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专题1.3.2 解直角三角形（二）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：实际应用之仰角俯角问题
【经典例题1】如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】
【答案】旗杆的高约为米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据于E，利用正切的概念求出的长，结合图形计算即可．
【详解】解：由题意得，于E，
米，，
在中，（米），
（米），
答：旗杆的高约为米．
【变式训练1-1】在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
【答案】米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：，，
∴四边形和四边形为矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
设，则米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【变式训练1-2】小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,)
【答案】篮球筐距地面的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰俯角问题，恰当构造直角三角形，正确应用锐角三角函数的定义式是解题的关键．
过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F，，解可得，解，建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G，过点O作于点E，延长交 于点 F．
由题意得，，．
设，则．
在中，，，
解得，
∴．
在中，，，
∴,
解得，
∴，
∴．
答：篮球筐距地面的高度约为．
【变式训练1-3】小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号）
【答案】大楼乙的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案．
【详解】如图，过点作，垂足为
根据题意可知，
在中，
在中，
故大楼乙的高度为．
【变式训练1-4】如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）．
【答案】约为71米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），．
∵,
∴为等腰直角三角形．
∴（米）．
在中，，得
（米）
∴ （米）．
答：乙楼的高度约为71米．
【变式训练1-5】研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）
【答案】点A到地面的距离的长约为27米
【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键．
如图：延长交于点，根据矩形的性质得到，再解直角三角形得到、；设，则，然后列关于x的方程求解即可．
【详解】解：如图：延长交于点，则四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
设．
，
，
，解得，
（米）．
答：点A到地面的距离的长约为27米．
题型二：实际应用之方位角问题
【经典例题2】让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米．
(1)求的长度（精确到个位）；
(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，）
【答案】(1)3127米
(2)路线二较近，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的长，进而可求的长，在中，即可求出的长度；
（2）分别求出和的长度，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H．
由题可知：，，．
∴四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形．
在中，
∵，米，
∴米，米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米米，
答：BC的长度为3127米．
（2）解：路线一：米米
∵米，
∴米，
∴路线二：米米，
∵，
∴路线二较近．
【变式训练2-1】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离．
【答案】(1)、两地的距离约为339.4米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解；
（2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，
由题意知，，
，，
，，
在中，米，
（米），
（米）．
答：、两地的距离约为339.4米；
（2）解：过点作于点，
由（1）得（米），
，，，
，
，
在中，，，
（米），
在中，，
（米），
（米）．
【变式训练2-2】小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【答案】(1)小山与亭台之间的距离米
(2)小玲先到达寺庙处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）作于点，在中求出，然后在中即可求解；
（2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案．
【详解】（1）作于点，
由题意知，，，，，
在中，
在中，，，
小山与亭台之间的距离米
（2）延长，作于点，作于点，则，
由题意知，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
在中，，米，
在中，，
米，
米，
且两人速度一致，
小玲先到．
答：小玲先到达寺庙处．
【变式训练2-3】某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？
【答案】不能．理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点C作于点D，求出C到的距离为并与比较即可得出结论．
【详解】解：不能．理由如下：
由题意可得，
设C到的距离为，如图，过点C作于点D，
则，
则有，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴不穿过文物保护区．
【变式训练2-4】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
【答案】(1)妈妈步行的速度为
(2)明明从C处到D处的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
（1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴，
∴，
答：妈妈步行的速度为；
（2）解：如图，过点C作交延长线于点E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
过点D作于点F，得矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明从C处到D处的距离约为．
【变式训练2-5】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问： ABC的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，）
【答案】平方海里
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积．
【详解】解：如图，过点作于点，
由题意得：（海里），
,
,
设海里，
中，，
，
，
，
（海里），
的面积（平方海里）
【变式训练2-6】随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处．
(1)求的距离和点 D 到直线的距离；
(2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里
(2)可以侦测到菲律宾渔船，理由见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用：
