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4.5相似三角形的性质九大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：重心的有关性质
【经典例题1】如图， ABC重心为G， ABC和在边上高之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式训练1-1】如图，在 ABC中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练1-2】如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过 ABC的重心，那么的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式训练1-3】，，，为重心，则 ．
【变式训练1-4】如图，在中，∠B=90°，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ．
【变式训练1-5】如图所示，点是 ABC的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么 ABC的面积为 ．
题型二：利用相似三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，已知，且，，，则 ．
【变式训练2-1】如图，，若，，则的长为 ．
【变式训练2-2】如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ．
【变式训练2-3】如图所示，在 ABC中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得 ADE与 ABC相似，求的长．
【变式训练2-4】如图所示，已知，，，，，求的度数及的长．
【变式训练2-5】如图，已知，，，，．求，的长．
【变式训练2-6】两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积．
题型三：利用相似比求周长比
【经典例题3】如图，在 ABC中，分别交于点，若，则 ADE与 ABC的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】若，它们的相似比为，则 ABC与的周长比为 ．
【变式训练3-2】已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为，则的周长是 ．
【变式训练3-3】两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 ．
【变式训练3-4】已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为 ．
【变式训练3-5】在中，，D为边上一点，．在边上取一点E，连接，得到．若这两个三角形相似，则与的周长之比是 ．
题型四：利用相似比求面积比
【经典例题4】两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【变式训练4-2】如图，在中，，为的三等分点，点，在上，且， ADE，四边形，四边形的面积分别为，，，则 ．
【变式训练4-3】已知．
（1）若，，则 ；
（2）若 ABC和的相似比为，则这两个三角形对应中线的比为 ， ABC与的面积比为 ；
（3）若 ABC与的周长比为，则这两个三角形对应边的比是 ．
【变式训练4-4】如图，在 ABC中，D是边上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为9，求 ABC的面积．
【变式训练4-5】在 ABC与中，．
(1)求证：．
(2)直接写出 ABC与的面积比．
题型五：相似三角形中动点问题
【经典例题5】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与 AOB相似？
【变式训练5-1】如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．
(1)当为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积；
(3)当为何值时，以点为顶点的三角形与 ABC相似？
【变式训练5-2】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接．
发现： ， ；（用含t的式子来表示）
（1）猜想：
①若，求t值；
②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值．
（2）探究：是否存在符合条件的t，使与 ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-3】如图，在 ABC中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒．
(1)求的长（用含t的代数式表示）；
(2)求点E落在 ABC区域（含边界）内的时长；
(3)连接，当与 ABC相似时，求t的值；
(4)当将 ABC的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离．
【变式训练5-4】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：
(1)用含t的代数式表示的面积S；
(2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
(3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与 ABC相似？
【变式训练5-5】如图，在 ABC中，，，∠B=90°．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
(1)当时，求的面积；
(2)当为多少时，的面积是？
(3)当为多少时，与 ABC是相似三角形？
题型六：在网格中画出与已知三角形相似的三角形
【经典例题6】如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点 ADE，使．
(2)在图2中找一点F，使．
【变式训练6-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
【变式训练6-2】小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.
(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形；
(2)在图2中画出以为边的三角形，且与 ABC相似（不全等）.
【变式训练6-3】如图，在的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．
(1)在图1中画出，使它由 ABC绕着点B旋转得到；
(2)在图2中找到格点M，N，使得与 ABC相似，且相似比为．
【变式训练6-4】如图，在的方格纸中，已知格点 ABC与格点P，请按要求画与 ABC相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画，使点M，N均落在的边上．
(2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与 ABC组成一幅轴对称的图形．
【变式训练6-5】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
(1)在图1中画，使得，且相似比为；
(2)在图2中画，使得，且面积比为．
题型七：利用相似求坐标
【经典例题7】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．
(1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在
(2)在（1）的条件下，，是 AOB的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．
【变式训练7-2】如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求 AOB的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练7-3】图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
【变式训练7-4】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求 BDE的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【变式训练7-5】直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
题型八：相似三角形的应用
【经典例题8】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
【变式训练8-1】如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高．
【变式训练8-2】西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度．
【变式训练8-3】一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度．
【变式训练8-4】杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计）
(1)求与的等量关系；
(2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度．
【变式训练8-5】如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
题型九：相似三角形的性质和判定综合
【经典例题9】如图，在中，是线段中点．连接交于点，连接并延长交于．
(1)试说明F为中点；
(2)若恰好垂直，且，求的值．
【变式训练9-1】如图，在 ABC中，D是边上一点，且满足，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【变式训练9-2】如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，．
(1)求证：；
(2)若，．求的值．
【变式训练9-3】如图，在矩形中，是的中点，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式训练9-4】如图， ABC的中线、相交于点O，F、G分别是、的中点．
(1)求的值；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
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4.5相似三角形的性质九大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：重心的有关性质
【经典例题1】如图， ABC重心为G， ABC和在边上高之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于点，根据重心的性质，得到，进而得到，证明，列出比例式即可得出结果．
【详解】解：连接并延长交于点，
∵ ABC重心为G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式训练1-1】如图，在 ABC中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接并延长交于，连接并延长交于，由三角形重心的性质得出，，，，从而得出，证明，由相似三角形的性质可得，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接并延长交于，连接并延长交于，
∵点E、F分别是和的重心，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
【变式训练1-2】如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过 ABC的重心，那么的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】设 ABC的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质得到，代数求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设的重心是，连接，延长交于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∵
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式训练1-3】，，，为重心，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可.
