的位似七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：相似多边形的性质
【经典例题1】如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．
【答案】
【分析】此题主要考查相似多边形相似比的性质，首先根据相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解．
【详解】解：∵四边形与四边形相似，
∴，
又∵，，
∴
又∵，
∴，
∴
．
【变式训练1-1】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析
【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可．
【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似，
由题意或，
解得：或．
当时，，
∵，
又∵与都是矩形，
∴矩形与矩形相似．
同理可证当时矩形与矩形相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．
【变式训练1-2】如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？
【答案】四边形四边形，见解析
【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案．
【详解】解：四边形四边形，理由如下：
证明：、是、的中点，
，，
，
同理，
，
，
，，
同理，
，，
四边形四边形．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键．
【变式训练1-3】如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【答案】(1)不相似；证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【详解】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
【变式训练1-4】正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
【答案】16
【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵四边形为中正方形，
∴，，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴，
四边形是矩形，，
，
，
矩形是正方形，
四边形是正方形，
正方形正方形，
∵AE：EC=2：1，
∴AE：AC=2：3，
，
，
∴正方形AFEG的面积为16．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键．
【变式训练1-5】如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【答案】
【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴或，代入数据，
∴或，
解得：，(舍去)，或不存在，
∴BE的长为，
故答案为．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
【变式训练1-6】如图所示，四边形四边形，，，求和的长．
【答案】，
【分析】此题考查了相似四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用．由四边形四边形，根据相似四边形的对应角相等，即可求得，又由四边形的内角和等于，即可求得；根据相似四边形的对应边成比例，即可求得的长．
【详解】解：∵四边形四边形，，，
∴，
∴，
∵四边形四边形，，
∴ ，即，
∴．
题型二：位似图形的识别
【经典例题2】1．已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意；
B、与是位似关系，故此选项不合题意；
C、与是位似关系，故此选项不合题意；
D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式训练2-1】如图，在正方形网格中， ABC的位似图形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断．
【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，，
的三边长分别为2，4，，
与的三边对应成比例，
∴与相似，
∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴与是位似图形，
故选∶D．
【变式训练2-2】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.
根据位似的定义判断即可得出答案．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，即与不成位似图形，
故选；C．
【变式训练2-3】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，根据位似的定义判断即可得出答案．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中、不平行，即与不成位似图形，
故选；C．
【变式训练2-4】下图所示的四种画法中，能使得 ABC与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可．
【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形；
图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形；
图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形；
图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形，
故选：A．
【变式训练2-5】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可．
【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形，
故选：C．
题型三：判定位似中心
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度．
【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心，
矩形与矩形是位似图形，，，
，，，，，
，
，
，
即，
，
故位似中心的坐标为．
故选：A．
【变式训练3-1】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，
各对应点的连线交于点，，
位似中心是点，
∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴与位似比是．
故选：D．
【变式训练3-2】如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标．
【答案】或
【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标．
【详解】解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上，
由题意可得，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
故直线的解析式为：，
当时，，
即位似中心是：；
②若点C和E是对应点，点D和F是对应点，
由题意可得
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
故直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
故直线的解析式为：，
则，
解得：，
即位似中心是：，
综上所述：所述位似中心为：或．
【变式训练3-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由．
【答案】是位似图形，位似中心是点O，相似比为2
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质以及位似的相关知识，根据矩形的性质可得对应线段的平行和比值，继而判定四边形是矩形，结合对应得比值即可得到位似比，结合对应点和交点即可确定位似中心．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，，，，，，，，
∴，，
∴．
又∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，，
∴四边形是矩形．
又∵，
∴矩形与矩形相似，且相似比为2．
又∵两个图形的对应点所在直线都经过点O，
∴它们是位似图形，位似中心是点O，相似比为2．
【变式训练3-4】如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置；
(2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．
【答案】(1)，图见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣位似变换，
（1）根据位似变换的性质判断，对应点连线的交点即为位似中心；
（2）根据要求画出位似图形即可．
【详解】（1）解：与的位似比是，如图位似中心即为所求．
故答案为：；
（2）如图，即为所求．
【变式训练3-5】如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)作 ABC关于y轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标．点的坐标为（______，______）；点的坐标为（______，______）．
(2)的顶点坐标分别为，，，若 ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（______，______）
【答案】(1)；0；；2
(2)0；
【分析】本题考查作图轴对称变换、位似变换；
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接，，，相交于点，则点即为位似中心，即可得出答案．
【详解】（1）如图，即为所求．
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；0；；2．
（2）如图，作射线，，，相交于点，
则点为与的位似中心，
点的坐标为．
故答案为：0；．
题型四：画已知图形放大（缩小）后的图形
【经典例题4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)是，
【分析】本题主要考查平移和位似的概念和性质，熟练掌握平移和位似的概念与性质是解题的关键．
（1）根据题目要求作图即可；
（2）根据题目要求作图即可；
（3）根据位似的概念即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心，
【变式训练4-1】如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
【变式训练4-2】如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．
(1)以原点O为位似中心，将 ABC缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
