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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.3.1解直角三角形（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图 ABC中，，，若，，且 BEC的面积是 ADE面积的10倍，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
3．在 ABC中，，若，，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
4．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，弦垂直平分半径，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点O的对应点恰好在的中点处，与交于点C．若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．如图，是的 直径，点 在 上，点是的中点，连结交 于点，若，，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在 ABC中，，．若 ABC是锐角三角形，则边长的取值范围是 ．
12．如图，在 ABC中，，，是中线，将 ABC沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
13．如图，在中，，，，是边的中点，，垂足为．则的长为 ．
14．在 ABC中，a、b、c分别是的对边，若且，则 ABC的形状是 ．
15．如图，在中，已知，，，则 ．
16．已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ．
17．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ．
18．如图，在中，，点D在上，使，连接，点E在上，点F在上，，，若，，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，求和的长．
20．如图，在 ABC中，，，，则的长为多少？
21．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求 BCH的面积．
22．如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
24．如图，在中，，，将 ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
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专题1.3.1解直角三角形（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图 ABC中，，，若，，且 BEC的面积是面积的10倍，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．作辅助线，构建三角形高线，根据已知的三角函数值设未知数：设，则，，证明，根据相似三角形对应边成比例列式，表示出的长，根据已知的面积关系：的面积是面积的10倍，列方程解出即可．
【详解】解：如图，作于点F，
则，
设，则，，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
的面积是面积的10倍，
，
即，
整理得，
解得（舍），，
经检验，是原方程的解，
，，
由勾股定理得，
故选C．
2．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．在 ABC中，，若，，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
4．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作轴于点D，结合，，得到，
，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，根据，确定其坐标与的相同，解答即可．
【详解】解：过点A作轴于点D，
∵，，
∴，
，，
∴，
根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，
∴循环节为6，
∵，
∴坐标与的相同，
故选C．
．
【点睛】本题考查了坐标系中的点的坐标规律，勾股定理，三角函数的应用，数形结合思想，熟练掌握坐标规律是解题的关键．
5．如图，是的直径，弦垂直平分半径，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，弧长公式即解直角三角形，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．连接，根据垂径定理得到，，解直角三角形求出，利用弧长公式求出，即可得答案．
【详解】解：连接，
∵是的直径，弦垂直平分半径，，
∴，，
又∵，
，
，
，
，
故选：B．
6．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．
7．如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点O的对应点恰好在的中点处，与交于点C．若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据已知条件可得出，由平移的性质可得出，由线段中点可得出，由勾股定理可得出，再根据正弦的定义得出，根据弧长公式求出，最后由可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
由平移的性质可知，
∵恰好在的中点处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据正弦值求角的度数，弧长公式， 平移的性质，以及勾股定理， 根据正弦值求出是解题关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，过点作轴，过点作轴，连接，证明，得到，求出，即可．
【详解】解：过点作轴，过点作轴，连接，则：，
∵关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在函数的图象上，
∴；
故选C．
9．如图，是的 直径，点 在 上，点是的中点，连结交 于点，若，，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
根据圆周角定理，可知，设，则，根据勾股定理，进而求解，进而求解的面积；
【详解】解：是半的直径，
，
在中，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
，，
连接，交于点，如图：
点是的中点，
，，
，
，
，
故选：B
10．如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】过点作于，过点作于，连接，根据圆周角定理可证，则，故，从而的最小值为的长，再利用三角函数计算即可．
【详解】解：过点作于，过点作于，连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为的长，
为弧的中点，
，
在中，，
，
的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在 ABC中，，．若 ABC是锐角三角形，则边长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，作的高，，
是锐角三角形，
，在的内部，
，，
在中，，，
，
，
又，
，
故答案为：．
12．如图，在 ABC中，，，是中线，将 ABC沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
由翻折知，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
由翻折知，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，在中，，，，是边的中点，，垂足为．则的长为 ．
【答案】
【分析】考查了解直角三角形，由求出，再根据斜边中线得到，即可得到，再根据求出，最后根据求解即可．
【详解】解：，，
，
，
∵，是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．在 ABC中，a、b、c分别是的对边，若且，则 ABC的形状是 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确判断的前提．
由得出的形状是直角三角形，由，可得出的形状是等腰三角形，进而可得的形状是等腰直角三角形．
【详解】解：，
或，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
,
,
,
的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
15．如图，在中，已知，，，则 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：过点作于，
则，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
延长交于，根据等边三角形内心、外心、重心重合，根据它们的的性质得出，根据等边三角形的性质，得出，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，设点是等边三角形的重心，连接并延长交于，
∵是等边的重心，
∴也是等边的外心和内心，
∴在三条边的垂直平分线上，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵是等边的内心，
∴平分，
∴，
在中，，
，
解得，，
∴它的重心到一个顶点的距离为，
故答案为：．
17．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．通过证明，可求的长，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
点是边的中点，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．如图，在中，，点D在上，使，连接，点E在上，点F在上，，，若，，则 ．
【答案】/
【分析】在上截取，连接，过点作于点，设，则，角度推导出，则，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由可以求出，则，，最后在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在 ABC中，，求和的长．
【答案】，
【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键．
【详解】解：如图，作边上的高．
在中，
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴，．
∴．
20．如图，在 ABC中，，，，则的长为多少？
【答案】的长为
【分析】本题考查解直角三角形，过A作交线段延长线于，设长为，表示出，根据列方程求解即可得到答案；
【详解】解：过A作交线段延长线于，设长为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，
∵，，
∴，，
解得：，
∴，
答：的长为．
21．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求 BCH的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
22．如图，是的直径，为上一点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，以及勾股定理是解题的关键；
（1）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后利用同弧所对的圆周角相等可得：，从而可得；
（2）利用直径所对的圆周角是直角可得：，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后在中，利用勾股定理列出方程进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：或（舍去），
．
23．如图，在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得：或,（舍去），
即，
由（1）得：，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，在中，，，将 ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上．
(1)连接，求证：．
(2)若，求点A到直线的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明；
（2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得到．
∴，，，
∴为等边三角形，为等边三角形．
∴，，
∴．
（2）解：如图，过点A作于点D．
∵，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴点A到直线的距离为．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
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