【详解】解：如图， ∵为的重心，
∴是的中线，，
，
，
，
故答案为：.
【变式训练1-4】如图，在中，∠B=90°，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点E，作于点F，证明得，由点O是的重心得，，代入比例式即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点E，作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵点O是的重心，，
∴，，
∴，
∴，即点O到边的距离是2．
故答案为：2．
【变式训练1-5】如图所示，点是 ABC的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么 ABC的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接，，根据为 ABC的重心，得到，证明，得到与的相似比为，设的高为，得到四边形底边的高为，根据平行四边形的面积求得，据此求解即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵点是 ABC的重心，点是边的中点，
∴点在线段上，，
∵，
∴，
∴与的相似比为，
设的高为，
∴的高为，即 ABC的高为，
∴四边形底边的高为，
∵四边形的面积为12，
∴，
∴的面积为，
∵点是边的中点，
∴ ABC的面积为36，
故答案为：36，
题型二：利用相似三角形的性质求线段长度
【经典例题2】如图，已知，且，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据，得到，从而得到，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：，
故答案为：4．
【变式训练2-1】如图，，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴或（舍去），
故答案为：．
【变式训练2-2】如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到，先求出，把，代入，即得的值．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-3】如图所示，在 ABC中，点在边上，已知，，，如果在上找一点，使得 ADE与 ABC相似，求的长．
【答案】或．
【分析】本题考查了相似三角形的性质．由题意知，分，两种情况求解即可．
【详解】解：由题意知，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，，
∴；
当时，，即，
解得，；
∴；
综上所述，或．
【变式训练2-4】如图所示，已知，，，，，求的度数及的长．
【答案】，
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键；根据相似三角形的性质和判定求解即可；
【详解】解：，
，；
，
又，
；
，
；
故的度数为，的长为
【变式训练2-5】如图，已知，，，，．求，的长．
【答案】，
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．根据即可得出，再把已知数据代入进行计算即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得，．
【变式训练2-6】两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积．
【答案】较大三角形的面积为
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
设较大三角形的面积是，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得到求解即可．
【详解】解：设较大三角形的面积是，则较小三角形的面积为．
由题意可得：，解得：．
答：较大三角形的面积为．
题型三：利用相似比求周长比
【经典例题3】如图，在 ABC中，分别交于点，若，则 ADE与 ABC的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，求出边的比例即可求出周长的比．根据相似三角形的判断与性质，求出边的比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的周长之比是；
故选：A．
【变式训练3-1】若，它们的相似比为，则 ABC与的周长比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，据此作答即可．
【详解】解：∵，它们的相似比为
∴与的周长比为
故答案为：
【变式训练3-2】已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为，则的周长是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据两个相似三角形的周长比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，设的周长为，
∴，
解得，，即的周长为，
故答案为：12 ．
【变式训练3-3】两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据周长比等于相似比，设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，因为周长之差为，所以列式，解出，即可作答．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，
依题意，，
解得，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-4】已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意可得相似三角形的相似比，再根据周长比等于相似比即可解题．
【详解】解：一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，
又，
，
的的周长，
故答案为：11．
【变式训练3-5】在中，，D为边上一点，．在边上取一点E，连接，得到．若这两个三角形相似，则与的周长之比是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析．
与相似要分成两种情况来进行讨论， ； ，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论：①当时，
∵
∴与的周长之比为；
②当时，
∵，
∴与的周长之比为，
综上，与的周长之比为或，
故答案为：或．
题型四：利用相似比求面积比
【经典例题4】两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方求解即可．
【详解】解：两个相似三角形对应高之比为，
它们的相似比为，
面积比．
故选：D．
【变式训练4-1】两个相似三角形的面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．
根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．
【详解】解：两个相似三角形的面积比是，
两个相似三角形的相似比是，
两个相似三角形的周长比是，
令另外一个三角形周长为，分两种情况：或者，
解得或．
故选：．
【变式训练4-2】如图，在中，，为的三等分点，点，在上，且， ADE，四边形，四边形的面积分别为，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、以及相似三角形面积比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面积比等于相似比的平方是解题的关键．
本题先根据三条直线平行得到 ,得到对应相似比为，然后得到 ，最后得到答案．
【详解】∵
∴，
又∵，为的三等分点，
∴,
∴
设，则 ，，
∴．
故答案为．
【变式训练4-3】已知．
（1）若，，则 ；
（2）若 ABC和的相似比为，则这两个三角形对应中线的比为 ， ABC与的面积比为 ；
（3）若 ABC与的周长比为，则这两个三角形对应边的比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
（1）根据相似三角形的性质即可解答；
（2）根据相似三角形的性质即可解答；
（3）根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1），
，
，，
，
故答案为：；
（2），且和的相似比为，
这两个三角形对应中线的比为， ABC与的面积比为，
