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第4章 相似三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：相似三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图， ABC中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句叙述正确的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似
C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似
5．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s
9．如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为14，，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为 ．
12．如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ．
13．如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
14．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米．
15．如图，是 ABC的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是 ．
16．如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ．
17．已知，且，则 ．
18．如图， ABC中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，且，过点D作直线，分别交，于点E，F．当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值．
20．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
21．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
(1)求小明的身高；
(2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度．
(1)将 ABC以点C为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出的图形并写出的坐标；
(2)以原点为位似中心，画出与 ABC的相似比为2的图形，得到，并写出的坐标．
23．在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？
24．已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，延长交于点N，若，求的值．
25．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t．
（1）线段AN的取值范围是 ；
（2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
（3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
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第4章 相似三角形单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：相似三角形
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A.
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B.若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误；
D.若满足
此时，故D选项错误.
故选: A.
2．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键．
【详解】解：是线段的黄金分割点，
如图所示：
，
，
，
，
，则，
故选：B．
3．如图， ABC中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．下列语句叙述正确的是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形都相似 B．有一个角是的直角三角形都相似
C．有一个角是的锐角三角形都相似 D．有一个角是的钝角三角形都相似
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明．
本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用．
【详解】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、有一个角是的直角三角形都相似，正确；
C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误；
D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误；
故选：B．
5．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
【详解】解：延长交于点E，如图．
∵在正方形中，，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形与正方形的相似比是．
故选：B．
6．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质；先找到点关于的对称点，与的交点即为点的位置，此时最小即可求解．
【详解】解：如图，为点关于的对称点，连接，过点作于点，
与关于对称，
，
，
，
的最小值为，
为等边三角形，为上的高，，，
，平分，点为中点，，，
，，
，
，
，
﹣﹣
，
，
的最小值为，
故选：C．
7．如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，
根据题意，可证，可得，如图所示，过点作，交于点，交于点，可得四边形是矩形，结合题意，设，可得，在直角中运用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得，，
如图所示，过点作，交于点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴的长为，
故选：C ．
8．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形中的动点问题，分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：设运动时间为，
由题意，得：，
∴，
当时：则，即，
解得：；
当时：则，即，
解得：；
综上：或；
故选B．
9．如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为14，，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，根据已知条件分别证明，，四边形，四边形和四边形为矩形，即可得出，，，根据已知条件可以证明，得出，设点A的坐标为，即可得出，得出，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出，最后将代入求出k的值即可．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点A作轴于点G，过点B作于点G，过点C作轴于点F，过点B作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
，，
∴，
∴，
，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
同理可得：四边形和四边形为矩形，
，，，
设点A的坐标为，
，，
，
，即，
∵正方形的面积为14，
，
在中，由勾股定理得，即，
把代入得：，
解得：或（舍去）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点A的坐标，找出m与k的两个关系式，是解题的关键．
10．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①只要证明为等腰直角三角形即可；②利用证明即可；③由，可证明，则，即；④由，可得，即可证明，则，进一步求得，和即可．
【详解】解：①∵四边形为矩形，
∴，，
∵平分，为直角，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，故①正确；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴
在和中，，，，
∴
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故③正确；
④∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
则，故④正确，
综上，正确的是有4个；
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，则过点O，先证明是的中位线，再根据中位线性质求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出结果．
本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，中位线定理，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法．
【详解】解：连接，
∵菱形，为对称中心，
∴过点O，
，，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
，
在中，
．
故答案为：．
12．如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，
∵，，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
当在同一直线上时，即时，长度最大，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴,
∴，
故答案为：。
13．如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为
【答案】/
