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第5章 一次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 项城市校级期中）在中，常量和变量分别是
A．常量是4；变量是 B．常量是；变量是
C．常量是3；变量是， D．常量是；变量是，
【答案】
【解析】在中，常量是；变量是，，
故选．
2．（2023秋 上城区校级月考）下列图形中的曲线不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、能表示是的函数，不符合题意；
、能表示是的函数，不符合题意；
、对于部分，对应2个值，不能表示是的函数，符合题意；
、能表示是的函数，不符合题意；
故选．
3．（2023秋 建平县校级期中）函数中自变量的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
【答案】
【解析】由题意得，，，
解得，，
故选．
4．（2023秋 婺城区校级月考）若函数是一次函数，则的值为
A． B． C．1 D．2
【答案】
【解析】函数是一次函数，
，
，
故选．
5．（2022秋 海曙区期末）已知正比例函数的图象中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】正比例函数中，随的增大而减小，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选．
6．（2024春 栾城区校级期末）若二元一次方程组无解，则一次函数与的位置关系为
A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合
【答案】
【解析】因为二元一次方程组无解，
则一次函数与的位置关系是平行，
故选．
7．（2023春 梁山县期末）已知一次函数的图象不过第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】一次函数的图象不过第三象限，
，
解得：，
故选．
8．（2024 舟山一模）如图，是1个纸杯和个叠放在一起的纸杯示意图，个纸杯叠放所形成的高度为，设杯子底部到杯沿底边高，杯沿高，均为常量），是的函数，随着的变化规律可以用表达式 描述．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题可知，，
因为，是常量，，是变量，
因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数．
故选．
9．（2021秋 嵊州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，且轴，直线沿轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为．图2是与之间的函数图象，则长方形的面积为
A． B．6 C．8 D．12
【答案】
【解析】如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、．
由图象和题意可得，，
则，
，
，
矩形的面积为．
故选．
10．（2024春 玉环市期末）直线与的图象交于点，下列判断正确的是
①关于的方程的解是
②当时，关于的不等式的解集是
③设直线，则直线一定经过定点
④当原点到直线的距离最大时，则．
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】
【解析】直线与的图象交于点，
直线与的图象交于点，
关于的方程的解是，
故①正确；
直线与的图象交于点，
当时，则直线过第一、二、三象限，随的增大而增大，
关于的不等式的解集是；
故②正确；
直线与的图象交于点，
，，
，，
，，
，
当时，，
直线一定经过定点，
故③正确；
点，点，
直线的解析式为，
当直线与直线垂直时，
，
，故④错误，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 拱墅区月考）已知函数是正比例函数，则 ．
【答案】．
【解析】由正比例函数的定义可得：，且，
解得：，
故答案为：．
12．（2022秋 鄞州区期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】一次函数的图象经过第一、二、四象限，
；
，
故答案为：．
13．（2022秋 宁波期末）在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为
0 1 2
5 3 1 ▲
【答案】．
【解析】设该函数的解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即该函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
14．（2020秋 婺城区校级期末）如图，正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数，，的大小关系是 ．（按从大到小的顺序用“”连接）
【答案】．
【解析】正比例函数，的图象在一、三象限，
，，
的图象比的图象上升得快，
，
的图象在二、四象限，
，
，
故答案为：．
15．（2023秋 江北区期末）已知一次函数为常数，且的图象过，，，点，若，则 ．（用或填空）
【答案】．
【解析】为常数，且，
，
，
随的增大而增大．
又一次函数为常数，且的图象过，，，点，且，
．
故答案为：．
16．（2024 宁波模拟）已知直线，，，若无论取何值，总取，，的最小值，则当 时，的值最大．（用含的代数式表示）
【答案】．
【解析】由题意可知三条直线两两相交，
由得：；
由得：；
由得：．
三个交点为：，，，，，如图，
当时，的值最小，
无论取何值，总取，，的最小值，
的值，
的值随的增大而增大，
当时，的值最大为；
当时，的值最小，
无论取何值，总取，，的最小值，
的值，
的值随的增大而减小，
当时，的值最大为．
综上，当时，的值最大．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2023春 路桥区期末）如图，直线和直线相交于点．
（1）求的值；
（2）观察图象，直接写出关于，的方程组的解．
【解析】（1）把代入，得，
解得；
（2）关于，的方程组的解为．
18．（2023秋 西湖区校级期中）已知，与成正比，与成正比．当时，；当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的取值范围．
【解析】（1）设，设，则，
根据题意得，，
解得．
，
即；
（2）把代入中：；
（3），
，
解得：．
19．（2023秋 萧山区月考）如图，一次函数的图象与过点和
（1）求函数解析式；
（2）其图象与轴，轴分别交于点，点，求线段的长．
【解析】（1）将点和代入得：
，
解得：
函数解析式为：，
（2）解：令，则；令，则；
，，
．
20．（2022秋 宁波期末）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．
（1）求点，的坐标；
（2）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标．
【解析】（1）直线与轴、轴分别交于点、，
当时，，当时，，
点，的坐标为和；
（2），，
，，
，
点在轴上，且是等腰三角形，
①当时，
，
②当时，
，
，或，，
③当时，
，
，
综上所述：点的坐标为或，或，或．
21．（2023春 西湖区月考）已知一次函数．
（1）求证：点在该函数图象上；
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值；
（3）若，点，，，在函数图象上，且，请比较与的大小，并说明理由．
【解析】（1）在中令，得，
点在图象上；
（2）一次函数图象向上平移2个单位得，
将代入得：，
解得；
（3），理由如下：
点，，，在图象上，
，，
，
，
，即，
而，
，
．
22．（2023秋 诸暨市期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【解析】（1）设，
根据题意得，解得，
；
设，
根据题意得：，
解得，
；
（2）解方程组
解得：，
