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专题突破四：相似三角形综合之证明题（20道）
【培优篇专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图， ABC中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．
(1)求证：；
(2)若取的中点F，求证：三点B、G、F共线．
2．已知如图所示，在 ABC中，点在边上，点、在边上，且，使．
(1)求证：；
(2)把 FDE与的周长分别记作、，如果，求的值．
3．如图，在中，，是 ABC的中线，作于，作交于．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
4．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
5．如图，在 ABC中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)若，，求线段的长．
6．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
7．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
8．如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
9．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．
(1)找出图中与相似的三角形，并说明理由；
(2)若，，求的长度．
10．如图，是的中线，且，为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求线段和的长．
11．如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，折痕与边交于点O．
(1)求证：．
(2)若与的周长比为，求边的长．
12．如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于点G，求的长．
13．圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接．
(1)求证： ADG∽ AFD．
(2)已知，，求的半径长．
(3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长．
14．已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点．
(1)求证：是和的比例中项；
(2)若，求的值．
15．如图，是 ABC的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的边长和面积．
16．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，矩形的周长为32，求的长．
17．如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
18．如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由．
19．如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)求证：．
20．如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接．
(1)如图1，求的大小；
(2)如图1，证明：点为线段的三等分点；
(3)如图2，连接交于点，若，，求的长．
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专题突破四：相似三角形综合之证明题（20道）
【培优篇专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图， ABC中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．
(1)求证：；
(2)若取的中点F，求证：三点B、G、F共线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理：
（1）过点E作交于H，证明得到，则；再证明，得到，则，，同理可得，据此可证明；
（2）如图所示，连接，可证明是的中位线，得到， 证明，得到，再由三点共线，可得三点共线．
【详解】（1）证明：如图所示，过点E作交于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）证明：如图所示，连接，
由（1）可得，即点H为的中点，
∵F为的中点的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴三点共线．
2．已知如图所示，在 ABC中，点在边上，点、在边上，且，使．
(1)求证：；
(2)把 FDE与的周长分别记作、，如果，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解一元二次方程．
（1）由得比例，结合已知比例，利用过渡比得出，即可证明，得到，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴解得：（舍负），
∴．
3．如图，在中，，是 ABC的中线，作于，作交于．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质求得三角形 的三边，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得的长；再利用相似三角形的判定与性质求得即可．
【详解】（1）证明：，是的中线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
．
由（1）知：，
，
，
，．
，是的中线，
；
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形是解题的关键．
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．如图，在 ABC中，是边上的中线，点是的中点，过点作交的延长线于，交于，连接．
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了菱形的证明，三角形全等和相似的应用，解题关键是先推导出．
（1）由平行线证明三角形全等所缺少的条件，再根据三角形全等的判定方法证明三角形全等即可证明结论；
（2）先证四边形是平行四边形，再证明邻边相等，便可得出结论；
（3）证明，得出与的比例关系，进而由直角三角形的性质求得，便可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵是边上的中线
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵是边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）∵，
∴
∴，
∴
∴
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键；
（1）由和即可得到结论；
（2）证明即可得到结论；
（3）设，则，结合可得，进而即可求解
【详解】（1）证明：∵在正方形，正方形中，
∴，
∴，即，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵在正方形，正方形中，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）∵，
∴设，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
7．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)若，猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；
（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．
【详解】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
由（1）知，
，
又，
；
（3）解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
又，
，
，
设，，
则，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点．
8．如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、．
(1)求证：；
(2)探究与的关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可；
（2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出；
（3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵四边形是矩形，
∴，，，，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，，理由：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵F是的中点，
∴，，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键．
9．如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．
