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专题突破八：相似三角形综合之探究题型（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在 ABC中，，，，求证：、互相平分．
（1）请结合图1，写出证明过程：
证明：连结、．
，，
______．同理可得______．
____________．
∴，互相平分．
【探索应用】
（2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点．
①求证：；
②求的值；
（3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值．
【答案】（1），，四边形是平行四边形；（2）①证明见解析；②；（3）的值为．
【分析】（1）由三角形中位线定理及平行四边形的判定可得出答案；
（2）①证出，根据可证明；②由三角形中位线定理可得出答案；
（3）分两种情况，由菱形的性质及相似三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：连结、．
，，
，同理可得．
四边形是平行四边形，
、互相平分；
（2）解：①，，
为的中位线，
，
，，
点为的中点，
，点为的中点，
，
，
在和中，
，
；
②为的中位线，
，
，
，
；
（3）解：四边形是菱形，
，
，
，
由菱形的性质可知，，
，
，
，
分两种情况：①如图，当时，则，
，
，
在中，，
．
②如图，当 时，则，
，，
，
在中，，
．
综上所述， 的值为．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
2．在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系．
【问题初探】
小明同学就等边三角形．给出了方法：如图：1，在上截取，连接，易证，∴．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数．
（1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数：图2中________；图3中________；正边形中________．
【类比探究】
（2）如图4， ABC是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在矩形中，，交于点，，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积．
【答案】（1）；；；（2）见解析；（3）
【分析】（1）当探究的图形为正方形时，在上截取，连接．先证明，可得，再由，可得，再求解即可得出结论，再用类似方法对正五边形及正边形中求解；
（2）过点作于点，先证明，再利用全等三角形的性质证明即可；
（3）在上截取，连接．先在中，由勾股定理，得．再证明，可得，再证明，再利用相似三角形性质可得．再求解即可．
【详解】（1）当探究的图形为正方形时，如图1，在上截取，连接．
根据题意，得，．
，
，
，
，
，
∴．
∵，
∴．
∴．
当探究的图形为正五边形时，如图2，在上截取，连接．
根据题意，得，．
易证，
∴．
∵，
∴．
∴．
综上所述，在正边形中，．
故答案为：；；；
（2）证明：如图3．过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如图4，在上截取，连接．
∵四边形是矩形，
∴，．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∴．
∵，
∴，．
∴．
由旋转可得，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
解得，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形及多边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．
3．【教材呈现】
（1）如图1，在正方形中，E是上的一点，绕点A逆时针旋转后得到，在边上取点G，连接、，使得，求证：．
请补全下列证明过程：
证明：绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合，
由旋转可得：，，，，．
∴，因此，点G，D，F在同一条直线上．
【探索发现】
（2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 （用含有a的式子表示）．
②如图2，在四边形中，，∠B=90°，，E是的中点，且，则的长 ．
【拓展迁移】
（3）如图3，在正方形中，E是上的一点，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）
【分析】（1）由旋转可得：，，，，．证明出点G，D，F在同一条直线上，再证明，得出，即可得证；
（2）①由（1）可得，再表示出的周长即可得解；②作于，证明四边形为正方形，得出，由（1）中的结论可得，设，则，，在中，由勾股定理计算即可得解；
（3）由旋转可得，，，，，由折叠的性质可得，，，，延长交于，连接，证明
，得出，设，则，，由勾股定理求得，得出，，作于，则，，证明，求出，，得出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合，
∴由旋转可得：，，，，．
∴，
∴点G，D，F在同一条直线上，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）可得，
∴的周长为
故答案为：；
②如图，作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴由（1）中的结论可得，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：10；
（3）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合，
∴由旋转可得：，，，，．
∴，
∴点C，D，F在同一条直线上，
∵将沿折叠得到，
∴，，，，
如图，延长交于，连接，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，，
作于，则，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
4．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是 ABC的中线，，垂足为．像 ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．
【答案】（1）①；②；（2），证明见解析（3）
【分析】（1）①连接，根据，是的中线，得出是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，，证明、是等腰直角三角形，求出、、、，根据勾股定理计算、，根据，，得出答案即可；②连接，根据，是的中线，得出是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出、、、，根据勾股定理计算、，根据，，得出答案即可；
（2）连接，根据，是的中线，得出是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出相似比为，则，，结合勾股定理得出，， ，则，得出即可；
（3）连接，根据，分别为线段，的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，， 结合菱形的性质，推出，，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，相似比为；，相似比为；，相似比为，得出，，推出，证明，推出，，由（2）中的结论得：，则，计算得出答案即可．
【详解】解：（1）①如图，连接，
∵，是的中线，
∴点、分别是、的中点，
∴，，是的中位线，
∴，，
∵， ，
∴是等腰直角三角形，，
∴也是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：；；
②如图，连接，
∵，是的中线，
∴点、分别是、的中点，
∴，，是的中位线，
