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2024-2025九年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.1 锐角三角函数七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在Rt ABC中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【详解】解：如图，
∵，
∴设，，
∴由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故选：．
2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，过点A作轴于B，根据点A的坐标求出、，再根据锐角的正切值等于对边比邻边解答．
【详解】如图，过点A作轴于B，
∵点A的坐标是，
∴，
∴．
故选：B．
3．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．保持不变 D．扩大为原来的4倍
【答案】C
【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解．
【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关，
∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变
故选：C ．
4．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正切函数的定义合．根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴，，，
∴，即，
∴是直角三角形，且，，，
∴的正切值是，
故选：A．
5． 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可
【详解】解：在中，，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值，综合性较强，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
根据锐角三角函数的定义、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：①为锐角，，正确；
②为锐角，，，正确；
③∵为锐角，
∴，
∴，正确；
故选D．
7．季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，锐角的正切的含义，先求解，由可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵米，，
∴米，
∴，
∴米；
故选C
8．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
如图，连接，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
9．如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（ ）．
A． ADE是等腰直角三角形 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正弦的定义等知识点，灵活运用相关性质和判定成为解题的关键．
根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答．
【详解】解：将沿直线折叠，
，
，
，
是等腰直角三角形，故选项A正确，不符合题意；
，
，
将沿直线折叠，
，
，
，
，
，故选项B正确，不符合题意；，
，
，
，
，故选项C正确，不符合题意；
如图，过点作于点，
，
．
，
，
，
，
．
故选项D错误．
故选D．
10．如图，正方形的面积为3，点E，F分别在边，上，连接，，，若点M，N分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质以及中位线性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据正方形的性质得到，求出，再由中位线的性质得到答案即可．
【详解】解：连接，
正方形的面积为3，
，
，
，
，
在中， ，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
点M，N分别是，的中点，
．
故选D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则锐角 锐角（填、或）．
【答案】
【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键．
【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大，
∴若，则锐角锐角，
故答案为：．
12．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
∴，
由题意可知，则，
∴，
∴，
故答案为：．
13．中，，，那么顶角的正弦值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，难度适中．通过作高构造包含顶角的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，作于D，于E．
∵，
∴．
在直角三角形中，
∵，
∴．
∵，
∴
在直角三角形中，
∵，
∴．
故答案为：．
14．如图，在菱形中，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以B，E为圆心，以大长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．连接，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，由题意可得知，由菱形的性质可得出，．进而可证明四边形为矩形，由矩形的性质可得出，．设，根据正切的定义可得出，由勾股定理解出，最后根据菱形的性质求面积即可．
【详解】过点作于点，
由作图知，，
四边形是菱形，
，．
．
．
四边形为矩形．
，．
∴．
设，
∵，
∴，
∴．
，
∴．
∴．
∴．
菱形的面积．
故答案为：
【点睛】本题考查了作已知线段的垂直平分线的定义以及性质，菱形的性质，矩形的判定以及性质，正切的定义， 勾股定理，掌握线段的垂直平分线的作图以及菱形的性质是解题的关键．
15．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到，即是直角三角形，过点作交于，如图所示，由矩形的判定与性质得到，在中及在中，有勾股定理得到的长，在中，由正切定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
是的角平分线，
，
在和中，
，
，即是直角三角形，
过点作交于，如图所示：
，
，
，即四边形是矩形，
，
在中，，，则由勾股定理可得，则，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．
16．在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为
【答案】
/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、余弦的求解，根据题意证，根据和的面积比为可得和的面积比为，结合即可求解；
【详解】解：如图所示：
∵
∴
∵和的面积比为，
∴和的面积比为，
∵
∴
∴
故答案为：
17．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值．
【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示，
，
，
设每个小正方形的边长为，
由图可知：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
故答案为：．
18．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
，
，
由圆周角定理可得，则，
，即，
，
，
，
，即，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中求三角函数值，涉及圆周角定理的应用，比例性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，E是矩形的边上的一点，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，则的值是________．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明；
