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4.1比例线段六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：成比例线段
【经典例题1】已知，则下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可．
【详解】解：，
设，，
． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】已知，，，，下列各式中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，最小项与最大项的积等于其余两项的积，根据题意要求，将个数化为一个等积式，再化为比例式即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练1-2】如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．
由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式训练1-3】在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为 千米．
【答案】6
【分析】本题主要考查比例的性质，解题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，注意单位的转换．根据题意知，比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例，由此列式解答即可．
【详解】解：设甲乙两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，，
解得，
600000厘米千米．
即甲乙两地的实际距离为6千米．
故答案为：6．
【变式训练1-4】已知实数x和1，2，4构成比例，则实数x的值为 ．
【答案】或2或8
【分析】本题主要考查了成比例的数．根据成比例的数的性质，即可求解．
【详解】解：∵实数x和1，2，4构成比例，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述，实数x的值为或2或8，
故答案为：或2或8
【变式训练1-5】已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 厘米．
【答案】
【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
根据线段比例中项的概念，即可求解．
【详解】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为：．
题型二：比例的性质
【经典例题2】若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．掌握比例的系数是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴
故选：D．
【变式训练2-1】已知，且，则的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
∴
，
故选：．
【变式训练2-2】已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质得到，进而求解即可．
【详解】解：由分比性质，得
，即．
故答案为：．
【变式训练2-3】已知，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了等比性质的应用，若，则，熟练掌握等比性质是解题的关键．
设，根据，可用表示出，代入要求的式子，即可得出答案．
【详解】解：设，
故答案为：．
【变式训练2-4】已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，
，，
A、，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-5】已知，且．
(1)的值为______；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键．
（1）根据等比性质求解即可；
（2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，且，
∴，，，
∵，
则，
∴的值为8．
题型三：利用设“k”法求参数的值
【经典例题3】已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
(1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
(2)若，，求a，b，c的长．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可：
（1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长；
（2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值
【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
【变式训练3-1】已知：．
(1)求代数式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
（1）设，代入化简即可；
（2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值．
【详解】（1）∵，
∴设，代入，得
；
（2）∵，
∴设，代入，得
，
解得，
∴．
【变式训练3-2】已知线段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
【答案】(1)
(2)，，．
【分析】本题主要考查了比例的性质．
（1）设，得到，，，代入计算即可；
（2）根据题意构建方程求出的值，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：设，
则，，，
；
（2）解：，
，
，
，，．
【变式训练3-3】已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值．
【答案】(1)6，4，12
(2)8
【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程，
（1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值；
（2）根据题意得，代入求得d即可．
【详解】（1）解：，
设，，，
又，
，
即，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
，
，
；
（2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
，
，
即，
【变式训练3-4】（1）若，且，求的值；
（2）若，则______．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查比例的性质，
（1）设，然后用含的代数式表示出、、，再代入求出的值，即可得解；
（2）由，得，，再代入，即可得解；
解题的关键是掌握比例的性质：比例的内项之积与外项之积相等．
【详解】解：（1）设，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∴的值为；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了比例的基本性质．
（1）根据比例的基本性质可设，，，进而求得、、的值，即可求解；
（2）把（1）中求得的a、b、c的值代入求值即可．
【详解】（1）解：
设，，，
，
，，，
；
（2）解：∵，，，
∴．
题型四：线段成比例中三角形问题
【经典例题4】已知a、b、c是 ABC的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据已知条件，得出，，进而得到，再利用勾股定理逆定理，即可判断的形状．
【详解】解：直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了比例的性质，勾股定理得逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
【变式训练4-1】已知a、b、c是 ABC的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若 ABC的周长为90，求的面积．
【答案】(1)2
(2) ABC的面积为270．
【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；
（2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：设，则，，，
∴；
（2）解：∵的周长为90，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，
∴，即是直角三角形
∴的面积为．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键．
【变式训练4-2】a，b，c为 ABC的三边长，且，，求 ABC的面积．
【答案】150
【分析】根据等式的性质设，，可用k表示a，b，c，根据解方程，可得答案．
【详解】设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，点、分别为、上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中位线，比例的性质．熟练掌握中位线，比例的性质是解题的关键．
由题意知，，，，则，即．
【详解】解：∵点、分别为、上的中点，
∴，，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-4】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据题目给出的条件推出三角形三边的比，再确定三角形的形状．
【详解】∵（a-c）：（a+b）=-2：7，
∴9a+2b-7c=0 ①，
∵（a-c）：（c-b）=-2：1，
∴a-2b+c=0 ②，
∵（a+b）：（c-b）=7：1，
∴a+8b-7c=0 ③，
∵①+②得a：c=3：5，①-③得a：b=3：4，
∴a：b：c=3：4：5，
∴△ABC是直角三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了比例的基本性质以及勾股定理的逆定理，根据比例的基本性质进行变形找出三角形三边的比是解题的关键.
