切线长定理教案
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文档简介
《切线长定理》教学设计
1、教材分析
重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定 ( http: / / www.21cnjy.com )理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )．
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )目标 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的学习态度．
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )重点:
切线长定理是教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )重点
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank ):
切线长定理的灵活运用是教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。
求：（1）∠AFB的度数；
（2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周长和∠COD的度数。
分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四边形的内角和解决问题。
（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定 ( http: / / www.21cnjy.com )理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么∠COD的度数出来了。
学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．
(学生运用所学的知识，对图形进行分析易得)
（分析和解题略）
反思：（1）例2事实上 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．运用对比的方法让学生获得记忆的方法。
提高练习：
如图，在⊿ABC中，∠C=90 ( http: / / www.21cnjy.com )0, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB 、AC都相切，求⊙O的半径。
方法（一）
分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。
要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2
有CP=BC，从而∠BPC=450 ，OP=r，
由勾股定理知道：BP=，所以OB=
由切线长定理知道：AF=AE=2+r，
所以BF=10－(2+r)=8－r
在直角三角形OBF中有（）2=r2+ （8－r）2
解得r=1
方法（二）
分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。
要求：注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，OA。
⊿ABP的面积=⊿AOP的面积+⊿ABO的面积
有
即有，所以r=1
反思：在本题的解法中，同学们可以看 ( http: / / www.21cnjy.com )出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。
2．课堂训练：
如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组 ( http: / / www.21cnjy.com )织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。
1、教材分析
重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定 ( http: / / www.21cnjy.com )理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )．
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )目标 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的学习态度．
教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )重点:
切线长定理是教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )重点
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教学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。
求：（1）∠AFB的度数；
（2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周长和∠COD的度数。
分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四边形的内角和解决问题。
（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定 ( http: / / www.21cnjy.com )理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么∠COD的度数出来了。
学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．
(学生运用所学的知识，对图形进行分析易得)
（分析和解题略）
反思：（1）例2事实上 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．运用对比的方法让学生获得记忆的方法。
提高练习：
如图，在⊿ABC中，∠C=90 ( http: / / www.21cnjy.com )0, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB 、AC都相切，求⊙O的半径。
方法（一）
分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。
要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2
有CP=BC，从而∠BPC=450 ，OP=r，
由勾股定理知道：BP=，所以OB=
由切线长定理知道：AF=AE=2+r，
所以BF=10－(2+r)=8－r
在直角三角形OBF中有（）2=r2+ （8－r）2
解得r=1
方法（二）
分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。
要求：注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，OA。
⊿ABP的面积=⊿AOP的面积+⊿ABO的面积
有
即有，所以r=1
反思：在本题的解法中，同学们可以看 ( http: / / www.21cnjy.com )出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。
2．课堂训练：
如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组 ( http: / / www.21cnjy.com )织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。