（2）由得到，则．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中边上找到一点D，连接，使；
(2)在图②中边上找到一点E，连接，使；
(3)在图③中边上找到一点F，连接，使．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用．
（1）取的中点，连接即可；
（2）延长交于格点，取格点，连接与交于点，连接即可；
（3）取格点，作射线交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点D即为所求；
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图②中，点E即为所求；
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
根据（1）得：，
∴．
（3）解：如图③中，点F即为所求．
．
21．在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为4
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，得到，进而得到，结合，求出的长，进而求出的长，利用求出的长，再用即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，点G是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形．掌握并能够灵活运用相关知识点，是解题的关键．
22．如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、．
(1)证明四边形是平行四边形．
(2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查对特殊四边形的性质，全等三角形的性质和判定，正切．
（1）证即可；
（2）设：，则，，即可求解．
【详解】（1）是矩形，，，
，，，
，
，
同理，
四边形为平行四边形；
（2）设：，则，
，
，
在中，，
解得：，
即：的长为2．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；
(2)
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数的解析式，并联立方程求交点坐标是解本题的关键．
（1）利用点的坐标代入中可求，进而代入反比例函数关系式中可求；
（2）联立方程求出交点的坐标，作辅助线构建直角三角形，根据三角函数的定义可得结论．
【详解】（1）解：把点代入，得，
，
把代入反比例函数中，
，
反比例函数的表达式为；
（2）解：联立两个函数的表达式得，
解得：或，
点的坐标为，
过点作轴于，
，，
，
．
24．已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的，两点，与轴交于点．
(1)写出点关于原点的对称点的坐标；
(2)分别求出这两个函数的表达式；
(3)求的正切值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据中心对称的性质，可得点关于原点的对称点的坐标；
（2）根据，可得反比例函数解析式，根据，两点可得一次函数解析式；
（3）过点作轴，垂足为，构造直角三角形，依据以及的长，即可得到的正切值．
【详解】（1）解：根据中心对称的性质可得，
点关于原点的对称点的坐标是；
（2）解：在的图象上，
，
反比例函数的解析式是：，
在的图象上，
，
，
过，两点，
，
，得：，
，
将代入，解得：，
一次函数的解析式是：；
（3）解：如图，作轴于点，
则，
，，
对于，令，则，
，
，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求关于原点对称的点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，已知两点坐标求两点距离，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求角的正切值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
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专题1.1 锐角三角函数七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识经常巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．在Rt ABC中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．保持不变 D．扩大为原来的4倍
4．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， ABC的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
5． 如图,在中，， ， 垂足为D， 若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为锐角，下列结论：若，则．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．季华路文华公园里的电视塔是佛山城市中轴线的标志性建筑物．如图，在地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为度，且点A，C，D在同一直线上，若测得米，则塔高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（ ）
A． B．4 C． D．
9．如图，在矩形中，，点在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点和点，则下列结论错误的是（ ）．
A． ADE是等腰直角三角形 B．
C． D．
10．如图，正方形的面积为3，点E，F分别在边，上，连接，，，若点M，N分别是，的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，则锐角 锐角（填、或）．
12．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ．
13．中，，，那么顶角的正弦值等于 ．
14．如图，在菱形中，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，分别以B，E为圆心，以大长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．连接，若，，则菱形的面积为 ．
15．在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ．
16．在中，，于D，若和的面积比为，则的余弦值为
17．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为 ．
18．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，E是矩形的边上的一点，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，则的值是________．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点 ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中边上找到一点D，连接，使；
(2)在图②中边上找到一点E，连接，使；
(3)在图③中边上找到一点F，连接，使．
21．在中，，平分，点G是的中点，点F是上一点，，延长交的延长线于点E，连接．
(1)证明：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
22．如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、．
(1)证明四边形是平行四边形．
(2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的值．
24．已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的，两点，与轴交于点．
(1)写出点关于原点的对称点的坐标；
(2)分别求出这两个函数的表达式；
(3)求的正切值．
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