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4.3&4.4相似三角形及其判定七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断两个三角形是否相似
【经典例题1】如图，是 ABC的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． ABC和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．
【详解】解：∵，
∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确；
当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与 ABC不相似，故③不正确．
因此有3个正确．
故选：C．
【变式训练1-1】在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
【详解】解：A、，
，
，
，
又∵，
，故该选项不符合题意；
B、，，，，
，
，
，故该选项不符合题意；
C、，，，，
，
不能判定这两个三角形相似，故该选项符合题意；
D、，，，，
，
，
，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-2】如图，在 ABC中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．
【详解】解：由题意得，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，不能推断，故本选项符合题意；
D、当时，，则，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
【答案】C
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．
【详解】A、∵，，只有一角一边，
∴不能判断两个三角形相似，
故A不符合题意；
B、∵，，不是与的夹角，
∴不能判断两个三角形相似，
故B不符合题意；
C、由，可得，
再由，得，
∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，
∴可判断，
故C符合题意；
D、由，，
得，
由，，
得，
∵只有，
∴不能得，
故D不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-4】根据下列条件，能判定 ABC和相似的个数是（ ）
（1），，，；
（2），，，，，；
（3），，，，，；
（4），，，，，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据两三角形相似的判定定理，对各选项依次判断即可．
【详解】解：（1） ABC和中，，，，，
∴，
∴ ABC和不相似；
（2）和中，
∵，，但与不一定相等，
∴ ABC和不相似；
（3）∵，，，
∴，
∴ ABC和不相似；
（4）∵，，，
∴，
∴ ABC和相似；
综上，只有（4）相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式训练1-5】根据下列各组条件，不能判断 ABC和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，则，故选项A不符合要求；
∵，，，，
∴，，则，故选项B不符合要求；
∵，，；，，，
∴，不能判断 ABC和相似，故选项C符合要求；
∵，，；，，，
∴，，则，故选项D不符合要求；
故选：C．
题型二：添加一个条件让两个三角形相似
【经典例题2】如图，点P在 ABC的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式训练2-1】如图，与相交于点 O，要使 AOB与相似，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：（对顶角相等），
A、当时，则 AOB与相似，符合题意；
B、当时，无法证明与相似，不符合题意；
C、当时，无法证明与相似，不符合题意；
D、，无法证明与相似，不符合题意；
故选：A．
【变式训练2-2】如图，点P在 ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式训练2-3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵
∴
∴
A、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
B、当时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
C、当时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证，故不符合题意；
D、当时，无法证明两个三角形相似，故符合题意；
故选：D ．
【变式训练2-4】如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形判定，根据题意得到，再结合相似三角形判定定理逐项判断，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
故A项使结论成立，符合题意；
，
，
故B项使结论成立，符合题意；
，
得不到，
故C项使结论不能成立，不符合题意；
，
，
故D项使结论成立，符合题意；
故选：C．
【变式训练2-5】如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，，
∴，故B选项不符合题意；
C选项无法判定和相似，不符合题意；
∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
题型三：相似三角形的证明
【经典例题3】如图，将 ABC绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键．
由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明
【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到，
由旋转性质，得，，，
，
，
，
即，
∽
【变式训练3-1】如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证： ABE∽ CBD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，，，
∴，，即，
∴．
【变式训练3-2】如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
【答案】(1)见解析
(2)添加，证明见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）证明有两对角相等即可判断；
（2）假设，可以推出即可．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：添加，
如果，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故添加：，能证明．
【变式训练3-3】已知：在 ABC和中， ．求证：．
【答案】见解析
【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键．
【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，
∵，∴，
∴，
又，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【变式训练3-4】如图，在 ABC中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证，结合，则结论得证；
（2）证明即可；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【变式训练3-5】如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）．
【答案】，
【分析】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理，找出是解题的关键．
利用等边三角形的性质，可得出，，结合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可证出，同理可得出，进而可得出，利用全等三角形的性质，可得出，进而可得出是等边三角形，结合等边三角形的性质，可得出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
题型四：判断与已知三角形相似的个数
【经典例题4】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵E、F分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，锐角 ABC的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟记三角形的判定方法是解本题的关键，本题结合三角形的高的含义，分别证明，，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵、是高，
∴，
又∵，
∴，
又∵、是高，
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴和相似的三角形有3个．
故选C．
【变式训练4-2】如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与 ABC相似（不含 ABC）的三角形个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论．
【详解】解：∵、分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【变式训练4-3】如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，且，根据相似三角形的判定进行判断，即可求解．
【详解】解：根据图形可得，，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
综上所述，与相似的三角形的个数是3个，
故选：B．
【变式训练4-4】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 ABC是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案．
【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，
则，且，
∴，，
∴．
同理可证：，．
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
综上，满足条件的三角形有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键．
【变式训练4-5】下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为，
第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；
第2个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；
第3个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；
第4个图形中，三边长分别为，，，
∵，
则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
【变式训练4-6】如图，在 ABC中，、是高，且、交于点，则图中与相似（不包括其本身）的三角形个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用高线的定义得到∠BEC＝∠BDC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD＝∠ACE，加上∠A＝∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD．
【详解】解：∵高BD、CE相交于点F，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD＝∠FBE，∠BEF＝∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，同理可得△FCD∽△ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.
