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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.2 锐角三角函数的计算六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．中，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据，，求出的值，即可求解．
【详解】解：如下图：
∵中，，
∴，
∴．
故选：C．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角三角函数值及二次根式的加减运算，将，代入，再进行加减运算即可．熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
【详解】解：，
∴的值是．
故选：A．
3．已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可；
【详解】解：是锐角，
，
，，，
，
故选：A；
4．实数，，，，，，中无理数的个数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值，求一个数的算术平方根， 先求出特殊角的三角函数值，算术平方根，然后再根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：，，，，
其中无理数有：，，一共有2个，
故选：A．
5．在 ABC中，和都是锐角，且，，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状．
【详解】解：由题意得，，，
，，
即是等边三角形．
故选：C．
6．如图，是上的不同的四个点，是的直径，弦、相交于点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆周角定理、特殊角的三角函数值，先根据圆周角定理求出，再根据特殊角的三角函数值计算即可得到答案．熟记：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．
【详解】解：
由圆周角定理得，
，
故选：C．
7．点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答．
【详解】解：，，
点．
点关于轴对称点的坐标，
关于轴的对称点的坐标是．
故选：B．
8．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【分析】先证明，则，，由翻折得，，继而可得，则，故，因此，代入求解得，因此．
【详解】解：∵在直角梯形中，，，，
∵点E为中点，
∴，
由翻折得，，
∴，
当点P与点D重合时，此时点F的位置如图，
当点F与点C重合时，长即为点P的运动路径长，如图，
此时，连接，
∵，，
∴，
∴，，
由翻折得，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易得，，根据轴对称的性质可得，在和中运用三角函数求解即可．
【详解】解：，，，
，
，，
根据轴对称的性质可知：
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，从而求得的长度，然后根据即可求得．
【详解】连接，交于
四边形是菱形
，，
扇形的半径为3，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． ．
【答案】
【分析】此题考查实数的混合运算．代入特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
12．如图，在中，，平分交于点D，点E在上，，，，则 ．
【答案】或30
【分析】过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，设，
根据，，得出，，求出或，分别根据x的值，分两种情况求出结果即可．
【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，
∵，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：或，
经检验或都是所列方程的解，
当时，，
设，则，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，，
设，则，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
故答案为：或30．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
13．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了三角函数的值，求反比例函数解析式，得到，代入函数解析式即可解答，熟练计算三角函数的值shi2解题的关键．
【详解】解：，
，
代入函数可得，
解得，
故答案为：．
14．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
【答案】③④
【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①∵，，
∴不一定小于等于1，故①错误；
②若，则，
，
∴
∴，故②错误；
③当时，，
∴越大，对边越大，且越接近斜边，
∴越大，
∴当时，，故③正确；
④∵，，，
∴，故④正确．
故答案为：③④．
15．已知，均为锐角，且，则 ．
【答案】/75度
【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，特殊角的三角函数值．
根据绝对值和平方的非负性求出，的值，进而根据特殊角的三角函数值得到，，进而即可解答．
【详解】解：∵，，
且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：
16．如图，在中，，将绕点O旋转至的位置，且是的中点，在反比例函数上，则k的值为 ．
【答案】
【分析】由点是中点，得出根据旋转得出，再根据定理和勾股定理求出点坐标即可．
本题考查了如何确定反比例函数的关系式，利用三角函数求角度及勾股定理的应用是解题关键．
【详解】解：作 轴，
是的中点，
绕点旋转至
，
，
故答案为：
17．如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求扇形的面积，锐角三角函数．连接交于点F，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，再由阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点F，
根据题意得：，，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故答案为：
18．如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用比例式得出和的关系是解题的关键．
设，，根据，得，利用三角函数得，设，则，，利用与的面积之和是的面积的倍，列式可得结论．
【详解】解：设，，则，
，
，
，
，
即，，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果；
（2）根据特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键．
20．如图，的网格中， ABC的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，画，使得与 ABC全等；
(2)在图2中，画，使得．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，
（1）利用“”的判定方法构造全等三角形，即可作答；
（2）根据，即可构造出一类符合要求的；再根据垂直平分线的性质以及三角形外角的性质可以构造另一类符合要求的，据此即可作答．
【详解】（1）如图：
即为所求；
利用网格、勾股定理求出图中各边的长度，再根据“”即可证明；
（2）有四种情况，如图，
、、、即为所求．
证明：结合网格图可知：，，
即有，同理有；
作的垂直平分线，即有，
根据，可得：，
同理可得：．
21．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
【答案】；，理由见解析
【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出．
【详解】存在的一般关系有：，，
证明：，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．
22．已知：如图，等腰 ABC中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点.
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，得到，结合点是线段的中点，得到，得到，继而得到，证明即可.
（2）代入中，求得，，得到，过点D作于点M，根据，求得，利用勾股定理计算即可.
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，，点是线段的中点，
∴，
过点D作于点M，
∴，
解得，
∴，
根据勾股定理，得，
∴.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握相似的判定性质，直角三角形的特征量，勾股定理，三角函数是解题的关键.
23．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案．
【详解】（1）解：，，
，
设，则，
菱形，
，
，
解得，
；
（2）解：，
由（1）可得，
在，由勾股定理可得，
菱形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键．
24．如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点F，连接，取中点G，连接．
(1)依意补全图形；用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)若，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据基本作图，利用三角形全等证明猜想即可．
（2）过点G作于点N，利用等腰直角三角形的性质，正切函数，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算证明．
【详解】（1）解：根据基本作图，补图如下：
与的数量关系为，证明如下：
连接，，
∵正方形，
∴，
∵点G是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点G作于点N，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
连接，
则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，正切函数，等腰三角形的性质，熟练掌握正切函数，正方形的性质是解题的关键．
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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.2 锐角三角函数的计算六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．中，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．实数，，，，，，中无理数的个数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在 ABC中，和都是锐角，且，，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
6．如图，是上的不同的四个点，是的直径，弦、相交于点．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（ ）
A． B．5 C． D．
9．如图所示，已知在三角形纸片中，，，．在上取一点，沿进行翻折，使与延长线上的点重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，扇形的半径为3，菱形的顶点、、分别在、、上，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． ．
12．如图，在中，，平分交于点D，点E在上，，，，则 ．
13．直角坐标系内，如果函数的图象经过点，那么 ．
14．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ．
15．已知，均为锐角，且，则 ．
16．如图，在中，，将绕点O旋转至的位置，且是的中点，在反比例函数上，则k的值为 ．
17．如图，在扇形中，，在上有一点C，将绕点O顺时针旋转与交于D点，过D作交圆弧于点E，若，，求阴影部分的面积为 ．
18．如图，点、在反比例函数的图象上点在点的左侧，直线分别交轴，轴于点，，轴于点，轴于点，连结，，已知，与的面积之和是的面积的倍，则的值是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：；
（2）计算：．
20．如图，的网格中， ABC的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求完成画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，画，使得与 ABC全等；
(2)在图2中，画，使得．
21．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．
22．已知：如图，等腰 ABC中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点.
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
23．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
24．如图，正方形中，点E是边上的一点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点F，连接，取中点G，连接．
(1)依意补全图形；用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)若，用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明．
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