∴，，
∵， ， ，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2），证明如下，
如图，连接，
∵，是的中线，
∴点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，相似比为，
∴，，
又∵ ，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴；
（3）如图，连接，
∵，分别为线段，的中点，菱形的边长为，
∴是的中位线，，，
，，，，，
∴，， ，，
，，
∴，相似比为；，相似比为；，相似比为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴由（2）中的结论得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，灵活运用知识点推理证明、数形结合是解题的关键．
5．综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，
【探索发现】
操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有．
操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________．
【探究提升】
如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形．
【拓展应用】
如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________．
【答案】探索发现：、、、、（答案不唯一）；结论应用：证明见解析；拓展提升：
【分析】探索发现：由折叠可得：是等边三角形，，，再结合矩形的性质与平行线的性质可得结论；
探究提升：由探索发现可得：，从而可得结论；
拓展应用：先求解，如图，同理可得：，证明，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，同理可得：，再进一步结合勾股定理可得答案．
【详解】探索发现：
解：由折叠可得：是等边三角形，，，
∴，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
探究提升：
由探索发现可得：，
∴，
∴为等边三角形；
拓展应用：
∵，
∴，
如图，同理可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
同理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：，
∵同理可得：，而，，
∴，
∴，
∴，
由可得：
，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握基础图形的性质是解本题的关键．
6．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．
【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．
【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）的定值为125
【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得，即可解答．
（3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答．
【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H．
∵点E，G恰好为边的中点，
∴，，
∵四边形和是矩形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由“8”字模型得，
∴．
故答案为：；．
（2）当时，（1）中发现的结论仍然成立．
理由：如图2所示，
∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得，
∴；
∴当时，AE与CG的数量关系是；位置关系是．
（3）的定值为125．
连接，，由（2）得，
∴、、、均为直角三角形，
根据勾股定理得：，，
，，
∴，
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键．
7．【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为， AOB的面积为．
(1)【问题解决】如图①，若，求证：
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作交于点E，过点B作交于点F，如图①所示：则
∴____________（填写位置关系）
∴____________；
∴____________；
∵；
；
∴．
(2)【探索推广】如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图③，在上取一点，使．过点作交于点，点为的中点，交于点，且，若，求值．
【答案】(1)；；
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质及判定定理正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理得出，可得，即可得出，利用三角形面积公式即可得结论；
（2）过点作交于点，过点作交于点，可得得出，可得，即可得出，利用三角形面积公式即可得结论；
（3）如图所示，过点作交于，取中点，连接，先利用证明，得到，证明，得到，设，则，证明，推出，得出，由（2）结论求解即可得答案．
【详解】（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
故答案为：；；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴．
（3）如图所示，过点作交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：．
8．如图1，正方形和正方形，M是正方形的对称中心，交于E．
(1)猜想：与的数量关系为 ___________；
(2)如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠NMQ=∠ABC，直接写出：线段与线段的数量关系为 ___________；
(3)如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，探索线段与线段的数量关系，并说明理由；
(4)如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠NMQ=∠ABC，其它条件不变，直接写出的值 ___________．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
(4)m
【分析】（1）过点M作于H，于G，连接，首先证明M是正方形对角线的交点，然后证明，利用全等三角形的性质得到；
（2）由M为菱形的对称中心得到M为菱形对角线的交点，根据菱形的性质得到平分，根据角平分线性质得到与相等，然后由已知的，推导出，进而推导出，进而得到；
（3）过点M作于E，于G，利用矩形性质和已知条件证明，得出，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（4）平行四边形和平行四边形中，，由于M是平行四边形的对称中心，交于F，交于E，则．证明方法和（1）（2）类似．
【详解】（1）解：．理由如下：
如图1，过点M作于H，连接，
∵M是正方形的对称中心，
∴平分，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）．理由如下：
过点M作于H，于G．如图2，
∵M是菱形的对称中心，
∴M是菱形对角线的交点，
∴平分，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）．理由如下：
如图3，过点M作于G，则，
在矩形中，，
在四边形中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵M是矩形的对称中心，