题型五：裁剪使两个三角形相似
【经典例题5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可．
【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：A、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、与不一定相等，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
C、，且，能判定两个三角形相似，故本选项不符合题意；
D、满足有两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：B
【变式训练5-2】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式训练5-3】如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，，，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不能相似的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；
C、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意；
D、，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意．
阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【变式训练5-5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐项判定即可．
【详解】解：A、剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、剪开得到三角形与原三角形的两组对应边成比例且夹角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、由同位角相等、两直线平行可得平行线，故可判定两三角形相似，故本选项不符合题意．
D、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式训练5-6】如图， ABC中，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
题型六：尺规作图使两个三角形相似
【经典例题6】如图，在 ABC中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
理由：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练6-1】在 ABC中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将 ABC分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图， 于D，根据垂线的定义得到 再证明即可证明．
【详解】解：如图所示，点D即为所求．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D即为所求．
【变式训练6-2】如图，在中，，平分交于点D．在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作，则，即可使得．
【详解】解：如图所示，点E即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
【变式训练6-3】请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在 ABC中，．
(1)在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）；
(2)在（1）的情况下，求证： ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了作图-复杂作图，相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）在的右侧作，连接交的延长线上有点即可；
（2）根据已知条件得到即可证明．
【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交的延长线上有点，如图，则．
（2）
证明：如上图，
∵，，
∴，
在和中，，，
∴．
【变式训练6-4】如图，四边形ABCD中，，，．
(1)尺规作图：在上求作一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作去）
(2)在（1）的条件下，连接DE．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以A为圆满心，为半径画弧，交于点E，连接即可；
（2）先求出，再利用等腰三角形的性质证，平行线的性质得，从而得，，即可由相似三角形的判定定理得出结论．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求的点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
由作图得，，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【变式训练6-5】如图，在 ABC中，．
(1)尺规作图：在边上求一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证： ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
（1）作线段的垂直平分线交边即可；
（2）先证，，得，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．
【详解】（1）解：如图．点P为所求作的点，
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴∽．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
题型七：相似三角形中多结论问题
【经典例题7】如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
∴，故②正确；
，
，
，
，
，
∴，故④正确；
在中，，
∴，
∴，故③错误；
综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式训练7-1】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数；
②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断；
③证明，得，即可；
④，，，根据勾股定理判断．
【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，
但与不一定相等，
∴与不一定相似，故结论②错误；
③∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故结论③正确；
④∵，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，故结论④正确，
∴结论正确的个数有个．
故选：C．
【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键．
【变式训练7-2】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
设，则，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式训练7-3】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
【变式训练7-4】如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①；
将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②；
由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③；
旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④．
【详解】解：如图中，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可证，
，
，
，
，故①正确；
如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，，
由旋转知：，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四边形是正方形，
．
由旋转知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可证：
，
即为直角三角形，故②正确；
，
，
又，
由①可知：，
，
，
又，
，故③正确；
如图中，
旋转到，，
，，
同理②中可证：，
，设，
，，
四边形是正方形，
，
，
在中，根据勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的边长为；
由正方形的边长为，
，
由①可知，
，，
由②得，
设，
，，
，
，
解得，
，故④正确
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式训练7-5】如图，在 ABC中，，将 ABC绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出，即可判断①的正确性；通过点、、、四点共圆可以判断出②③④的正确性．
【详解】解：由题意可得：，
∵
∴
∵
∴，故①正确；
∵
∴
∵
∴
∴，
∴点、、、四点共圆
∵，
∴是直径，不是直径
∴，故②错误；
∵点、、、四点共圆
∴，故③正确；
∵点、、、四点共圆
∴，
∴，故④正确；
∴正确结论的个数是3个
故选C．
【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．
【变式训练7-6】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME；②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断；④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断.