(2)把 ABC向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了位似变换与平移的变换．注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键．
（1）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形；
（2）直接利用平移的性质，可分别求得各点的坐标，继而画出图形，再作出高．
【详解】（1）符合条件有两个，如图所示．
（2）及高如图所示；
【变式训练4-3】已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，．
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
(2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键．
（1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可；
（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：由图可得：，
点在线段上，点D对应点的坐标为．
【变式训练4-4】如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形， ABC与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心，并直接写出 ABC与的相似比；
(2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出．
【答案】(1)2：1，图见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作位似图形，作旋转图形，
（1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；由，即可得出与的位似比为；
（2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）图中点为所求；与的位似比等于；
（2）如图所示：为所求．
【变式训练4-5】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接和的中点并延长交于点，即可得到答案；
（2）根据位似图形的性质得到，，取中点和上一点，连接并确定其中点，取上一点，连接并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例得到点为的中点，则即为所求作；
（3）首先确定点关于的对称点：取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点关于对称；过点作的垂线，确定点：取格点，使得为等腰三角形，连接确定点，连接并延长确定点，连接并延长，交于点，交于点，连接，即可获得答案．
【详解】（1）解：如图，线段、线段即为所求作；
理由：由平移性质得四边形是平行四边形，
∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O为对称中心，
∴连接并延长与的交点G即为点P的对应点，故线段即为绕的中点O顺时针旋转所得的对应线段；
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，点M、N即为所求作．
【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．
题型五：求位似图形对应的坐标
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算．
【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时，
∵，相似比为2，
∴；
当位似图形与在y轴两侧时，
∵，相似比为2，
∴；
故选：D．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题的关键．直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标．
【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．
故选：D．
【变式训练5-2】如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了位似变换、等腰直角三角形的判定和性质、图形和坐标等知识．过点C作轴于点D，则，得到点C的坐标为，根据以点为位似中心，按照的比例缩小，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点C作轴于点D，
在中，，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵以点为位似中心，按照的比例缩小，
∴点的坐标为，
故选：A
【变式训练5-3】如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查以点为位似中心图形坐标关系，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，于是把都乘以k或-即可得到点E的对应点坐标；
【详解】解：∵以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，，
∴点的对应点的坐标为：，，
故答案为：或．
【变式训练5-4】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解．
【详解】解：按比例尺把缩小，，
点的对应点的坐标是或，即或，
故答案：或．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和 ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似定义及性质，等腰三角形性质等．根据题意得，再根据等腰直角三角形性质得到点的坐标，再根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵点，，
∴，
∵等腰直角和，
∴点的坐标为，
∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，即，
故答案为：．
题型六：求位似图形的相似比、周长比、面积比
【经典例题6】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出 ABC沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标___________； ABC与的周长比是___________， ABC与的面积比是___________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)，，
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）根据位似的性质，画出即可；
（3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知，，
∵翻折，
∴，
∵与的相似比为
∴与的相似比为，
∴与的周长比是，与的面积比是；
故答案为：，，．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中， ABC与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键．利用位似图形的性质，结合对应点的坐标得出位似比，即可得出答案．
【详解】解：∵与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，
∴与的相似比为．
故答案为：．
【变式训练6-2】如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的周长比等于相似比解题即可．
【详解】解：∵四边形与四边形的位似比为，
∴四边形与四边形的周长比为．
故答案为：．
【变式训练6-3】在平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则 ABC与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得，，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
与位似，
，
；
故选：C．
【变式训练6-4】如图， ABC和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则 ABC和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解．
【详解】解：，
，
和的相似比为，
和的面积之比为，
故选C．
【变式训练6-5】在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
∴
∴
点在反比例函数上，点在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故选：．
题型七：在坐标系中画位似中心
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将 AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)判断 AOB与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是，Q点的坐标为
【分析】（1）根据平移规律，画图即可．
（2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可．
（3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可．
本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、．
将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：
则即为所求．
（2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：
则即为所求．
（3）解：∵、、，、、．
∴直线为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得
故Q点的坐标为．
故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为．
【变式训练7-1】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心；
（2）延长、，并使、，连接即可．
【详解】（1）解：如图1，点为所作；
（2）解：如图2，为所作．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．
连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．
【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点，
点即为位似中心，．
故答案为：．
【变式训练7-3】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， ABC与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出 ABC与的位似比．
【答案】(1)图见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查位似，相似三角形的性质，熟练掌握位似变换是解题的关键．
（1）对应点连线所在的直线的交点即为位似中心；
（2）求出，，即可得到位似比．
【详解】（1）解：作图如示．注：画出任二条线并标出点O
（2）解：由题意得：，，