（1）作于E，于F，根据方向角和锐角三角函数的定义求出，求出，根据题意求出，根据正弦的定义求出；
（2）设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，分别求出的长，勾股定理求出的长，判断即可．
【详解】（1）解：作于E，于F，
由题意得，，设海里，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的距离为25海里，点D到直线的距离为60海里；
（2）能，理由如下：
设1小时后，海警船到达点，菲律宾渔船到达点，则，，
由（1）知，
∴，，
由勾股定理，得：
故可以侦测到菲律宾渔船．
题型三：实际应用之坡度坡比问题
【经典例题3】某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)计算台阶的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可；
（2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为，
∴，
，
即台阶的高度为；
（2）解：如图所示，设的对边为，作于F，
∴由题意得，四边形是矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：孔子雕像的高度约．
【变式训练3-1】如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯的长度是米，是二楼楼顶，，点C是上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角为，坡角 为求二楼的层高（精确到0.1米）．（参考数据：）
【答案】二楼的层高约为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，延长交于点D，根据坡度角的度数求得的长，然后在直角中利用三角函数即可求得的长，可得的值．
【详解】解：延长交于点D，
∵，，
∴．
∵坡角为，
∴，
设米，米，则米．
∵米，
∴，
∴米，米．
在中，，，
∴米，
∴（米）．
答：二楼的层高约为米．
【变式训练3-2】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角．
(1)求点 D到地面 的距离；
(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据)
【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ；
(2)改建后需占路面宽度 的长为
【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值．
（1）作于点，根据坡度的概念求出；
（2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长．
【详解】（1）作于点，
，
∵斜面的坡度为
，
,
,
答：点到地面的距离为；
（2）作 于点，
∵天桥斜面的坡角，
，
∵斜面的坡角，
，
，
,
答：此改建需占路面的宽度的长约为．
【变式训练3-3】如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，）
【答案】(1)5米
(2)宣传牌高约为2.7米
【分析】本题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
（1）在中，通过解直角三角形求出；
（2）过B作的垂线，设垂足为G，在中解直角三角形求出的长，进而可求出，即的长，在中，，则，由此可求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴米；
（2）解：过B作于G，
由（1）得，米，米，
∴米，
在中，，
∴米；
在中，，米，
∴米，
∴米，
所以，宣传牌高约为2.7米
【变式训练3-4】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度．
(1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号）
(2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)会碰到，见解析
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，进一步求出的长即可；
（2）延长交于点，过点作于点，求出的长，进而求出的长，再求出的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵新坡面的坡度
∴，
设，则：，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）会，理由如下：
延长交于点，过点作于点，由题意，得：，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴会碰到．
【变式训练3-5】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，）
【答案】建筑物的高度约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得∠1的正切，根据正切的含义，可得的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：作于E点，作于F点，如图，设，，
则，，，
由勾股定理，得，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴建筑物的高度约为米．
【变式训练3-6】某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长．
【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
．
在中，，，
，
∴，
．
答：水平距离的长为．
题型四：实际应用之方案设计问题
【经典例题4】
探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积
素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米．
素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上．
问题解决
任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度．
任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积．
【答案】任务一：米，米
任务二：1平方米，平方米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形和三角形的面积计算公式，解题的关键是正确作出辅助线，理解坡比的概念．
任务一：①根据坡比的概念和勾股定理即可求解；②作于点，根据坡比的概念和勾股定理即可求解；
任务二：过作于点，于点，交延长线于点，交于点，求出等腰梯形的上底即可得出结论；将土撑梯形转化为即可．
【详解】[任务一]
①由题意得，，，
，
（米）；
②如图，作于点，
由题意得，，
，
（米）．
[任务二]
如图，过作于点，过E作于点M，于点，交延长线于点，交于点，
由题意得，，，，
点落在BC上，
，
，，
，
（），
在梯形中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
（）．
【变式训练4-1】某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：
活动报告
活动目的 测量建筑物的高度
活 动 过 程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）
步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器
步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为．
步骤四：计算建筑物的高度
请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，）
【答案】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点B作于点E，过点B作于点F，由斜坡AB的坡度得到设，则，求出，设，得到，，由列方程求出y的值，即可得到答案．
【详解】解：过点B作于点E，过点B作于点F，
由题意可得，
∵斜坡AB的坡度；
∴
设，则
在中，
∵
∴
解得，
则，
设，
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∵