【变式训练4-5】已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为 ．
【答案】16
【分析】设=k，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论．
【详解】解：设=k
∴a=2k，b=3k，c=4k
由题意可知：a＋b＋c=36
∴2k＋3k＋4k=36
解得：k=4
∴该三角形的最大边长为4×4=16
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键．
【变式训练4-6】 ABC的三边长分别是，，，且，则 ABC是 三角形．
【答案】直角
【分析】根据比例的性质变形，用含c的代数式表示出a、b，然后根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，①，
，②，
，③，
①②，解得，④，
②③，解得，
∵，
且，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了比例的性质，勾股定理逆定理，用含c的代数式表示出a、b是解答本题的关键．
题型五：阅读理解题型
【经典例题5】阅读下面的一段文字：
设，则有，当时，．
从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．
利用等比性质完成下题：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周长．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)15厘米
(2)
【分析】本题考查了比例的基本性质．
（1）根据题意得到，由，代入计算即可求解；
（2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果．
【详解】（1）解：，且，
，
ABC的周长（厘米）．
故 ABC的周长为15厘米．
（2）解：，
，
，
．
【变式训练5-1】若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例．
(1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明．
(2)阅读下列推理过程，解决相应问题：
均不为0，
对于式子．①
两边同乘以，得．②
在式子的两边都除以，得．③
问题1：从①式变形到②式的依据是：______．
问题2：若，则______，______．
【答案】(1)相等，说明见解析
(2)等式的基本性质；3，3
【分析】（1）仿照题干举例即可；
（2）根据材料中的变形可得依据，根据结果进行计算．
【详解】（1）解：分式与分式相等，
如：，，，，
则，且；
（2）问题1：
从①式变形到②式的依据是：等式的基本性质；
问题2：
若，
则；
．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是读懂材料，掌握基本知识并熟练运用．
【变式训练5-2】阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k 0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：（x+y+z≠0），求的值．
【答案】．
【分析】设，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可．
【详解】解：设，
则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
解得，k=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
解得，x=y=z，
则．
【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【变式训练5-3】已知 ABC三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断 ABC的形状．
【答案】(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判断求解；
本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形．
【变式训练5-4】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果，则______；
②已知，求的值．
【答案】(1)比例，比例
(2)①2，②
【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键：
（1）根据比例的基本性质解答；
（2）①根据比例的性质得到，代入计算即可；
②设，则，代入化简可得答案
【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质
（2）①∵，
∴，
∴
故答案为2；
②设，则，
∴
【变式训练5-5】我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题：
(1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段．
(2)已知，那么成立吗？请说明理由．
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)如果，那么成立，详见解析
(3)或
【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可．
（2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可．
（3）分和两种情况求解．
【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段．
故答案为：．
（2）解法1： 如果，那么成立．理由：
，
，
∴，
．
解法2： 如果，那么成立．理由：
，
，
即，
．
（3）①当时，
，，，
为其中任何一个比值，即；
②时，
．
所以或．
【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键．
【变式训练5-6】阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析
【分析】（1）根据计算即可；
（2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可；
【详解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．
题型六：黄金分割
【经典例题6】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设，
依题意，，
∴
∴
即
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【变式训练6-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练6-2】黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
【答案】(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；
本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米，
∴矩形画框的宽为厘米；
（2）解：矩形画框的面积为（平方厘米），
∴矩形画框的材料成本为元，
答：生产一个该画框所需要的材料成本为元．
【变式训练6-3】如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键．
【详解】解：设线段，的长为，则，
即，整理得，
解得，（不合题意舍去），
∴黄金分割数为：．
【变式训练6-4】巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【变式训练6-5】黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为，则海报的长应设计为多少？
【答案】
【分析】设海报的长应设计为，由题意得，，计算求解满足要求的解即可．
【详解】解：设海报的长应设计为，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴海报的长应设计为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次根式的除法运算，黄金分割．解题的关键在于正确的运算．
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4.1比例线段六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：成比例线段
【经典例题1】已知，则下列等式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】已知，，，，下列各式中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】在一幅比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为10厘米，那么两地的实际距离为 千米．
【变式训练1-4】已知实数x和1，2，4构成比例，则实数x的值为 ．
【变式训练1-5】已知线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 厘米．
题型二：比例的性质
【经典例题2】若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】已知，且，则的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
【变式训练2-2】已知，则 ．
【变式训练2-3】已知，则 ．
【变式训练2-4】已知，那么下列等式中一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】已知，且．
(1)的值为______；
(2)若，求的值．
题型三：利用设“k”法求参数的值
【经典例题3】已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
(1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
(2)若，，求a，b，c的长．
【变式训练3-1】已知：．
(1)求代数式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
【变式训练3-2】已知线段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
【变式训练3-3】已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值．
【变式训练3-4】（1）若，且，求的值；
（2）若，则______．
【变式训练3-5】已知，求：
(1)；
(2)．
题型四：线段成比例中三角形问题
【经典例题4】已知a、b、c是 ABC的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由．
【变式训练4-1】已知a、b、c是 ABC的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若 ABC的周长为90，求的面积．
【变式训练4-2】a，b，c为 ABC的三边长，且，，求 ABC的面积．
【变式训练4-3】如图，在 ABC中，点、分别为、上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练4-5】已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为 ．
【变式训练4-6】 ABC的三边长分别是，，，且，则 ABC是 三角形．
题型五：阅读理解题型
【经典例题5】阅读下面的一段文字：
设，则有，当时，．
从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质．
利用等比性质完成下题：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周长．
(2)若且，求的值．
【变式训练5-1】若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例．
(1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明．
(2)阅读下列推理过程，解决相应问题：
均不为0，
对于式子．①
两边同乘以，得．②
在式子的两边都除以，得．③
问题1：从①式变形到②式的依据是：______．
问题2：若，则______，______．
【变式训练5-2】阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k 0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：（x+y+z≠0），求的值．
【变式训练5-3】已知 ABC三边满足，且．
(1)求的值；
(2)判断 ABC的形状．
【变式训练5-4】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果，则______；
②已知，求的值．
【变式训练5-5】我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题：
(1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段．
(2)已知，那么成立吗？请说明理由．
(3)如果，求的值．
【变式训练5-6】阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
题型六：黄金分割
【经典例题6】两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ．
【变式训练6-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【变式训练6-2】黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
【变式训练6-3】如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）．
【变式训练6-4】巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
【变式训练6-5】黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为，则海报的长应设计为多少？
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