中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破三：相似三角形综合之证明题（20道）
【基础篇专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在 ABC中，，交于点D，，交的延长线于点E．
(1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
(2)若，请证明是等腰直角三角形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三线合一定理，勾股定理的逆定理：
（1）先由三线合一定理得到，再证明，利用相似三角形的性质即可得到；
（2）由相似三角形的性质得到，则，再证明，则由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，则是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵在 ABC中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴是等腰直角三角形．
2．如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，，则的长________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明；
（2）由得出，将有关数据代入计算，即可求的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
故答案为：．
3．已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）由菱形的性质得出、，再证明，由全等三角形的性质得出，进而得到，再结合即可证明结论；
（2 ）由题意可得，再证明可得，即，然后证明可得，进而证明结论．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
∴，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．如图，在 ABC中，，为边上的中线．四边形中，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)连结，交于点F，若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识:
（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断；
（2）证明推出，由此即可解决问题
【详解】（1）证明：∵
∴四边形是平行四边形，
∵为的中点，
∴
∴
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴
∵
,
∵
∴
∴,
∴
5．已知：在 ABC中，以边为直径的交于点D，在劣弧上取一点E，使，延长依次交于点G，交于H．
(1)求证：；
(2)若，的直径等于5，，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）如图：连接，由圆周角定理即可得出，再根据直角三角形的定义即可证明结论；
（2）先利用勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，由勾股定理求得，
∵的直径等于5，
∴，
∵，
∴，
∴，即 ，
∴ ，解得：，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
6．如图，点C、D在线段上，是等边三角形，且．
(1)求证： ACP∽ PDB；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这两方面知识是解题的关键．
（1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，从而结论得证；
（2）由相似三角形的性质及三角形角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴；
∵
∴，
即，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴
．
7．在 ABC中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.：
（1）由，D是的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，易得，，即可证得；
（2）首先过A作，垂足为G，易得，可求得的长，继而求得的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的面积．
【详解】（1）证明：∵D是的中点，
∵
∴
∴
（2）解：过A作，垂足为G，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴，
又，
∴
8．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求证；四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，即可求证；
（2）根据平行四边形的性质，可得．从而得到，再由，可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，即可求证．
此题考查平行四边形的性质，菱形的判定定理，相似三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴是菱形．
9．如图，在中，，，垂足为D．
(1)证明：；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)的长为
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，
根据题意得，和，则，即可证明；
由（1）知，则，代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
整理，得，解得或（不合题意，舍去），
∴的长为．
10．如图， ABC中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍．
(1)求证：；
(2)试求矩形的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证；
（）设，，则，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解；
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴矩形的周长．
11．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）由（1）得，则得；再由可求得，；再由（1）中，即可求得．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：由（1）有，
即，
∴，
则；
∵，
∴，
∴，
∴，；
∵，
∴，
即．
12．如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G．
(1)若，， 求的长．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解．
（1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长；
（2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在平行四边形中，，，
，，
，
，
，
，
，
．
13．如图， 在 ABC中， 点 D， E 分别在边 ， 上， ，．
(1)求证：
(2)若 ，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．
（1）由可得，，则结论得证；
（2）可证，由比例线段可求出线段的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E；
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键．
（1）由正方形的性质及，易得，，即可得；
（2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∵，，
∴，
∴．
15．已知：如图，D，E，F分别是 ABC的边上的点，．
(1)求证：．
(2)若，，求和．
【答案】(1)见解析
(2)，．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．
（1）通过两组平行，得到对应角相等，即可证；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出比例式即可解决问题．
【详解】（1）证明：，，
，，，
，
；
（2）解：，
，
又，，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．如图，在 ABC中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了等边对等角以及圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由等边对等角得，结合圆周角定理得，因为，故，证明，即可作答．
（2）先因为，，所以，因为为直径，，因为，则，即，证明，故，代数计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图：连接，
∵，，
∴，
设，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
即，
∴，
即．
17．如图，在 ABC中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点．
(1)若，求线段的长；
(2)若 ADE的面积为，求 CDF的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形，理解并掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可证，根据及相似的性质即可求解；
（2）根据，，可证，且，可得的值，再根据面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，设，则，
∴，且，
∴，
∴，
∴线段的长为．
（2）解：∵，
∴，，
∴，且，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
18．如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
（1）证明，，即可解决问题．
（2）由（1）知，，求得，，即可解决问题.
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，
，
．
19．如图，已知在四边形中，与相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．
（1）可证明，可得到，从而，即可求证；
（2）利用，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：， ，
，
，
．
20．在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)点M在什么位置时，的长为．
【答案】(1)见解析
(2)当或时，的长为
【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，求出，即可得解；
（2）证明，得出，设，则，代入计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
故当或时，的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题突破三：相似三角形综合之证明题（20道）
【基础篇专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在 ABC中，，交于点D，，交的延长线于点E．
(1)试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
(2)若，请证明是等腰直角三角形．
2．如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，，则的长________．
3．已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
4．如图，在 ABC中，，为边上的中线．四边形中，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)连结，交于点F，若，，则的长为______．
5．已知：在 ABC中，以边为直径的交于点D，在劣弧上取一点E，使，延长依次交于点G，交于H．
(1)求证：；
(2)若，的直径等于5，，求的值．
6．如图，点C、D在线段上，是等边三角形，且．
(1)求证： ACP∽ PDB；
(2)求的度数．
7．在 ABC中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
8．如图，在中，于E，于F，与分别相交于点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求证；四边形是菱形．
9．如图，在中，，，垂足为D．
(1)证明：；
(2)已知，，求的长．
10．如图， ABC中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点分别在上，与的交点为，且矩形长是宽的倍．
(1)求证：；
(2)试求矩形的周长．
11．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
12．如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G．
(1)若，， 求的长．
(2)求证：．
13．如图， 在 ABC中， 点 D， E 分别在边 ， 上， ，．
(1)求证：
(2)若 ，，求线段的长．
14．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E；
(1)求证：．
(2)若，求的值．
15．已知：如图，D，E，F分别是 ABC的边上的点，．
(1)求证：．
(2)若，，求和．
16．如图，在 ABC中，，以为直径的分别交于点D，E，过点C作于点H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求值．
17．如图，在 ABC中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点．
(1)若，求线段的长；
(2)若 ADE的面积为，求 CDF的面积．
18．如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
19．如图，已知在四边形中，与相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
20．在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且．
(1)求证：；
(2)点M在什么位置时，的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
