4.4相似三角形的性质及其应用（2）
教学目标：
1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
2、进一步检验数学的应用价值.
重点与难点：
1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.
知识要点：
1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.
2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.
重要方法：
1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.
2、在测量宽度时，可采用下面的方法.
教学过程：
一、复习提问
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1、相似三角形对应角相等。
∵△A′B′C′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A′ ， ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′
2、相似三角形对应边成比例。
∵△ABC∽△ABC ∴＝＝
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗？
二、例题讲解
1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着
直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，
再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m）
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？
2、如图，屋架跨度的一半OP=5m ( http: / / www.21cnjy.com )，高度OQ=2. 25 m。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m，AB在水平位置。求AB的长度。（结果保留3个有效数字）
三、练一练
1、课内练习
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF。
2、反馈练习
（1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高 4米 .
（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，
长臂OB=10米，短臂端下降
AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h应为（ A ） 。
A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米
思考题：
1、如图，已知零件的外径为 ( http: / / www.21cnjy.com )a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔
直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而
求出AB的长度。
解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD
∴△AOB∽△COD
∵ OA:OC＝AB:CD＝n
又∵CD＝b
∴AB=CD·n ＝nb
∴x＝＝
2、如图，△ABC是一块 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。
设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以＝
因此＝得 x=48（毫米）。
答：这个正方形零件的边长是48毫米。
四、课堂小结
1、相似三角形的应用主要有如下两个方面
（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)
2、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.
3、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
4、解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
五、布置作业
1、见作业本2
2、书本P117 作业题1、2、3、4、5
3、课外活动
设计题：以4～6人为一组举行一次应用相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.
D
C
A
B
A
B
C
D
A
B
C
O
P
Q
准星
A
B
E
A
B
O
C
D
F
A
O
D
B
C
5m
10m
0.9m
h
O4.4相似三角形的性质及其应用（1）
1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高 ( http: / / www.21cnjy.com )线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程。
2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对 ( http: / / www.21cnjy.com )应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质。
3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题。
1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质。
2、“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，涉及到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，证明思想的建构是本节教学的难点。
相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
根据本节课的教学内容和目标主要采用讲授法、讨论法、发现法。
教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图
情景引入学校教学楼前原有一个面积为100平方米，周 ( http: / / www.21cnjy.com )长为80米的三角形绿化地，后因道路拓宽的需要，把三角形绿化地削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米。现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 通过媒体图片，给出实际情景。我们怎样来求出三角形的周长和面积？被削去的三角形它的周长和面积与原三角形的周长和面积有怎样的数量关系？我们怎样去建构它们之间的数量关系呢？4、在全等三角形中，对应边上的高线有什么关系。那么在相似三角形中，对应边三的高线又存在什么样的关系呢？ 1、可以进行度量2、找出边长之比与周长之比的关系3、分组合作，猜想相似三角形对应边上的高线之比与相似比的关系。小组代表讲解探究过程，师生共同完成猜想的证明。 通过实际问题的情景引入激发学生的学习兴趣，在探求中出现“知识盲点”，从而激发学生探究新知的欲望。通过类比，促进解决问题的方略。
拓展延伸，形成结论相似三角形的性质：1、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。2、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。 1、在证实了相似三角形对应高线之比等于相似比后，进一步设问：相似三角形的对应中线、对应角平分线之比等于相似比吗 2、相似三角形的周长之比，面积之比与相似比又有怎样的数量关系？3、对于性质2的证明作思想解剖，通过板书给出严格的推理，并指出该方法在问题解决中的一般意义。 1、根据上述问题解决的经验，学生独立完成相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的证明过程，选两名学生分别进行板演。2、通过相似变换分小组分别作出一对相似三角形（分钝角、直角、锐角），通过度量和计算，形成感知。3、师生共同归结相似三角形的性质。 进一步体验和运用类比思想，通过动手操作，形成对性质的感知和猜想，最后在师生共同协作下，完成证明，让学生经历建构的全过程。
运用新知，解决问题1、已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比2周长比面积比100002、如图，D、E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：（1）；（2）△ADE与△ABC的周长之比；（3）△ADE与△ABC的面积之比.3、课本例题讲评4、师生共同解决情景问题 1、运用相似三角形的性质解决前两个习题。注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。2、通过课本例题和课前实际问题的解决，进一步强化性质的应用，并强调周长之比与面积之比与相似比的关系（如：切莫把AD：BD当成相似比） 1、学生口答第一题2、独立完成第二题分别有三名学生讲解解题过程3、看课本例题，讲述解决这个问题的思想方法、步骤及其应注意的问题4、合作学习，共同完成提出的实际情景问题。 学生通过动手动脑及其合作学习，掌握新知运用新知，并在解决实际问题中掌握问题解决的策略，体验数学学习的作用。
加强训练，巩固新知1.若两个相似三角形的相似 ( http: / / www.21cnjy.com )比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm，面积为12cm2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？4、在△ABC中，DE∥BC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S△ADE∶S四边形DBCE的比为______5、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD＝DF＝FB，则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=______ 教师巡视，对学生学习提供指导，并对学生解答作出评价 独立完成习题，作自我检查，并自由的主动上台板演，再有学生上台进行对错批改 1、知识的强化2、检阅和反馈学生新知掌握的情况3、增强学生学习的自信心4、提高学生对数学问题的判断能力
变式训练，拓广研究1、过E作EF//AB交BC于F，其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？四边形BDEF面积为多少？2.若设，，请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？3、类比猜想如图，DE//BC，FG//AB，MN//AC，且DE、FG、MN交于点P。若记，，请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？ 从特殊到一般，教师逐步地层层分析，猜想方向，证明思路。 学生在教师的指导下，开展小组合作，分部探究。 既满足学有余力学生的需求，又使大部分学生知识与技能得到提高，更指导学生学习知识研究知识的一般途径
课堂小结说说相似三角形的性质谈谈本节课你学到的数学思想告诉你的同桌，性质运用时的一般方略和应注意的问题 教师聆听，适时补充，恰当评价 学生畅谈，与同伴交流，提出观点 让学生再一次经历知识的产生、发展和应用过程，巩固新知，提炼方法
作业布置作业本和指导丛书的4.4（1）期中作业本的第7题和丛书的第9题为选做 使不同的学生得到不同的发展
教学目标
重点与难点
知识要点
教学方法
教学过程