故答案为：，；
（3） ABC与的周长比为，，
ABC和的相似比为，
这两个三角形对应边的比是，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，在 ABC中，D是边上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为9，求 ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出；
（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
【变式训练4-5】在 ABC与中，．
(1)求证：．
(2)直接写出 ABC与的面积比．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质：
（1）根据三组对应边对应成比例的两个三角形相似，即可得证；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
题型五：相似三角形中动点问题
【经典例题5】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与 AOB相似？
【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27
(2)的值为秒或3秒
【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积；
（2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
当，四边形是梯形，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴梯形的面积的面积的面积
，
当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27；
（2）解：，
当，则，
，
由（1）得；
当，则，
∴，即，
∴，
当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键．
【变式训练5-1】如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．
(1)当为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积；
(3)当为何值时，以点为顶点的三角形与 ABC相似？
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）由等腰三角形的定义可得，即得，解方程即可求解；
（）根据即可求解；
（）根据相似三角形的判定分和两种情况解答即可求解；
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
当时，为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
综上，当或时，以点为顶点的三角形与相似．
【变式训练5-2】如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接．
发现： ， ；（用含t的式子来表示）
（1）猜想：
①若，求t值；
②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值．
（2）探究：是否存在符合条件的t，使与 ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒
【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键，
发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论；
猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：发现：在中，，
∴，
∵，
∴， ，
由运动知，， ，
∴，
故答案为：，；
猜想：（1）①∵，
∴，
∴秒；
②∵ ，
∴，
∵与四边形面积比值为，
∴，
如图，过点M作于D，
在中，，，
∴，
∴，
解得：秒；
（2）∵与相似，
当时，
∴ ，
∴ ，
∴秒，
当时，
∴，
∴，
∴秒，
即：满足条件的t的值为或秒；
【变式训练5-3】如图，在 ABC中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒．
(1)求的长（用含t的代数式表示）；
(2)求点E落在 ABC区域（含边界）内的时长；
(3)连接，当与 ABC相似时，求t的值；
(4)当将 ABC的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离．
【答案】(1)
(2)秒
(3)的值为或1
(4)1或
【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解；
（2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解；
（3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可；
（4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可知，，则，
∴；
（2）由勾股定理可知，，
当点在上时，和重合，在 ABC的边界上，若再继续向点运动，则点不在 ABC内，
此时，，，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，则，
∴，
∴，即：，解得：，
即：点落在区域（含边界）内的时长为秒；
（3）由（1）可知，，，则，
则，
∵，
∴当时，，即：，解得：；
当时，，即：，解得：；
综上，当与相似时，的值为或1；
（4），
若将 ABC的面积分成两部分，
则或，
当时，，
∴，解得：，
此时，，，则，
∴点在线段上，则，
即：点到的距离为1；
当时，，
∴，解得：，
此时，，，则，
∴点在射线上，则，
即：点到的距离为；
综上，点到的距离为1或．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【变式训练5-4】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：
(1)用含t的代数式表示的面积S；
(2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
(3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与 ABC相似？
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题．
（1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
（2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
（3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间．
【详解】（1）解：由题意得，
则，
∴的面积为；
（2）解：由题意得，
则，
当秒时，，
在中，由勾股定理得；
（3）解：由题意得，
则，
∵．
∴①当时，，
即，
解得秒；
②当时，，
即，
解得秒．
∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【变式训练5-5】如图，在 ABC中，，，∠B=90°．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
(1)当时，求的面积；
(2)当为多少时，的面积是？
(3)当为多少时，与 ABC是相似三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)当为或秒钟，使与 ABC相似．
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
（1）用含的代数式表示线段和，代入求得、，利用三角形的面积计算公式求得答案；
（2）由（1）得到，，根据三角形的面积公式得出方程解答即可；
（3）要使与 ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，，
∴，
当时，，，的面积；
（2）解：由题意得，
即，
答：当为或秒，使的面积为．
（3）
解：设经过秒钟，使与 ABC相似，
，
第一种情况：当时，与 ABC相似，即，
解得：，
第二种情况：当时，与 ABC相似，即，
解得：．
答：当为或秒钟，使与 ABC相似．
题型六：在网格中画出与已知三角形相似的三角形
