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专题突破：相似三角形动点问题（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在 ABC中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与 ABC相似．
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：设经过秒时，与相似，则，，
∴，
∵，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上可知，经过或时，与 ABC相似，
故选：．
2．如图，在 ABC中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解．
【详解】解：如图2，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，，
，，，
，
点由点出发沿方向向点匀速运动，点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为
∴，
，，
，
∴，
，
，
，
，
又，
，
解得，
，
当四边形是菱形时，的值为；
故选A．
3．如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的性质，平行四边形得到性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据题意得到，，然后分和两种情况讨论，进而求解即可．
【详解】∵动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
当时，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
当时，
∴，
∴，
∴，故原方程无解，
综上所述，t的值为．
故答案为：．
4．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ．
【答案】或20
【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况．
【详解】解：设运动时间为，
当时，有，
即，
解得：，
∴，
当时，有，
即，
解得：或（舍去），
∴，
综上所述，当或时，与相似，
故答案为：或20．
5．如图，在 ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与 ABC相似．
【答案】或
【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解．
【详解】解：和是对应边时，，
，
即，
，
和是对应边时，，
，
即，
，
综上所述，当或时，与相似，
故答案为：或．
6．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．当运动2秒时， ，在整个运动过程中，点P所经过的路径长是 ．
【答案】 12
【分析】
根据矩形性质、中点性质即可求得，如图1中，连接交于点，连接，首先证明，利用勾股定理求出．由，推出点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是，求出，再利用弧长公式求解．
【详解】
解：四边形是矩形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
当运动2秒时，，
，
连接交于点，连接，如图1，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是，
此时，，
，
，，
平分，
，
，
，
点的运动轨迹的长．
故答案为：12，．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为.
(1)为何值时面积为9？
(2)当与 ABC相似时，的值是多少？
【答案】(1)的值为3时面积为9
(2)或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定，解题的关键是第二问注意分情况讨论．
（1）经过t秒，的面积等于9，先用含t的代数式分别表示和的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；
（2）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
，
当时，，
解得，
的值为3时面积为9；
（2）解：分两种情况，
当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上可知，当与相似时，的值是或．
8．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)__________；
(2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值；
(3)设点O是的中点，当与 ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【答案】(1)10
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
（1）根据勾股定理直接求解；
（2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解；
（3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得,
∴，
故答案为：10．
（2）解：由题意，得，，
①当时，，
∴，
∴，
解得，
②当时，，
∴，
∴，
解得，
综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似．
（3）解：当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
当时，如图所示，
∵点O是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或或．
9．在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与 AOB相似？
(3)当秒时，四边形的面积为多少个平方单位？
【答案】(1)
(2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似
(3)四边形的面积为平方单位
【分析】（1）设直线的解析式为，将点、点代入，利用待定系数法即可求解；
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，应分和两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值；（3）过点Q作于点M，由就可以求出的值，就可以求出面积．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点、点代入得
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：中，，
由勾股定理可得，，
又知，
分两种情况：
当时，有，
，
解得；
当时，有，
，
解得，
综上所述：当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似；
（3）解：当秒时，，
过点Q作于点M，易得，
，
即，
解得，
的面积为：（平方单位），
四边形的面积为：（平方单位）．
【点睛】本题时一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质及不规则四边形的面积，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
10．如图，在 ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)是否存在某一时间，使得和 ABC相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)秒或秒
(2)秒或秒
【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键．
（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解；
（2）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可．
【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，
∴，，
∴．
设经过秒钟，使的面积为，
∵，，，
∴，
∴，
∴解得：，，
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为．
（2）解：设经过秒钟，使和相似，
∵，
当使时，和相似，
即，
解得：；
当使时，和相似，
即，
解得：．
∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似．
11．如图， ABC中，厘米，厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似时，运动时间是多少？
【答案】当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是秒或4秒
【分析】此题考查了相似三角形的性质此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用；设运动了，根据题意得：，然后分别从当与当时去分析求解即可求得．
【详解】设运动了，根据题意得：
则
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
