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专题突破一：比例线段之设“K”法（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．已知，求的值．
【答案】3
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出，，的值，进而化简得出答案．
【详解】解：∵，
∴设，，，
∴．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
2．若实数满足，求的值．
【答案】8或．
【分析】观察 与 发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设，通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设，
则，
，
，
即，
所以或，
当时，则，
，同理，，
所以
；
当时，
所以
，
综上，值为8或．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设得到或．
3．已知，且，求的值．
【答案】
【分析】设，进而用含的式子表示出、、，再代入已知等式中，求出的值，进而得出、、的值，即可计算求值．
【详解】解：设，
，，，
，
解得：，
，，，
．
【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值，利用“设k法”分别表示并求出a、b、c的值是解题关键．
4．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
5．已知，求的值．
【答案】
【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，设每份为k，
则，，．
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键．
6．已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若的周长为90，求的面积．
【答案】(1)2
(2)的面积为270．
【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案；
（2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：设，则，，，
∴；
（2）解：∵的周长为90，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，
∴，即是直角三角形
∴的面积为．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键．
7．已知为的三边长，且，，求三边的长．
【答案】三边的长为6，8，10
【分析】设，则，，，根据进行计算求出的值即可．
【详解】解：设，则，，，
，
，
解得：，
，，，
三边的长为6，8，10．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由．
【答案】直角三角形，理由见解析
【分析】根据已知条件，得出，，进而得到，再利用勾股定理逆定理，即可判断的形状．
【详解】解：直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了比例的性质，勾股定理得逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
9．如果，且．求的值．
【答案】
【分析】根据比例的性质求得，代入，即可求解．
【详解】解：，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
10．求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据已知条件得到，然后把代入所求式子中进行求解即可；
（2）根据比例的性质得到，再把代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键，一般地，若有，则．
11．已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
整理，得：，
解得：（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
12．已知，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)2
(2)10
【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；
（2）利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，且，
，
的值为2；
（2）解：，
，
，
，
，
的值为10．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
13．已知 是的三边长，且， 求：
(1)的值．
(2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．
【答案】(1)
(2),是直角三角形
【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键．
（1）直接设，，，进而代入求出答案；
（2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案．
【详解】（1）解：，
设，，，
；
（2）解：设，，，
的周长为24，
可得，
解得，
，
，
是直角三角形．
14．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析．
【分析】本题主要考查了设比例系数法和勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是设比例系数k；设，得出，再根据列出方程求出k的值，进而得出a、b、c的值，最后根据勾股定理逆定理，即可解答．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
设，
则，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
15．已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
【答案】（1）3；（2）7
【分析】（1）根据比例线段的性质得出，，，再代入要求的式子，然后进行解答即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求得，，利用完全平方公式变形，再代入计算即可求解．
【详解】（1），
∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式，关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：，
16．已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
【答案】（1），，；（2）
【分析】根据，且，根据比例的性质可得a，b，c的值；
（2）根据比例中项的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵，且，
∴，
∴，，，
∴，，，
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
【点睛】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．
17．已知=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-或6．
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，
k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k==-2；
当k=时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
18．设的三边为、、，三边上的高分别为、、，且，试求．
【答案】
【分析】根据面积相等可以列出，然后根据比例的性质可求出a：b：c的值．
【详解】∵，∴．
∵，设，
∴，，．∴．
∴，，．∴．
【点睛】本题考查了三角形的面积和比例线段，同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，这是解答此题的关键．
19．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且.
(1)若，，，求的长；
(2)若，且周长为，求的周长.
【答案】（1）的长为；（2）的周长为.
【分析】（1）设AD为x，建立关于的方程，从而通过解方程组来得到的长.
（2）通过比例的性质，可得，而的周长由组成，即可求解.
【详解】解：（1)设，则.
∵，∴，
解得.
∴的长为.
(2)∵，
∴.
∴
.
∴的周长为.
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于设未知数x.
20．已知，求的值．
【答案】
【分析】设，用含有k的代数式分别表示出a、b、c，代入分式化简即可求值.
【详解】设，则a=2k，b=3k，c=4k，
∴原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，设出参数，用含有k的代数式分别表示出a、b、c是关键.
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专题突破一：比例线段之设“K”法（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．已知，求的值．
2．若实数满足，求的值．
3．已知，且，求的值．
4．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
5．已知，求的值．
6．已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若的周长为90，求的面积．
7．已知为的三边长，且，，求三边的长．
8．已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由．
9．如果，且．求的值．
10．求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知，若，求的值．
11．已知a，b，c为的三边长，且，．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长．
12．已知，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
13．已知 是的三边长，且， 求：
(1)的值．
(2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．
14．已知是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．
15．已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．
17．已知=k，求k2-3k-4的值．
18．设的三边为、、，三边上的高分别为、、，且，试求．
19．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且.
(1)若，，，求的长；
(2)若，且周长为，求的周长.
20．已知，求的值．
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