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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.3.2解直角三角形（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长交于点C．
由题意得．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
故选B．
2．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大
C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角性质，仰角和俯角的定义，仰视角线与水平线的夹角为仰角，俯视角线与水平线的夹角为俯角，据此即可作答．
【详解】解：∵利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，
∴仰角为，俯角为，
故A和C选项是正确的，不符合题意；
如图：
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴仰角减小
故选项是错误的，符合题意；
当无人机远离水平飞行时，例如无人机飞行至时
则
∴
∴俯角减小
故选项是正确的；不符合题意．
故选：．
3．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】B
【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H，
则，
由题意可知：，海里
∴海里，，
∵，
∴，
∴
∴海里，
∵，
∴海里，
∴海里，
故选：B．
4．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
过B作，垂足为P，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
∴，
解得，
∴观测站到的距离是1．
故选：B．
5．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，米，
斜坡的坡度，
，
设米，则米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米，
这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
6．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可.
【详解】解：作于，则四边形为矩形，
∴，设米， 则米，
由勾股定理得
解得， ， 即米，
∴米，
在中，
即米，
∴(米) ，
故选： A.
7．如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数解直角三角形．根据题意可设，再利用中即可得到本题答案．
【详解】解：由题意可知，，
∴
∵为，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
点离地面的高度长为
故选：．
8．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角函数的知识是解题关键．设与交于点，，首先根据等腰三角形的性质得到，，，，然后在中求出，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，设与交于点，
∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴即两点间的距离为．
故选：D．
9．如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架，米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面EF的距离为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴；
∴，
在中，，，
∴；
∴（米）；
故选：A．
10．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
由题意，得，，
∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，某同学想要用已学过的知识测量一座古塔的高度，他在离古塔米的A处用测角仪测得塔顶的仰角为，若测角仪高米，则古塔的高为 米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点作，垂足为，根据题意可得米，米，根据锐角三角函数的定义求出的长，即可求解．
【详解】解：过点作，垂足为，如图：
根据题意可得：米，米，
在中，，
故米，
∴米，
故答案为：．
12．如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为 ．若，则所在圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握仰俯角的定义，灵活运用锐角三角函数是解题关键．连接，，则四边形为矩形，则，由是等腰直角三角形，得到，再利用特殊角的三角函数值，求出，即可求出点C距离地面的高度；延长交于点，过点作于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，利用特殊角的三角函数值，求出，进而求出，设劣弧所在的圆的圆心为，，则，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，，则四边形为矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
测角仪沿着向灯杆方向水平前进达到，
，
，
，
，
，
即点C距离地面的高度为；
如图，延长交于点，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
设劣弧所在的圆的圆心为，，则，
，
，
解得：，
，即所在圆的半径为，
故答案为：；．
13．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里．
【答案】
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可．
【详解】解：如图，
设，在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
14．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，）
【答案】58
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求的长．
【详解】解：由题意得：（海里），
在中，海里，
∴（海里）
（海里），
在中，，
∴（海里），
（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
15．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，）
【答案】m/10.3米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可．
【详解】解：在中，，，
，
，
在中，，，
，
则，
答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为
16．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米．
【答案】12
【分析】本题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用，由已知斜坡的坡度，可得到的比例关系，进而由勾股定理求得的长，由此得解．解题的关键是从图中抽象出直角三角形．
【详解】解：由已知斜坡的坡度，得：
，
设米，则米，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：或（舍去），
，
即河堤高等于12米．
故答案为：12．
17．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732）
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
点与桌面的距离约为，
故答案为：．
18．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．过点作于点，结合勾股定理和锐角三角函数即可求解；
【详解】解：过点作于点，
则
，，，
，
∴，
，
，，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732)
【答案】约
【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——仰角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，是解决问题的关键．
延长交于点G，设，证明四边形是矩形，，得到，得到，得到，根据，得到，求得，根据，即得故旗杆的高度约．
【详解】解：延长交于点G，设，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
．
故旗杆的高度约．
20．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示：