∴当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是秒或4秒．
12．如图，在 ABC中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒．
(1)①求是直角三角形时的值；
②求的面积关于时间（秒）的函数关系式；
(2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)①当的值为或时，是直角三角形；②
(2)当的值为或或时，为等腰三角形
【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；结合相似三角形的性质列式求解即可；
②如图所示，过点作于点，运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积的计算方法即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可．
【详解】（1）解：①在中，，
∴（），
∴点从的时间为：，点从的时间为：，
∴，
当运动时间为秒时，，，，，
是直角三角形，分两种情况讨论：
第一种情况：当时，即，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴当时，是直角三角形；
第二种情况，当时，即，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴当时，是直角三角形；
综上所述，当的值为或时，是直角三角形；
②如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积关于时间（秒）的函数关系式为：；
（2）解：由上述计算可得，，
当为等腰三角形，分类讨论：
第一种情况：当时，如图所示，过点作于点，
∵为等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴当时，为等腰三角形；
第二种情况，当时，如图所示，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴当时，为等腰三角形；
第三种情况：当时，如图所示，
∴，
解得，，
∴当时，为等腰三角形；
综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查点的运用与函数的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程等知识的综合，理解点的运用与线段的数量关系，函数关系式的计算方法，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，图形结合分析思想是解题的关键．
13．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与 ABC相似？
【答案】(1)
(2)64，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
(3)或
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，根据点的运动方式结合相似三角形相关性质列出关系式是解题的关键；
（1）分别用t表示出和，则按求解即可；
（2） 结合（1）的结论，在中，，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变；
(3)分和两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）四边形是矩形，，，
，，，
点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，
，，，
∵当时，是等腰直角三角形，
∴即，
∴当时，△AQP是等腰直角三角形；
（2）∵在中，，边上的高，，
在中，，边上的高，
，
，
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
（3）根据题意，可分为两种情况，
在矩形ABCD中：
①当时， ，
，
解得，
②当时， ，
，
解得，
所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似．
14．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
(1)当动点运动时间 秒时， BDE与 ABC相似．
(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
【答案】(1)或
(2)当时，秒．理由见解析．
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
1）当，即时，
；
，即，
．
２）当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
15．已知 ABC中，，，，．点从点出发，沿运动，速度为，同时点从点出发，沿运动，运动速度为，一个点到达终点，另一点也停止运动．设 的面积为，点，运动时间为．
(1)求的长；
(2)用含t的代数式表示；
(3)求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，；
(3)
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算、函数解析式的确定．
（1）根据勾股定理求出，根据题意求出；
（2）分、两种情况，求出；
（3）分、、三种情况，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）在中，，，，
则，
，
；
（2）当时，，
当时，；
（3）当时，，，
，
；
当时，，，
，
，
当时，过点作于，
，
∴，
，
，即，
解得：，
，，
，
，
综上所述：．
16．如图在 ABC中，是边的高线，，动点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．当点P出发后，过点P作．交折线于点Q，以为边作正方形，使点N在直线上，且与始终在的同侧．设正方形与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t秒．
(1)当点N与点B重合时，t的值为 ；
(2)当点P在线段上，且正方形与 ABC重叠部分图形是五边形时，求t的取值范围；
(3)当正方形与 ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、列函数解析式等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）由题意可得和都是等腰直角三角形，；利用等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）当点M在上时，设交于点E，则，得到，代入数值即可得到答案；
（3）分情况利用数形结合进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
如图，则（N、B重合），
∵，，
∴，
解得；
故答案为：3
（2）如图，当点M在上时，设交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
由（1）可知，点N与点B重合时，t的值为，
则当重叠部分是五边形时，t的取值范围是
（3）①当时，重叠部分是正方形，如图，
∴，
当时，重叠部分是梯形，如图，
∵，
∴
∴,
即,
∴，
∵
∴，
当点M在上时，由得，
，
由得到正方形边长为，
∴，
∴，
当时，重叠部分是正方形，
∴，
∴S与t之间的函数关系式为
17．如图，在中，，点在线段上，，过点作交线段于，点以每秒1个单位的速度沿折线段运动．设点的运动时间为的面积为．
(1)的长为______．
(2)当点落在上时，求的值；
(3)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）勾股定理求得，进而可得，勾股定理，即可求解；
（2）当点落在上时，，则，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）当时，过点作于，则，证明，求得，然后根据三角形的面积公式，即可求解；当时，过点作于点，过点作于点，证明，，，求得，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴
∵
∴
在中，
（2）解：如图所示，当点落在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得
∴
∵点以每秒1个单位的速度沿折线段运动．
∴
（3）解：当时，如图所示，
过点作于，则
∵，
∴，
∴，
∴，即，则
∵，
∴
∴，即
∴
解得：
∴；
当时，如图所示，
过点作于点，过点作于点，
∵
∴
∴，即，
∴，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，
18．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）过点作于，得矩形，则，，，由勾股定理可求得的长，从而可得；
（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；
（3）分和两种情况考虑，再由相似三角形的性质即可求得的值．
【详解】（1）解：过点D作，如图所示，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，
．
（2）①当时，则有，
，
解得．
②当时，则有，
，解得．
综上所述，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似；
（3）①当时，为直角三角形，如图，
过点作于，于，
，
，
，