∴，
∴，
∴；
（4）．理由如下：
如图8，过点M作于G，于点H，则，
在平行四边形中，，
∴，
，
在四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵M是平行四边形的对称中心，
∴，
∴．
故答案为：m．
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、平行四边形的性质、全等三角形、相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行推导．
9．综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．
(1)探究发现：若，求．
(2)探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值；
②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长；
（3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式．
【详解】（1）解：如图，过点E作于点Q，则，
在矩形中，，
四边形为矩形，
，
；
，
，
；
，
，
；
（2）解：①过点E作于点Q，如图所示；
矩形沿直线折叠，
；
故由（1）知，；
由勾股定理得，
；
②如图，过G点作于点P；
则，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理即得；
（3）解：如图，连接，过点E作于点Q，
由翻折性质得；
由（1）知，，
，
；
四边形是矩形，
，
；
在中，由勾股定理得,
即
整理得：，
即y与x的函数关系式为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
10．在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与 ABC的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与 ABC的边分别交于M、N两点．
(1)老师提了一个问题：试证明．
小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题．
请帮小丽继续完成证明过程．
证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结；
(2)如图2，小昆另取一块与 ABC相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、．
①小昆猜想：，请帮他给出证明；
②图2中始终与相等的线段有 ；
③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②；③
【分析】（1）①由“”可证，可得，根据直角三角形中运用勾股定理，即可得结论；
（2）①证明A，C，N，H四点共圆即可解题；
②证明，得到，然后根据等角对等边得到即可得到结论
③连接，推导，则可得到，然后根据即可证明结论．
【详解】（1）由旋转可知：，，，，
∵，，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴A，C，N，H四点共圆，
∴，
∵，
∴；
②解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴
，
由①可知，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：、；
③连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11．问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．
阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点重合，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．
观察发现：
（1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是________；位置关系是 ；
探索猜想：
（2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
（3）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；；（2）成立；理由见解析；（3）当，A，三点共线时，线段的长为或
【分析】（1）延长，交于点I，根据题意，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（2）设与的交点为I，与的交点为M,根据（1）中的思路，同理证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（3）考虑两种情况，即：点F在的延长线上或点F在线段的延长线上，作对应的辅助线，通过相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点I，
四边形是矩形，
，
根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
故答案为：；．
（2）成立；理由如下：
如图，设与的交点为I，与的交点为M，
四边形和四边形是矩形，
，
，
即，
根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，
，，
,
，
，即，
，
，
，
，
．
（3）①当点F在的延长线上时，如图所示，
作交的延长线于点K，
求得，
，，三点共线，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
②当点F在线段上时，如图所示，
过点H作的垂线，交于点N，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
综上所述，当，A，三点共线时，线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，余角的性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．
12．如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
（1）证明：；
【探索发现】
（2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，，理由见解析；（3）
【分析】（1）先根据正方形的性质证明，再结合旋转即可证明；
（2）过点作交于点，先根据正方形的性质证明，从而得到，再根据可证，即可证明；
（3）取的中点，连接，根据题意表示出的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线，再根据条件证明即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
．
由旋转得：，
∴；
（2）解：图1补充完整
猜想．
理由如下：过点作交于点，
则，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图2，取的中点，连接，
，
点是的中点，
，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，，，三点共线，
四边形是正方形，
，，，
在中，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键．
13．如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是 ABC的中线，，垂足为，称 ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设．
【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．
【答案】（1），，，；（2），理由见解答．
【分析】（1）如图1，由，，得到，根据相似三角形的判定与性质列比例式可得，长，由勾股定理计算和的长，最后由中线的定义可得和的长即可；如图2，同理根据含角的直角三角形的性质可得结论；