【经典例题6】如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
(1)在图1中画一个格点 ADE，使．
(2)在图2中找一点F，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圆周角定理等知识，熟系相关知识是解答的关键．
（1）找格点E、D，根据网格特点，得到，根据相似三角形的判定可求解；
（2）找格点F，证得点F为 ABC的外接圆圆心，利用圆周角定理可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
作图依据：由网格特点，，，
∴，又，
∴；
（2）解：如图，点F即为所求：
作图依据：取格点F，连接、、，则，
∴点F为 ABC的外接圆圆心，
∴，则点F即为所求．
【变式训练6-1】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
(1)在图①中，在线段上画出点M，使
(2)在图②中，在线段上画出点N，使
(3)在图③中，在线段上画出点Q，使
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取格点C，D，使，且，连接，交于点M，则点M即为所求．
（2）取格点E，F，使，且，连接，交于点N，则点N即为所求．
（3）利用网格，过点P作的垂线，与的交点即为点Q
【详解】（1）解：如图①，取格点C，D，使，且，
连接，交于点M，
则，
，
即，
则点M即为所求．
（2）如图②，取格点E，F，使，且，
连接，交于点N，
则，
，
即，
则点N即为所求．
（3）如图③，取格点G，连接交于点Q，
则点Q即为所求．
【变式训练6-2】小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.
(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转的三角形；
(2)在图2中画出以为边的三角形，且与 ABC相似（不全等）.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可作出点A和B的对应点D和E，使，，，所得即为绕点C顺时针旋转的三角形；
（2）根据相似三角形性质取点F，使，，连接，，所得．
【详解】（1）如图，取格点D，E，使，，，
连接，，，
即为所求作；
（2）如图，取格点F，使，，
连接，，
即为所求作．
【变式训练6-3】如图，在的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）．
(1)在图1中画出，使它由 ABC绕着点B旋转得到；
(2)在图2中找到格点M，N，使得与 ABC相似，且相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-相似变换，旋转变换等知识:
（1）根据要求作出图形；
（2）根据对应边的比为，构造相似三角形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，即为所作：
【变式训练6-4】如图，在的方格纸中，已知格点 ABC与格点P，请按要求画与 ABC相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等．
(1)在图1中画，使点M，N均落在的边上．
(2)在图2中画，使点P在的内部（不包括边上），且与 ABC组成一幅轴对称的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作相似图形和轴对称图形，熟练掌握相似的性质和轴对称的性质是解此题的关键．
（1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可；
（2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可．
【详解】（1）如图：
即为所求；
（2）如图：
即为所求．
【变式训练6-5】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
(1)在图1中画，使得，且相似比为；
(2)在图2中画，使得，且面积比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作相似三角形，
（1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可；
（2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
；
（2）解：如图：即为所求．
．
题型七：利用相似求坐标
【经典例题7】如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，求反比例函数解析，相似三角形的性质等知识，掌握这些性质与分类讨论的思想是解题的关键．
（1）先求出点E的坐标，求出反比例函数解析式，再求出当时，y的值，即可得出点D的坐标．
（2）和相似可以分两种情况进行求解，①当若时，得求出，得出F点的坐标，②当时，可得求出，得出F点坐标．
【详解】（1）解：四边形是矩形
为的中点，点B的坐标为
点E的坐标为
点E在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为：，
∴当时，则
∴点D的坐标为
（2）由（1）可得
为的中点
①若时，
则
即：
点F的坐标为
②若时，
则
即：
点F与点O重合
点F的坐标为
综上所述，点F的坐标为或
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．
(1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在
(2)在（1）的条件下，，是 AOB的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作于点即可；
（2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∽，
：：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由，解得，
【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标．
【变式训练7-2】如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
(1)求双曲线的解析式；
(2)连接、，求 AOB的面积；
(3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得；
（3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
则双曲线的解析式为．
（2）解：如图，连接、，
将点代入得：，即，
将点，代入得：，
解得，
则，
当时，，即，
当时，，解得，即，
则的面积为．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如图，过点作轴，交轴于点，
，符合题意，
，
；
②如图，过点作，交轴于点，
则是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合题意，
又轴，轴轴，
，
，
，即，
综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
【变式训练7-3】图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求，，的值．
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先根据点在反比例函数上求出，然后将点和点代入一次函数解析式即可得出答案．
（2）如图，过点作轴交轴于点，交轴于点，设出点的坐标，根据代入即可得出答案．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为．
将和代入，
得，
解得．
（2）：如图，过点作轴交轴于点，交轴于点．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点坐标为，则，，，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解．
【变式训练7-4】如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接
(1)求 BDE的面积
(2)若点是边上一点，且∽，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．
【详解】（1）点为的中点，，