，
，
，
，即，
∵，
，
，，
，，
，
由，得，
解得．
②当时，为直角三角形，如图：则，
，
，
，即，
解得．
综上所述，当或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
19．如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向向点B运动，速度为，同时点Q从点B出发沿方向向点A运动，速度为，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
(1)求、的长；
(2)设点P的运动时间为x（秒），的面积为y，当存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为定点的三角形与 ABC是否相似，请说明理由．
【答案】(1)，
(2),
(3)不相似，理由见解析
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
（1）由在中，，，，设设，，由勾股定理即可求得、的长；
（2）分别从当点Q在边上运动与当点Q在边上运动去分析，首先过点Q作的垂线，利用相似三角形的性质即可求得的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由，可得，由相似三角形的对应边成比例，求得各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似．
【详解】（1），
设，，
在中，，，
，
即，
解得：，
，；
（2）分两种情况：
①当点Q在边上运动时，过点Q作于H．
，
，，
，
，
点P的运动时间为x（秒），速度为，点Q速度为，
设，则，，
，，
，
，
；
②当点Q在边上运动时，过点Q作于，
，
，
，
，
，，
，
；
；
（3）当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似．理由如下：
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，，
，
，
，
，
当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为顶点的三角形与不相似．
20．如图，在矩形中，，．点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为（）．
(1)当秒时，的值是多少？
(2)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由；
(3)写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析
(3)
【分析】本题考查四边形中的动点问题，相似三角形的判定和性质，求动点的函数关系式．掌握相关判定和性质，是解题的关键．
（1）利用分割法求出三角形的面积即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可；
（3）分，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，当秒时，，
∴，
由
（2）当点F在矩形的边上移动时，．
在和中，．
由题意可知：
分两种情况讨论
①若．即，解得．
所以当时，．
②若．即，解得．
所以当时，．
综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
（3）①当时，点E、F、G分别在边上移动此时，如图，
．
，
．
②当时，点E在边上移动，点F、G都在边上移动，如图所示：
此时．，．
；
即 （），
∴．
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专题突破：相似三角形动点问题（20道）
【压轴专练】
一、综合题（本题组共20道解答题，每题5分，总分100分）
1．如图，在 ABC中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（ ）秒时与 ABC相似．
A． B．或 C．或 D．
2．如图，在 ABC中，，，．如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形中，．动点E从点A出发，以的速度向点D运动，运动到点D停止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动．若与相似，则t的值为 ．
4．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ．
5．如图，在 ABC中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与 ABC相似．
6．在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．当运动2秒时， ，在整个运动过程中，点P所经过的路径长是 ．
7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为.
(1)为何值时面积为9？
(2)当与 ABC相似时，的值是多少？
8．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)__________；
(2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似，求t的值；
(3)设点O是的中点，当与 ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
9．在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与 AOB相似？
(3)当秒时，四边形的面积为多少个平方单位？
10．如图，在 ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)是否存在某一时间，使得和 ABC相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
11．如图， ABC中，厘米，厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似时，运动时间是多少？
12．如图，在 ABC中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒．
(1)①求是直角三角形时的值；
②求的面积关于时间（秒）的函数关系式；
(2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值．
13．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与 ABC相似？
14．如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
(1)当动点运动时间 秒时， BDE与 ABC相似．
(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
15．已知 ABC中，，，，．点从点出发，沿运动，速度为，同时点从点出发，沿运动，运动速度为，一个点到达终点，另一点也停止运动．设 的面积为，点，运动时间为．
(1)求的长；
(2)用含t的代数式表示；
(3)求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
16．如图在 ABC中，是边的高线，，动点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．当点P出发后，过点P作．交折线于点Q，以为边作正方形，使点N在直线上，且与始终在的同侧．设正方形与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t秒．
(1)当点N与点B重合时，t的值为 ；
(2)当点P在线段上，且正方形与 ABC重叠部分图形是五边形时，求t的取值范围；
(3)当正方形与 ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
17．如图，在中，，点在线段上，，过点作交线段于，点以每秒1个单位的速度沿折线段运动．设点的运动时间为的面积为．
(1)的长为______．
(2)当点落在上时，求的值；
(3)求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
18．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（），延长，，两延长线相交于点，当为直角三角形时，求的值．
19．如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向向点B运动，速度为，同时点Q从点B出发沿方向向点A运动，速度为，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
(1)求、的长；
(2)设点P的运动时间为x（秒），的面积为y，当存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当点Q在上运动，使时，以点B、P、Q为定点的三角形与 ABC是否相似，请说明理由．
20．如图，在矩形中，，．点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为（）．
(1)当秒时，的值是多少？
(2)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由；
(3)写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
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