（2）设，，由得到，，再由勾股定理可得结论即可．
【详解】解：特例探索：①如图1．连接，
，是的中线，
，
，
当，时，，
，是的中线，
，
∴，又，
，
，
由勾股定理得：，
，
，；
②如图2，连接，
当，时，
在中，，，
，，
，
∴，
，
，，
由勾股定理得：，
，
，；
故答案为：①，；②，；
归纳证明：猜想：，理由如下：
如图3，连接，
，是的中线，
是的中位线，
，且，
，
设，，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中线，三角形中位线，含30角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据条件表示相关的线段是解本题的关键．
14．综合与实践
问题背景：
活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接．
探索发现：
（1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为__________；
（2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题：
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时点F到边所在直线的距离；
拓展延伸：
（3）如图3，博闻小组画出了点E在线段延长线上时的情形，与交于点P．若点P是线段的三等分点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）或
【分析】（1）由正方形的性质得出，，，再由等腰三角形的性质即可得解；
（2）①作于，，证明，得出，证明即可得出结论；②由①可得：，即可得出答案；
（3）作于，作交于，证明得出，证明，得出，设，则，，由点是线段的三等分点，得出或，得到或，分两种情况，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：（1）四边形、为正方形，
，，，
，
此时点到边所在直线的距离为；
（2）①如图，作于，，
四边形、为正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，
，
；
②由①可得：，
此时点到边所在直线的距离为；
（3）如图，作于，作交于，
四边形、为正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
点是线段的三等分点，
或，
或，
或，
当时，
，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
当时，
，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
15．如图，在中，，，点是的中点，交于点，为上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，探索与的数量关系，并说明理由；
(3)当时，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】
（1）证明，利用全等三角形的性质即可得结论；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可得结论；
（1）证明，利用相似三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）
证明：，，
是等边三角形，
，，
点是的中点，，
，，，，
，
由旋转得，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）
解：，
理由：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
由旋转得，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，，
，
，
；
（3）
解：过点作于，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由旋转得，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．综合与实践：
【问题情境】
在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点，然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．
【观察发现】
如图2，当时，小组成员发现，易得，．
【探索猜想】
（1）如图3，当时，【观察发现】中发现的结论，是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）在矩形旋转过程中，当C，A，F三点共线时，请求出线段的长．
【答案】（1）结论，仍然成立，理由见解析；（2）或．
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键．
（1）设与的交点为I，与的交点为M，根据（1）中的思路，同理证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（2）考虑两种情况，即：点F在的延长线上或点F在线段的延长线上，作对应的辅助线，通过相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：结论，仍然成立，理由如下：
如图，设与的交点为I,与的交点为M,
四边形和四边形是矩形，
，
即，
根据图1中，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点，
，，
,
，
，即，
，
，
,
，
．
（2）解：①当点F在的延长线上时，如图所示，
作交的延长线于点K，
求得，
，，三点共线，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
①当点F在线段上时，如图所示，
过点H作的垂线，交于点N，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
综上所述，当，，三点共线时，线段的长为或．
17．在中，．
【探索发现】
（1），直线m经过点C，过点A，B分别作于点D，于点E．
①如图1，请直接写出三者之间的等量关系______；
②将直线m绕着点C逆时针旋转，使得直线m与边相交且，其他条件不变，上述结论是否成立？在图2中画出图形，写出你的结论并证明；
【迁移运用】
（2）如图3，若D，E分别是上的点，且，，连接，相交于点F，求的度数；
（3）若D，E分别是，延长线上的点，且，直线，相交于点F．若，直接写出的值是________．
【答案】（1）①，②，证明见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）①由“”可证，可得，，即可求解；
②由“”可证，可得，，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，通过 四边形是平行四边形，可得，即可求解；
（3）通过证明，可得，通过证明四边形是平行四边形，可求，由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）①，，
，
，
，
又，
，
，，
，
即；
②如图，，理由如下：
，，
，
，
，
又，
，
，，
；
（2）如图，过点作，且，连接，，
，
，，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）如图，过点作，且，连接，，过点作于，
，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
（负值舍去），
，，
，
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（1）问题背景
如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．
结论： （用含n的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3）