【详解】如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴，
∴，
∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，
∴∠NAE=∠AEN=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，
如图2，连接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OC=EF=x，
△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，
∴OE=BE，
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO=AB=1，
∴AC==AO+OC，
∴1+x=，
x=2-，
∴，
故③正确，
③如图3，
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，
∵∠ABE=∠ABH=90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
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4.3&4.4相似三角形及其判定七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断两个三角形是否相似
【经典例题1】如图，是 ABC的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-1】在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（ ）
A．， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式训练1-2】如图，在 ABC中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列各条件中，能判断的是（ ）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
【变式训练1-4】根据下列条件，能判定 ABC和相似的个数是（ ）
（1），，，；
（2），，，，，；
（3），，，，，；
（4），，，，，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】根据下列各组条件，不能判断 ABC和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
题型二：添加一个条件让两个三角形相似
【经典例题2】如图，点P在 ABC的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】如图，与相交于点 O，要使 AOB与相似，可添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】如图，点P在 ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，已知，若再增加一个条件不一定能使结论成立，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．平分 B． C． D．
题型三：相似三角形的证明
【经典例题3】如图，将 ABC绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
【变式训练3-1】如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证： ABE∽ CBD．
【变式训练3-2】如图，四边形为正方形，．
(1)证明：
(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明
【变式训练3-3】已知：在 ABC和中， ．求证：．
【变式训练3-4】如图，在 ABC中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
【变式训练3-5】如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）．
题型四：判断与已知三角形相似的个数
【经典例题4】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【变式训练4-1】如图，锐角 ABC的高和高相交于，则与相似的三角形（不含自身）个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-2】如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与 ABC相似（不含 ABC）的三角形个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-3】如图，在由相同的小正方形组成的的网格中，点、、、、、、都在小正方形顶点上，则图中能用字母表示（不再添加辅助线）的三角形中，与相似的三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-4】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 ABC是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-5】下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-6】如图，在 ABC中，、是高，且、交于点，则图中与相似（不包括其本身）的三角形个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：裁剪使两个三角形相似
【经典例题5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-2】如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
B．
C．D．
【变式训练5-3】如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，，，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不能相似的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练5-5】如图，在 ABC中，，，，将 ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-6】如图， ABC中，．将 ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
题型六：尺规作图使两个三角形相似
【经典例题6】如图，在 ABC中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式训练6-1】在 ABC中，．请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将 ABC分为两个相似三角形（保留作图痕迹，不写作法）
【变式训练6-2】如图，在中，，平分交于点D．在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【变式训练6-3】请用直尺，圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知在 ABC中，．
(1)在的延长线上有一点，连接，使得（尺规作图）；
(2)在（1）的情况下，求证： ．
【变式训练6-4】如图，四边形ABCD中，，，．
(1)尺规作图：在上求作一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作去）
(2)在（1）的条件下，连接DE．求证：．
【变式训练6-5】如图，在 ABC中，．
(1)尺规作图：在边上求一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证： ABC．
题型七：相似三角形中多结论问题
【经典例题7】如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练7-1】如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练7-2】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式训练7-3】如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练7-4】如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：
①；
②连接，，则为直角三角形；
③；
④若，，则的长为．其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练7-5】如图，在 ABC中，，将 ABC绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点落在CA的延长线上，得到，连接，交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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