(1)找出图中与相似的三角形，并说明理由；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（2）利用相似三角形的性质得到，，联立求出即可求解．
【详解】（1）解：与相似的三角形有，理由如下：
如图：
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
，
，即，
∴，
∴
∴，
∵，
，
，
，
联立，可得： (负值舍去) ，
．
10．如图，是的中线，且，为上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求线段和的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，
（1）根据三角形的外角的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，则有，根据相似三角形的判定即可求证；
（2）根据题意可证，可得可求出，再由（1）的结论可得，可求出的值．
【详解】（1）证明：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
由（1）可知，
∴，
∴，
∴．
11．如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，折痕与边交于点O．
(1)求证：．
(2)若与的周长比为，求边的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质是解题关键．
（1）由矩形和折叠的性质求出，，即可证明；
（2）由相似三角形的性质可得出，即可求出．设，则，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出，进而可求，最后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵与的周长比为，，
∴，
∴．
设，则，
由折叠可知，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
12．如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且．
(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于点G，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)15
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关键．
（1）利用“一线三直角”即可证明；
（2）由，求出和的长，利用求出的长度，再由求出的长度，即可求出的长．
【详解】（1）解： 四边形为正方形，
，
，
，
，
∴；
（2）解：四边形为正方形，
，，
，
，
设，
∵，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
13．圆内接四边形如图所示，直径于点E，的延长线交于点F，连接．
(1)求证： ADG∽ AFD．
(2)已知，，求的半径长．
(3)在（2）的条件下，若G是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
【分析】（1）连接交于点M，先证明，再根据圆周角定理推导出，最后等量代换即得，即可证明；
（2）连接，设的半径长为，则，在中，应用勾股定理求解即得．
（3）由，得到，即可求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点M，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与都是所对的圆周角，
∴，
∴，
，
；
（2）解：如图，连接
设的半径长为，则，
∵弦于点，
∴ ，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的半径长为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键．
14．已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点．
(1)求证：是和的比例中项；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据平行四边形对边平行证明，，进而可得，从而得出结论；
（2）证明，根据由相似三角形的面积比等于相似比的平方即得结论．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∴ ①
∵在平行四边形中，，
∴，
得 ．②
由①②得 即 ．
所以是和的比例中项．
（2）∵在平行四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得
．
15．如图，是 ABC的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的边长和面积．
【答案】(1)见详解
(2)边长是6，面积是
【分析】本题考查菱形的判定，菱形面积，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据，得到平行四边形，根据是的角平分线得到，根据得到即可得到，从而得到，即可得到证明；
（2）根据得到，即可得到菱形的边长，从而得到，结合菱形的面积等于两条对角线积的一半即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是的角平分线，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
设菱形的边长为，
，
，
解得：，负值舍去，
∴菱形的边长为6；
∵四边形是菱形，，
，
，
，
．
16．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且．
(1)求证：；
(2)若，矩形的周长为32，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明以及是解题关键．
（1）证明，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）设，结合矩形的周长解得的值，易得，，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设，
由（1）可知，，
∴，
∵矩形的周长为32，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
17．如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴．
18．如图，正方形的边长为4，动点P在边上从点沿向点A运动（点P不与点A，重合），连接．过点P作，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长度；
(3)连接．试判断当点P运动到边的什么位置时，？并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当点P运动到边的中点时，；理由见解析
【分析】（1）利用等角的余角相等得到，再证明三角形相似即可；
（2）根据相似的性质可得，设，则，求出x的值即可求；
（3）根据，求出，即可分别求出，再由，，可得到．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
，
解得，
；
（3）解：如图，连接，
当点P运动到边的中点时，，理由如下：
P是的中点，
，
，
，即，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
19．如图，在边长为3的菱形中，，点在边上，点在的延长线上，，与相交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形和三角形综合题．熟练掌握菱形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
（1）根据菱形性质，结合，判断出，即可得出结论；
（2）根据（1）结论先判断出是等边三角形，得出，进而用等式的性质得出，推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵在菱形中，，，且，
∴,，
∴，
∴，
∴
，，，
∴
（2）证明：由（1）知，，
∴，，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
．
20．如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接．
(1)如图1，求的大小；
(2)如图1，证明：点为线段的三等分点；
(3)如图2，连接交于点，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．
（1）根据菱形的性质得到平分，根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（2）连接分别交、于点、，如图1所示．根据菱形的性质得到垂直平分，由（1）得，，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，于是得到点为线段的三等分点；
（3）连接交于点，连接，如图2所示．根据菱形的性质得到垂直平分，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
平分，
平分，
，
，
即：；
（2）证明：连接分别交、于点、，如图1所示．
四边形是菱形，
垂直平分，
由（1）得，，
∴，
，
，
为的中点，，
，，，
∴，
，
又，
∵，，
，即点为线段的三等分点；
（3）解：连接交于点，连接，如图2所示．
四边形是菱形，
垂直平分，
又为的中点，
∴，
，
设，则，
在中，，
，
解得（负值舍去），
．
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