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专题突破二：黄金分割（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，
∴，
故选：C．
2．如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积 的面积=，可得的面积 的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【详解】解：连接，
设，
∵E为中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵的面积 的面积，
∴(的面积+的面积） (的面积+的面积），
∴的面积 的面积，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故选：C．
3．如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（ ）．
A. B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴∠ABD=90°，
∵，的长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
5．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴，
故选：C．
6．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵点为的黄金分割点（），
∴，
故选：A．
7．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，据此计算求解即可．
【详解】解：∵点为的黄金分割点，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，已知点是线段的黄金分割点，若厘米，则 厘米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点的计算，根据题意，，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，（厘米），
∴（厘米），
∴（厘米），
故答案为： ．
9．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意得，，即，计算求解即可．
【详解】解：∵P是的黄金分割点，，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
10．如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
故答案为：
11．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：如下图所示，
根据旋转的性质得，
∵，
∴
∵H是线段的一个黄金分割点，且，
∴,
∵正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设，
依题意，，
∴
∴
即
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
13．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解．
【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案为：．
14．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，，
∴
∴，
∴支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：．
15．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
故答案为：．
16．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
【答案】
【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．
【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是，
雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
，
故答案为：．
17．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米）
【答案】或
【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况进行计算是解题的关键．
设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，
分两种情况：
当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
综上所述：主持人应走到离点7.6或12.4米，就处在比较得体的位置，
故答案为：7.6或12.4．
18．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米．
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可．
【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，
∴米，
故答案为：．
19．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 m．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可．
【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，
则，
解得：，
故答案为：．
20．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键．
过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，
．
故答案为：．
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专题突破二：黄金分割（20道）
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分，）
1．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（ ）．
A. B． C． D．
4．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（ ）
A． B． C． D．
7．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度为 ．
8．如图，已知点是线段的黄金分割点，若厘米，则 厘米．（结果保留根号）
9．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ．
10．如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ．
11．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ．
12．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ．
13．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
14．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号）
15．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
16．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）．
17．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米）
18．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米．
19．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 m．
20．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
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