与的位似比．
【变式训练7-4】已知， ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 ABC是以点 P 为位似中心的位似图形．
(1)请写出点P的坐标是 ．
(2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 ABC的位似图形，使相似比为；
(3)若点为 ABC内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查位似变换，（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解；
（2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可；
（3）利用位似图形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接、、，并延长相交于点P，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为，
故答案为：．
【变式训练7-5】已知， ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与 ABC是以点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标__________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1．
【答案】(1)
(2)作图见解析
【分析】本题考查位似作图，涉及图形与坐标、找位似中心、作位似图形等知识，熟记位似性质是解决问题的关键．
（1）连接对应点并延长，交点就是，在平面直角坐标系中直接写出坐标即可得到答案；
（2）连接点与的三个顶点并延长，使，连接三个顶点即可得到．
【详解】（1）解：如图所示：
点的坐标；
（2）解：如图所示：
即为所求．
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4.6&4.7相似多边形和图形的位似七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：相似多边形的性质
【经典例题1】如图，梯形中，，E是上的一点，，并且将梯形分成的两个梯形相似，若，求．
【变式训练1-1】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
【变式训练1-2】如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？
【变式训练1-3】如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【变式训练1-4】正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．
【变式训练1-5】如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【变式训练1-6】如图所示，四边形四边形，，，求和的长．
题型二：位似图形的识别
【经典例题2】1．已知：，下列图形中， ABC与不存在位似关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】如图，在正方形网格中， ABC的位似图形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【变式训练2-2】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-3】下面四个图中， ABC均与相似，且对应点交于一点；则 ABC与成位似图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-4】下图所示的四种画法中，能使得 ABC与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【变式训练2-5】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（ ）
A．B． C． D．
题型三：判定位似中心
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【变式训练3-2】如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标．
【变式训练3-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由．
【变式训练3-4】如图，在边长都是的小正方形组成的网格中，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点处．
(1)与的位似比是 ，请在图中标出位似中心的位置；
(2)请以点为位似中心，并在点右侧的网格中画一个，使它与的相似比为．
【变式训练3-5】如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．
(1)作 ABC关于y轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标．点的坐标为（______，______）；点的坐标为（______，______）．
(2)的顶点坐标分别为，，，若 ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（______，______）
题型四：画已知图形放大（缩小）后的图形
【经典例题4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
(3)判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
【变式训练4-1】如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
【变式训练4-2】如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．
(1)以原点O为位似中心，将 ABC缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
(2)把 ABC向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高．
【变式训练4-3】已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，．
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形；
(2)直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ．
【变式训练4-4】如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形， ABC与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心，并直接写出 ABC与的相似比；
(2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出．
【变式训练4-5】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
(2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出；
(3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
题型五：求位似图形对应的坐标
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】如图，已知点，，以点为位似中心画三角形，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标为 ．
【变式训练5-4】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和 ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．
题型六：求位似图形的相似比、周长比、面积比
【经典例题6】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出 ABC沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为；
(3)点的坐标___________； ABC与的周长比是___________， ABC与的面积比是___________．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中， ABC与关于原点位似，点及其对应点的坐标分别为，，则 ABC与的相似比为 ．
【变式训练6-2】如图，四边形与四边形关于点成位似图形．若四边形与四边形的位似比为，则四边形与四边形的周长比为 ．
【变式训练6-3】在平面直角坐标系中， ABC与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则 ABC与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】如图， ABC和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则 ABC和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
B． C． D．
题型七：在坐标系中画位似中心
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中， AOB的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将 AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
(2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)判断 AOB与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标．
【变式训练7-1】在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为；
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ．
【变式训练7-3】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， ABC与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出 ABC与的位似比．
【变式训练7-4】已知， ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 ABC是以点 P 为位似中心的位似图形．
(1)请写出点P的坐标是 ．
(2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 ABC的位似图形，使相似比为；
(3)若点为 ABC内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ．
【变式训练7-5】已知， ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与 ABC是以点为位似中心的位似图形．
(1)写出点的坐标__________；
(2)以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1．
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