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第4章 相似三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：相似三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组线段中，能够组成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知且，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，直线a，b与直线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，， 则的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．如图，点在 ABC的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，点是 ABC的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图， ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与 ABC相似的是（ ）
A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，且，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如果，那么 ．
12．“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为 ．
13．如图，是 ABC的角平分线，是 ABC的中线，交于点F，若，则 ．
14．在比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为，则A，B两地间的实际距离是 m．
15．如图，已知 ABC中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 .
16．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ．
17．如图，在矩形中，，，将矩形绕点D顺时针旋转得到矩形，但A、B、C分别对应点、、，当恰好经过点A时，连接，则的长为 ．
18．如图，中，，D为的中点，，，连接交于点G，交于点H，若，，则 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：．
(1)求代数式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
20．已知：如图
(1)，，，求；
(2)，，，求．
21．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点O为位似中心，作出 ABC的位似图形，且 ABC与的位似比为；
(2)做出 ABC绕点O逆时针旋转后的图形．
(3)求的面积．
23．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
24．如图，中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1) ， ；
(2)当是等腰三角形时，求的长度；
(3)设点关于直线的对称点为．
①当点在的内部时，求的取值范围．
②作射线，当射线平分的面积时，直接写出的值．
25．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为．
(1)求a，b的值；
(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；
(3)当点D在第一象限时，求＋的最大值；
(4)当时，直接写出m的值．
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第4章 相似三角形单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：相似三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列各组线段中，能够组成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意；
C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意；
D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意，
故选：C．
2．已知且，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，据此代值逐项计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴四个选项中只有D选项中的式子正确，符合题意，
故选：D．
3．如图，直线，直线a，b与直线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若，， 则的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．如图，点在 ABC的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
5．如图，点是 ABC的重心，连接，作，使与互补，交边于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查重心的性质及相似三角形．利用三角形重心的性质得出，通过作平行线得到．进而证出，由，得解．
【详解】解：连接并延长交于点，过点作交于点．
点是的重心，
，，
，
．
．
又，
．
又，
，
，
．
故选：C．
6．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．首先证明，可得，再代入相应数据可得答案．
【详解】解：如图，
由题意可得：，
，
，，
，
，
，
米，米，米，
，
解得：米，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．如图， ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与 ABC相似的是（ ）
A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形
C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形
【答案】B
【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项．
【详解】解：设每个正方格边长为1，
则，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（ ）
A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）
【答案】A
【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，
∴△ACB∽△CED，
∵相似比为1：3，
∴，即 ，
解得，DE＝6，
∵△CED为等腰直角三角形，
∴CE＝DE＝6，
∵BC∥DE，
∴△OCB∽△OED，
∴ ，即，
解得OC＝3，
∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，6），
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，且，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何综合问题，灵活构造辅助线，运用相似三角形的性质进行转化是解题关键．过A作轴于点M，过B作轴于点N，通过设，表示出点A和点B的坐标，然后结合已知条件建立方程，利用整体思想求解即可．
【详解】解：过A作轴于点M，过B作轴于点N，
则，
∴，
∵，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵B在上，
∴①，
设平行四边形边上的高为h，
则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴②，
联立①②，解得：，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如果，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了比例的性质，掌握或，则是解题关键．根据比例的内项之积与外项之积相等求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12．“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵点P大致是的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，是 ABC的角平分线，是 ABC的中线，交于点F，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，先证明，利用相似比得到，而，则，再证明，然后根据相似三角形的性质可得到的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
而，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
14．在比例尺为的地图上，A、B两地间的图上距离为，则A，B两地间的实际距离是 m．
【答案】300
【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出算式是解题的关键，注意单位之间的转换．
【详解】解：A，B两地间的实际距离是，
故答案为：300．
15．如图，已知 ABC中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 .