【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键．连接，根据平行四边形的性质先求出，由证得，求出，据此求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，面积为20，
∴，
∵和是以为位似中心的位似图形，且与原图形的位似比为，
∴点在同一条直线上，，，
∴，，
∴，
∴，
同理，
∴与的面积之和为．
故答案为：．
14．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 米．
【答案】38
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作于F，延长交于E，由已知得米，米，米，由，，得到，，利用相似比等于对应高的比，可知，求出，再由即可求解．
【详解】解：如图所示，过P作于F，延长交于E，
由已知得米，米，米，
，，
，
，即，
，
米，
则河宽为38米．
故答案为：38．
15．如图，是 ABC的重心，、、、分别是、、、的中点，如果，，，那么四边形的周长是 ．
【答案】10
【分析】连接，延长交于，由三角形重心的性质推出，是中点，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，因此，由三角形中位线定理推出，于是得到四边形的周长．
【详解】解：连接，延长交于，
是的重心，
，是中点，
，，，
，
，是中点，
，
，
、分别是、中点，
是的中位线，
，
同理：，，，
，
四边形的周长．
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的重心，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由三角形中位线定理推出．
16．如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，如图，设交于点，可得，进而得，即得，得到，再由得到，设，则，，可得，即得，得到，再代入代数式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，设交于点，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．已知，且，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是设，求得出k的值．设（），则，，，根据，求出k的值，然后得出x，y，z的值，即可解答．
【详解】解：设（），
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴．
18．如图， ABC中，，，点D是边的中点，分别过点A，B作直线，，且，过点D作直线，分别交，于点E，F．当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k的值为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，根据题意进行分类讨论是解题关键．利用勾股定理得到的长，进而得到，再根据以A，D，E为顶点的三角形与相似，分以下两种情况①当时，②当时，结合相似三角形的性质求出以A，D，E为顶点的三角形与的相似比k，即可解题．
【详解】解：，，
，
点D是边的中点，
，
①当时，以A，D，E为顶点的三角形与相似，
有，
②当时，以A，D，E为顶点的三角形与相似，
有，
综上所述，k的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值．
【答案】(1)6，4，12
(2)8
【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程，
（1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值；
（2）根据题意得，代入求得d即可．
【详解】（1）解：，
设，，，
又，
，
即，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
，
，
；
（2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
，
，
即，
20．如图，正方形的边长为1．对角线、相交于点O，P是延长线上的一点，交于点E，交于点H，交于点F，且与平行．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得出，结合即可得证；
（2）由得出，，由正方形的性质得出，，从而，即，推出，即可得证；
（3）求出和的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21．如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
(1)求小明的身高；
(2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】(1)米
(2)变短了，变短了米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，得出，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度．
(1)将 ABC以点C为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出的图形并写出的坐标；
(2)以原点为位似中心，画出与 ABC的相似比为2的图形，得到，并写出的坐标．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析；或
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转和位似图形：
（1）分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质，分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∴；
（2）解：如图，即为所求．
∴的坐标为或．
23．在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了由动点产生的相似三角形问题．熟练掌握勾股定理，相似三角形性质是解题的关键．
（1）利用勾股定理得出，列方程，解方程，即可得出结论；
（2）根据，分和两种情况，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵中，，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
，或，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴当与相似时，
一种情况是
，
∴，
∴；
另一种情况是
，
∴，
∴，
故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似．
24．已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，延长交于点N，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）先证明四边形是平行四边形，得出，，进而得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证；
（2）设，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，再根据勾股定理求出，，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接交于O，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：设，则，
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴，
∴．
25．如图，已知BO是△ABC的AC边上的高，其中BO＝8，AO＝6，CO＝4，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A在线段CA上作匀速运动，同时点N以5个单位长度/秒的速度自A向B在射线AB上作匀速运动，MN交OB于点P．当M运动到点A时，点M、N同时停止运动．设点M运动时间为t．
（1）线段AN的取值范围是 ；
（2）当0＜t＜2时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
（3）当2＜t＜5时，①求证：MN：NP为定值；②若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
【答案】（1）O＜AN＜25；（2）①见解析；②；（3）①见解析；②．
【分析】（1）首先求出点M运动时间，再求出点N运动的路程即可．
（2）如图1中，①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，用k的代数式表示MN、NP即可解决问题．
②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，△MNP∽△MNA∽△BOA，路程比例式即可解决问题．
（3）如图2中，当2＜t＜5时，①方法和前面类似．
②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．由PO∥HN，得，得到PO＝，根据BP＝BN，列出方程即可解决．
【详解】解：（1）∵AC＝OC+AO＝10，
点M运动的速度为2单位长度/秒，
∴t＝＝5，∵5×5＝25，
∴0＜AN＜25．
故答案为0＜AN＜25．
（2）如图1中，当0＜t＜2时，
①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，
∵NH∥BO，
∴，
∴AH＝3K，OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，MH＝10﹣5k，
∵PO∥NH，
∴＝＝
②只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，
△MNA∽△BOA，
∴，
∴＝，
∴k＝，
∴CM＝．
（3）如图2中，当2＜t＜5时，
①过点N作NH⊥AC于点H，设AN＝5k，CM＝2k，
则OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4，
∴MH＝5k﹣10，
∵PO∥NH，
∴＝＝．
②当点M在OA上时，BN＝5k﹣10．
∵PO∥HN，
∴，
∴PO＝，
若BP＝BN，则8﹣＝5k﹣10，
∴k＝，
∴CM＝，
若PB＝PN或BN＝NP，
∵∠PBN＞90°，
∴不成立，
∴若△BNP是等腰三角形，CM的长为．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用参数表示相应的线段，把几何问题转化为代数问题．
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