，
把代入得，
反比例函数解析式为，
， 点的横坐标为，
当时，，即，
的面积；
（2）∽，
，即，解得，
，
点坐标为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
【变式训练7-5】直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用反比例函数（x＞0）经过点A(m，4)和点B(6，2)，可确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可得答案；
（2）根据AB解析式可得出C、D坐标，可得OD、OC得长，根据两点间距离公式可得AD得长，分PA⊥OD时，AP'⊥CD两种情况讨论，利用相似三角形得性质即可得答案．
【详解】（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），
∴3=，，
解得：m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
（2）如图，当PA⊥OD时，
∴PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
∵A（2，3），点P在x轴上，
∴P（2，0）．
②当AP′⊥CD时，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴当y=0时，x=8，x=0时，y=4，
∴C（0，4），D（8，0），
∴AD==，OD=8，OC=4，CD==，
∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，
∴△P′DA∽△CDO，
∴，即，
解得：DP′=，
∴OP′=OD-DP′=
∴P′（，0），
综上所述：满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
题型八：相似三角形的应用
【经典例题8】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
【答案】桥的长度为120米
【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过E作于G，
∵，
，
，
，
，
，
，
，即：，
解得，
∴桥的长度为120米．
【变式训练8-1】如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【变式训练8-2】西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度．
【答案】牌坊的高度11米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
即牌坊的高度11米．
【变式训练8-3】一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度．
【答案】城楼的高度为米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点作于点，交于点，
由题意得：米，米，米，米，
，
四边形是矩形，
又，
米，
（米），（米），
，
，
，即，
米，
城楼的高度为：（米）．
【变式训练8-4】杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计）
(1)求与的等量关系；
(2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)该火炬台的高度米．
【分析】（）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质即可求解；
（）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质和，即可求解；
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形得判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由：
∵点与火炬台的底端在同一直线上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：米，
∴（米），
∵点与火炬台的底端在同一直线上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，即，
由（）得：，
∴，
∴（米），
答：该火炬台的高度为米．
【变式训练8-5】如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
【答案】电视塔的高的长为米
【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为．
题型九：相似三角形的性质和判定综合
【经典例题9】如图，在中，是线段中点．连接交于点，连接并延长交于．
(1)试说明F为中点；
(2)若恰好垂直，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，，得到，由是线段中点，得到，即可得出结论；
（2）由（1）知，由，从而得到，，再根据平行四边形的性质结合，得到，利用勾股定理求出，从而得到，，利用勾股定理求出，即可求出的值．
【详解】（1）证明：在中，
，
，，
，，
是线段中点，
，
，
，
为中点；
（2）解：由①知，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练9-1】如图，在 ABC中，D是边上一点，且满足，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质．
（1）根据，为公共角，即可证明；
（2）根据可得，进而得到，由（1）知，可得，求出，再根据，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
设，则，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（负值舍去），
，
．
【变式训练9-2】如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，．
(1)求证：；
(2)若，．求的值．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，
（1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解；
（2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，则（负值舍去），
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
解得，，
∴．
【变式训练9-3】如图，在矩形中，是的中点，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理：
（1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再由，得出，最后根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）由是的中点得出，由勾股定理得出，再根据相似三角形对应边成比例，列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）知，，
∴，即
∴．
【变式训练9-4】如图， ABC的中线、相交于点O，F、G分别是、的中点．
(1)求的值；
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）首先得到点E，D分别是，的中点，然后证明出，得到，进而得到；
（2）首先得到，，证明出四边形是平行四边形，然后证明出，得到，然后得到，即可证明出四边形是矩形．
【详解】（1）解：∵的中线、相交于点O，
∴点E，D分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵F、G分别是、的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，且E，D分别是，的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴同理可得，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和判定， 矩形的判定，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
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