【答案】
【分析】过作交于，利用等边对等角得出，，结合三角形外角的性质可得出，利用平行线的性质，三角形外角的性质可得出，证明，得出，证明，求出，即可求解．
【详解】解：如图，过作交于，
，，
，，
又，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
16．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵点是线段的中点，
∴，
∵四边形与四边形是位似图形，
∴，
故答案为：．
17．如图，在矩形中，，，将矩形绕点D顺时针旋转得到矩形，但A、B、C分别对应点、、，当恰好经过点A时，连接，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
连接，根据勾股定理求出，则，进而得出，通过证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形为矩形，
∴，，，
根据旋转可得：，，，，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
18．如图，中，，D为的中点，，，连接交于点G，交于点H，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，证明四边形是平行四边形，可得出，，进而可证明，利用相似三角形的性质可得出，证明，利用相似三角形的性质可得出，设，则，，证明，可得出，代入，可求出，然后利用线段的和差求解即可．
【详解】解：∵中，，D为的中点，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知：．
(1)求代数式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．
（1）设，代入化简即可；
（2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值．
【详解】（1）∵，
∴设，代入，得
；
（2）∵，
∴设，代入，得
，
解得，
∴．
20．已知：如图
(1)，，，求；
(2)，，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）首先求出，然后利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴．
21．如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）证，得是菱形，再由菱形的性质得，可得，再由，可得，从而得出，
然后证即可；
（2）由勾股定理得，由，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
是菱形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是菱形，
，，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为．
22．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以点O为位似中心，作出 ABC的位似图形，且 ABC与的位似比为；
(2)做出 ABC绕点O逆时针旋转后的图形．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键．
（1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到；
（2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到；
（3）利用网格求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，为所求．
（2）如图，为所求．
（3）的面积为：．
23．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值）
【答案】
【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答.
证明得到对应边成比例，列方程解决即可.
【详解】解：设米，米，
∵，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
，
，
经检验，是原方程的解，
答：飞虹塔的高度为米．
24．如图，中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒．
(1) ， ；
(2)当是等腰三角形时，求的长度；
(3)设点关于直线的对称点为．
①当点在的内部时，求的取值范围．
②作射线，当射线平分的面积时，直接写出的值．
【答案】(1)5，
(2)或或
(3)①；②或
【分析】（1）根据勾股定理和三角形中位线定理求得结果；
（2）分为点在上时，此时，作于，，进一步得出结果；点在上，即，进一步得出结果；
（3）①先求出临界情形：当点在上时，此时平分时，可推出，从而得出；当点上时，此时平分时，点在上，作于，则，可证得，进而得出，求得，进一步得出结果；
②可推出在射线上，分为两种情况：当在线段上时，此时平分，由①可知结果；当在的延长线上时，作于，根据，从而，可推出，从而，设，，则，由得，，求得的值，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，
，
点、分别为边、的中点，
，
故答案为：5，；
（2）如图1，当时，作于，
，
，
四边形是矩形，
，
如图2，当时，
或（图中，
综上所述：或或；
（3）①如图3，
当平分时，点在上，
是的中位线，
，
，
，
，
，
此时的，
如图4，
当平分时，点在上，
作于，则，
，，
，
，
，
，
，
此时的，
；
②如图5，
平分的面积，在射线上，
当在线段上时，平分，
由上知：，
，
如图6，当在的延长线上时，作于，
由上知：
，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
设，，则，
由得，
，
，
，，
，
，
，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论．
25．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为．
(1)求a，b的值；
(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；
(3)当点D在第一象限时，求＋的最大值；
(4)当时，直接写出m的值．
【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析
(2)或，见解析
(3)
(4)或
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解；
（3）证明的面积 的面积，则，即可求解；
（4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
则，
解得：，；
（2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：，
当时，图象的最高点为原抛物线的顶点，
此时最高点的纵坐标为4，与无关；
当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关；
当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关．
综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或；
（3）解：连接，
，
的面积 的面积，
过点D作轴，交与点F，
令，则，即，
∵，
∴的解析式为：，
∴，
∴
，
当 时， 有最大值，最大值为；
（4）解：设交于点，
当点在轴上方时，
过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则，
，
则，
，
，
则，
则，
则点，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
，
设直线的表达式为：，代入，得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
当点在轴下方时，
同理可得：点，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
综上， 或．
【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键．
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