【分析】（1）延长、交于点，先证明是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得，然后证明可得，进而证出；
（2）延长、交于点，先利用证明，得出，则，再证明，根据相似三角形对应边的比相等及即可得出；
（3）同（2），延长、交于点，先利用证明，得出，则，再证明，根据相似三角形对应边的比相等及即可得出．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，延长、交于点．
，交直线于，
．
平分，
，
，
，
，
．
中，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）结论仍然成立．理由如下：
如图2，延长、交于点．
，，，
，
又，，
，
，
．
，
，
又，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）．理由如下：
如图3，延长、交于点．
，，，
，
又，，
，
，
．
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题．
19．【探索与发现】
（1）如图1，在四边形中，，对角线、相交于，则成立吗？试说明理由．
（2）如图2，对于四边形中，对角线、相交于，则的结论是否成立？
【应用与综合】
在图（3）的情形下，比较大小： （填>、=、<）．
在图（4）的情形下，比较大小： （填>、=、<）．
【拓展与延伸】
如图5， ABC的内部任取一点连接、、并延长，分别交对边于点、、，则 ．
【答案】[探索与发现]（1）成立，理由见解析；（2）成立；[应用与综合]；；[拓展与延伸]1
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
[探索与发现]（1）证明，则，由平行线间的距离处处相等可得，进而结论得证；
（2）如图2，作于，于，则，则，证明，则，进而可得；
[应用与综合]如图3，作于，于，则， ，证明，则，进而可得；
如图4，作于，于，则，同理（3）求解即可；
[拓展与延伸]
由（3）可知，，然后代值求解即可．
【详解】[探索与发现]（1）解：成立，理由如下；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
（2）解：成立；
如图2，作于，于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
[应用与综合]
解：如图3，作于，于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
解：如图4，作于，于，则，
同理（3）可得，，，
∴，
故答案为：；
[拓展与延伸]
解：由（3）可知，，
∴，
故答案为：1．
20．数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点，分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？
并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
(1)在射线上取点，使，把绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
(2)在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)，
【分析】（1）①根据题目的描述，完成作图即可；②利用“”证明，根据全等三角形的性质，即可证明；
（2）由旋转的性质可知，，，由（1）可知，，易知，，连接，交于点，根据“两点之间，线段最短”可知当与重合时，取最小值，在中利用勾股定理可解得，即的最小值为；此时，过点作，垂足为， ，则，证明，由相似三角形的性质列式求得的值，即可求得此时的长度．
【详解】（1）解：①尺规作图的结果如图所示；
②证明：∵，
∴，
又∵，，
∴
∴；
（2）∵，，
∴，，
由旋转的性质可知，，，
由（1）可知，，
∴，，
如下图，连接，交于点，
∵点，均为固定点，
则，
当与重合时，取最小值，
此时，
∴的最小值为，
当与重合时，过点作，垂足为，
则，即为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练运用旋转的性质和全等三角形的性质是解题关键．
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专题突破八：相似三角形综合之探究题型（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在 ABC中，，，，求证：、互相平分．
（1）请结合图1，写出证明过程：
证明：连结、．
，，
______．同理可得______．
____________．
∴，互相平分．
【探索应用】
（2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点．
①求证：；
②求的值；
（3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值．
2．在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系．
【问题初探】
小明同学就等边三角形．给出了方法：如图：1，在上截取，连接，易证，∴．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数．
（1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数：图2中________；图3中________；正边形中________．
【类比探究】
（2）如图4， ABC是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在矩形中，，交于点，，，．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积．
3．【教材呈现】
（1）如图1，在正方形中，E是上的一点，绕点A逆时针旋转后得到，在边上取点G，连接、，使得，求证：．
请补全下列证明过程：
证明：绕点A逆时针旋转后得到，此时与重合，
由旋转可得：，，，，．
∴，因此，点G，D，F在同一条直线上．
【探索发现】
（2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 （用含有a的式子表示）．
②如图2，在四边形中，，∠B=90°，，E是的中点，且，则的长 ．
【拓展迁移】
（3）如图3，在正方形中，E是上的一点，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．
4．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，，是 ABC的中线，，垂足为．像 ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
特例探索
（1）①如图1，当，时，______，______；
②如图2，当，时，______，______；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，求的值．
5．综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，
【探索发现】
操作一：如图①，取一张矩形纸片．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，在上取一点H，连结，，总有．
操作二：如图②，第二次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，把纸片展平，连接，，，由，，知是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个的角：__________．
【探究提升】
如图③，延长交于点G，求证：是等边三角形．
【拓展应用】
如图④，第三次折叠纸片，使点D落在上的点Q处，并使折痕经过点C，得到折痕，把纸片展平，连结，．若点Q在点N的左侧，，则矩形的面积为__________．
6．【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．
