3.6圆内接四边形练习
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选择题
1.（2014 安徽模拟）如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，折痕分别交AB、AC于D、E，若BC=5，则线段DE的长为（B）
（2012 咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ A）
A.
（2012 黄陂区模拟）如图所示，△ABC是⊙O的内接正三角形，四边形DEFG是⊙O的内接正方形，EF∥BC，则∠AOF为（ C ）
A.125° B.130° C.135° D.140°
4.（2009 来宾）如图，正方形的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB，CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（ ）
（2008 安顺）如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A.60° B.65° C.72° D.75°
（2006 永州）如图，在半径为R的圆内作 ( http: / / www.21cnjy.com )一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
（二）解答题
1.（2014 安徽名校一模）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD DC=PA BC．
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（2007 绵阳）如图，△ABC中，E、F ( http: / / www.21cnjy.com )分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
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3.（2006 韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
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4.（2005 荆门）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF
（1）求证：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．
（2004 烟台）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，
（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；
（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．
请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．
6.（2000 福建）已知：如图，圆内接四边形ABCD，过C点作对角线BD的平行线交AD的延长线于E点．
求证：DE AB=BC CD．
7．如图1，已知△ABC，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
8.（1）已知：如图1，四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．
如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中=，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB=AD+2BE；
（2）若∠B=60°，AD=6，△ADC的面积为，求AB的长．
（2012 江干区一模）如图，一只 ( http: / / www.21cnjy.com )纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，AB=18，AD=9，r=3．
（1）求纺锤的表面积；
（2）一只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．
11.(2010.桥西区模拟)如图，圆锥的底面半径为10cm，高为．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
1.（2014 安徽模拟）如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，折痕分别交AB、AC于D、E，若BC=5，则线段DE的长为（B）
（2012 咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ A）
A.
（2012 黄陂区模拟）如图所示，△ABC是⊙O的内接正三角形，四边形DEFG是⊙O的内接正方形，EF∥BC，则∠AOF为（ C ）
A.125° B.130° C.135° D.140°
4.（2009 来宾）如图，正方形的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB，CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（ ）
（2008 安顺）如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A.60° B.65° C.72° D.75°
（2006 永州）如图，在半径为R的圆内作 ( http: / / www.21cnjy.com )一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（ ）
（二）解答题
1.（2014 安徽名校一模）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD DC=PA BC．
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（2007 绵阳）如图，△ABC中，E、F ( http: / / www.21cnjy.com )分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
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3.（2006 韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
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4.（2005 荆门）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF
（1）求证：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．
（2004 烟台）已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，
（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；
（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；
（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．
请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．
6.（2000 福建）已知：如图，圆内接四边形ABCD，过C点作对角线BD的平行线交AD的延长线于E点．
求证：DE AB=BC CD．
7．如图1，已知△ABC，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．
8.（1）已知：如图1，四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．
如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中=，其中CE⊥AB于E．
（1）求证：AB=AD+2BE；
（2）若∠B=60°，AD=6，△ADC的面积为，求AB的长．
（2012 江干区一模）如图，一只 ( http: / / www.21cnjy.com )纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，AB=18，AD=9，r=3．
（1）求纺锤的表面积；
（2）一只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．
11.(2010.桥西区模拟)如图，圆锥的底面半径为10cm，高为．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
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