出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当时，，
；
当时，，
解得；
，
选择乙种更合算．
23．（2023秋 金东区期末）定义：我们把形如的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
（1）如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数” 的图象．
（2）写出一次函数与“相反函数” 之间的性质（至少两条）．
（3）在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
【解析】（1）由题意，设一次函数的解析式为，
，
．
一次函数的解析式为．
该一次函数的“相反函数” 为．
作图如下．
（2）由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数” 之间的性质：
①两个函数的图象关于轴对称；
②两个函数的图象都过点，．（答案不唯一）
（3）由题意，作图如下．
由题意，是等腰三角形．
平分．
此时角平分线与对边的交点坐标为．
当平分时，作于，
又，
．
．
．
．
设，
．
又在中，，
．
．
，．
直线为：．
又为，
，．
过的角平分线与对边交点坐标为，．
又根据对称性，
过的角平分线与对边交点坐标为，．
24．（2022秋 海曙区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于，且的面积为56．点为线段的中点，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求点的坐标及直线的表达式；
（2）在点运动的过程中，若的面积为5，求此时点的坐标；
（3）设点的坐标为；
①用表示点的坐标；
②在点运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
【解析】（1）令，则，
，
令，则，
，
点为线段的中点，
，
的面积为56，
，
，
，
设直线的表达式为，
，
，
；
（2）设，
线段绕着点逆时针旋转得到线段，
，，
的面积为5，
，
，
，
或，
或；
（3）①如图1，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，，
，
，
，
，，
，，
点纵坐标，横坐标，
；
②如图2，当点在轴上时，轴，
此时，
；
当在直线上时，
此时，
；
时，始终在的内部（包括边界）．
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第5章 一次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 项城市校级期中）在中，常量和变量分别是
A．常量是4；变量是 B．常量是；变量是
C．常量是3；变量是， D．常量是；变量是，
2．（2023秋 上城区校级月考）下列图形中的曲线不表示是的函数的是
A． B．
C． D．
3．（2023秋 建平县校级期中）函数中自变量的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
4．（2023秋 婺城区校级月考）若函数是一次函数，则的值为
A． B． C．1 D．2
5．（2022秋 海曙区期末）已知正比例函数的图象中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
6．（2024春 栾城区校级期末）若二元一次方程组无解，则一次函数与的位置关系为
A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合
7．（2023春 梁山县期末）已知一次函数的图象不过第三象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2024 舟山一模）如图，是1个纸杯和个叠放在一起的纸杯示意图，个纸杯叠放所形成的高度为，设杯子底部到杯沿底边高，杯沿高，均为常量），是的函数，随着的变化规律可以用表达式 描述．
A． B． C． D．
9．（2021秋 嵊州市期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，且轴，直线沿轴负方向平移，在平移过程中，直线被长方形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为．图2是与之间的函数图象，则长方形的面积为
A． B．6 C．8 D．12
10．（2024春 玉环市期末）直线与的图象交于点，下列判断正确的是
①关于的方程的解是
②当时，关于的不等式的解集是
③设直线，则直线一定经过定点
④当原点到直线的距离最大时，则．
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 拱墅区月考）已知函数是正比例函数，则 ．
12．（2022秋 鄞州区期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围为 ．
13．（2022秋 宁波期末）在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为
0 1 2
5 3 1 ▲
14．（2020秋 婺城区校级期末）如图，正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数，，的大小关系是 ．（按从大到小的顺序用“”连接）
15．（2023秋 江北区期末）已知一次函数为常数，且的图象过，，，点，若，则 ．（用或填空）
16．（2024 宁波模拟）已知直线，，，若无论取何值，总取，，的最小值，则当 时，的值最大．（用含的代数式表示）
三．解答题（共8小题）
17．（2023春 路桥区期末）如图，直线和直线相交于点．
（1）求的值；
（2）观察图象，直接写出关于，的方程组的解．
18．（2023秋 西湖区校级期中）已知，与成正比，与成正比．当时，；当时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的取值范围．
19．（2023秋 萧山区月考）如图，一次函数的图象与过点和
（1）求函数解析式；
（2）其图象与轴，轴分别交于点，点，求线段的长．
20．（2022秋 宁波期末）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．
（1）求点，的坐标；
（2）若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标．
21．（2023春 西湖区月考）已知一次函数．
（1）求证：点在该函数图象上；
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值；
（3）若，点，，，在函数图象上，且，请比较与的大小，并说明理由．
22．（2023秋 诸暨市期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
23．（2023秋 金东区期末）定义：我们把形如的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”．
（1）如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数” 的图象．
（2）写出一次函数与“相反函数” 之间的性质（至少两条）．
（3）在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标．
24．（2022秋 海曙区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于，且的面积为56．点为线段的中点，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．
（1）求点的坐标及直线的表达式；
（2）在点运动的过程中，若的面积为5，求此时点的坐标；
（3）设点的坐标为；
①用表示点的坐标；
②在点运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
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