【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．
7．【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为， AOB的面积为．
(1)【问题解决】如图①，若，求证：
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作交于点E，过点B作交于点F，如图①所示：则
∴____________（填写位置关系）
∴____________；
∴____________；
∵；
；
∴．
(2)【探索推广】如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】如图③，在上取一点，使．过点作交于点，点为的中点，交于点，且，若，求值．
8．如图1，正方形和正方形，M是正方形的对称中心，交于E．
(1)猜想：与的数量关系为 ___________；
(2)如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠NMQ=∠ABC，直接写出：线段与线段的数量关系为 ___________；
(3)如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，探索线段与线段的数量关系，并说明理由；
(4)如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠NMQ=∠ABC，其它条件不变，直接写出的值 ___________．
9．综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．
(1)探究发现：若，求．
(2)探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．
10．在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与 ABC的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与 ABC的边分别交于M、N两点．
(1)老师提了一个问题：试证明．
小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题．
请帮小丽继续完成证明过程．
证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结；
(2)如图2，小昆另取一块与 ABC相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、．
①小昆猜想：，请帮他给出证明；
②图2中始终与相等的线段有 ；
③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ．
11．问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．
阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点重合，点，分别落在，边上时，点，恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．
观察发现：
（1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是________；位置关系是 ；
探索猜想：
（2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
（3）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长．
12．如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
（1）证明：；
【探索发现】
（2）延长交直线于点，请将图1补充完整，猜想此时线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若，延长至点，使，连接．当的周长最小时，请求线段的长．
13．如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是 ABC的中线，，垂足为，称 ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设．
【特例探索】
①如图1，当时，______，______；
②如图2，当时，______，______．
【归纳证明】
请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系．
14．综合与实践
问题背景：
活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接．
探索发现：
（1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为__________；
（2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题：
①判断线段与的数量关系，并说明理由；
②直接写出此时点F到边所在直线的距离；
拓展延伸：
（3）如图3，博闻小组画出了点E在线段延长线上时的情形，与交于点P．若点P是线段的三等分点，请直接写出此时的长．
15．如图，在中，，，点是的中点，交于点，为上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，探索与的数量关系，并说明理由；
(3)当时，，请直接写出的长．
16．综合与实践：
【问题情境】
在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点，然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与．
【观察发现】
如图2，当时，小组成员发现，易得，．
【探索猜想】
（1）如图3，当时，【观察发现】中发现的结论，是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）在矩形旋转过程中，当C，A，F三点共线时，请求出线段的长．
17．在中，．
【探索发现】
（1），直线m经过点C，过点A，B分别作于点D，于点E．
①如图1，请直接写出三者之间的等量关系______；
②将直线m绕着点C逆时针旋转，使得直线m与边相交且，其他条件不变，上述结论是否成立？在图2中画出图形，写出你的结论并证明；
【迁移运用】
（2）如图3，若D，E分别是上的点，且，，连接，相交于点F，求的度数；
（3）若D，E分别是，延长线上的点，且，直线，相交于点F．若，直接写出的值是________．
18．（1）问题背景
如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．
结论：线段与的数量关系是 （请直接写出结论）；
（2）类比探索
在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）中，如果，且，其他条件均不变（如图，请你直接写出与的数量关系．
结论： （用含n的代数式表示）．
19．【探索与发现】
（1）如图1，在四边形中，，对角线、相交于，则成立吗？试说明理由．
（2）如图2，对于四边形中，对角线、相交于，则的结论是否成立？
【应用与综合】
在图（3）的情形下，比较大小： （填>、=、<）．
在图（4）的情形下，比较大小： （填>、=、<）．
【拓展与延伸】
如图5， ABC的内部任取一点连接、、并延长，分别交对边于点、、，则 ．
20．数学课上，老师给出题目：如图所示，在中，，点，分别是边和边上的动点，且，连接，．请探究是否存在最小值？
并说明理由．
嘉淇的想法是把和转移到某处，并使它们“接在一起”，然后利用“两点之间，线段最短”尝试探索，并成功解决了问题．以下是她的探索思路，请你按要求补充具体解题过程．
(1)在射线上取点，使，把绕点顺时针旋转，使点落在点处，点落在点处．
①请你运用尺规作图（保留作图痕迹，不用给出证明），作出，并连接；
②求证：．
(2)在（1）的基础上，请你通过探索，求出的最小值，并直接写出此时的长度．
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