由题意得：米，米，，，
，
，
，
在中，米，
在中，米，
米，
米，
小李到古塔的水平距离即的长为米．
21．蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进．
(1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离；
(2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，）
【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为
(2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可．
（1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果；
（2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M，
由题意可知：中，，，
，
，
在中，，，
，
，
答：B点与糖所在位置C点之间的距离为；
（2）如图，过点C作与点N，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为．
22．为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，．
（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？
【答案】(1)848米
(2)走点A经过点B到点C的路线较近
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；
（1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解；
（2）由（1）可知，进而问题可求解．
【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
答：步道的长度约为848米．
（2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下：
由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴小王从点A经过点B到点C较近．
23．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】高楼的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中得仰角俯角问题，坡度坡角问题，矩形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，根据题意可得米，，先利用斜坡的坡度，求出的长，从而求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而即可解答．
【详解】解：如图，过D作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，，
由题意，得，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米．
答：高楼的高度AB为17.2米．
24．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为．
(1)求杯口半径的长；
(2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点B作于点D，过点C作于点Q，利用解直角三角形的知识，圆的知识解答即可；
（2）连接，并延长交于点N，连接，利用垂径定理，平行线的判定，勾股定理，等腰梯形的性质解答即可．
【详解】（1）解：过点B作于点D，过点C作于点Q，延长到点R，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为，
点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故杯口半径的长为．
（2）解：连接，并延长交于点N，
∵G为的中点，
∴，
连接，
∵
∴,
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数的应用是解题的关键.
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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.3.2解直角三角形（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ）
（结果精确到．参考数据：）
A． B． C． D．
2．如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是（ ）
A．仰角为 B．当无人机远离水平飞行时，仰角增大
C．俯角为 D．当无人机远离水平飞行时，俯角减小
3．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
4．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A．22 B．21 C．20 D．19
6．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米
7．如图，为了测量空中某点离地面的高度，小敏利用测角仪在点、分别测得的仰角为，为，地面上点、、在同一水平直线上，，则点离地面的高度长为（ ）
A． B． C． D．
8．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架，米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面EF的距离为（ ）米．
A． B． C． D．
10．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（ ）（结果保留一位小数，参考数据：，，）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，某同学想要用已学过的知识测量一座古塔的高度，他在离古塔米的A处用测角仪测得塔顶的仰角为，若测角仪高米，则古塔的高为 米．
12．如图，公园里有一灯杆垂直水平地面，灯架是一段劣弧，点C为灯泡，与相切于点A．小明调节带支架的测角仪使得，，且测角仪的高为，在D处测得点C的仰角为．沿着向灯杆方向水平前进达到时（、、分别是点G、M、H的对应点），测得点A的仰角也为，此时点C恰好在点的正上方．则点C距离地面的高度为 ．若，则所在圆的半径为 ．
13．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里．
14．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，）
15．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，）
16．如图，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米．
17．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732）
18．如图，河流两岸，互相平行，点，是河岸上的两座建筑物，点，是河岸b上的两点，，的距离约为米，某人在河岸上的点处测得，，则河流的宽度约为 米．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆 的高度，在观测点A处观 测旗杆顶点E 的仰角为，接着小明朝旗杆方向前进了到达C 点，此时，在观测点D处观 测旗杆顶点E 的仰角为．假设小明的身高为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414， 1.732)
20．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．
21．蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进．
(1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离；
(2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，）
22．为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，．
（参考数据：，）
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？
23．高楼和斜坡的纵截面如图所示，斜坡的底部点C与高楼的水平距离为30米，斜坡CD的坡度（坡比），坡顶D到BC的垂直距离米，在点D处测得高楼楼顶点A的仰角为，求楼的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
24．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为．
(1)求杯口半径的长；
(2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）.
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