∴
解得
∴
∴建筑物的高度约为
【变式训练4-2】数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据
活动1 如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是______．
活动2 如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁（点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度．
实践活动总结归纳
大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用表示出护坡石坝的垂直高度．
【答案】（1）的度数是；（2）护坡石坝的垂直高度为2米；（3）
【分析】（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）首先得到，然后利用相似三角形的性质得到，然后代数求解即可；
（3）首先根据角的正切值得到，然后得到，然后证明出，得到，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式训练4-3】小明和他的学习小组开展“测量松树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量松树的高度
测量工具 测角仪和皮尺
测量示意图及说明 说明：为水平地面，松树垂直于地面．斜坡的坡度，在斜坡上的点E处测松树顶端A的仰角的度数．
测量数据 米，米，
参考数据
请你根据以上测量报告中的数据，求松树的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】松树的高度约为米
【分析】过点E作于点G，则四边形是矩形，得，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
【详解】：如图，点E作于点G，
则四边形是矩形，
∴，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，则米，
∴（米），
∴，
∴米，米，
∴（米），米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
答：松树的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练4-4】“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：调整后的滑梯会多占的一段地面．
【变式训练4-5】小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：
(1)求高楼的高度；
(2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)高楼的高度为米
(2)点离地面的距离为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）在中，解直角三角形即可得出答案；
（2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：在中，米，，
∴（米），
∴高楼的高度为米；
（2）解：如图，作于，于，
，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
设米，
∴米，
∵斜坡的坡比是，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴点离地面的距离为米．
题型五：实际应用之物理问题
【经典例题5】我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示）
【答案】
【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键．
【详解】解：延长交于．
，
，
，
，
．
故答案为：
【变式训练5-1】周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，当千斤顶升高 时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数）
【答案】17
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，交于点，根据菱形的性质可得，平分，，，然后分别求出当时，当时，的长度，即可解答．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，平分，，，
当，
，
是等边三角形，
；
当时，菱形是正方形，
平分，
，
在中，，
，
千斤顶升高的高度，
千斤顶升高了．
故答案为：17
【变式训练5-2】一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ．
【答案】18
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形是解题的关键．
根据题意，过点作于点，可求得，则，因此，得出结论垂直平分，因此．
【详解】解：过点作于点，如图：
则，
在中，
，
，
，即垂直平分，
，
故答案为：18．
【变式训练5-3】如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点G与的垂直高度差为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
根据题意连接，延长交于，作于，则，，设，则，证明，，即可得到，即可求解的长度；过点作于，则，可得，，求得的长度，证明，进而求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长交于，作于，
，，的半径均为，
，
的高度为，
，
设，则，
，
，
为三角形的中心，，
，，
，
，
，
即，
如图2所示，过点作于，则，
，
如图所示，如图所示，过点作，过点作，连接，
由图得，，
，
，，
，
，
，
点与的垂直高度差为，
故答案为：．
【变式训练5-4】【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展]
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[应用拓展] 过点作于点，过点作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
【详解】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展] 如图，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由题意得：，
，
，，
设，，则，，
，
，
解得：（负值已舍去），
，，
，
，
同【问题背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信号塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
【变式训练5-5】【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，）
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线．
【问题解决】
(1)求入射角的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可；
（2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可．
【详解】（1）解：如图1，，
，
入射角约为．
图1
（2）解：如图2，作于点，
在中，，
在中，，
光线从空气射入水中的折射率，
光线从空气射入水中的折射率．
【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题型六：实际应用综合题型
【经典例题6】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，）
(1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数；
(2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用．
（1）如图，过C作于F，于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）过M作于，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）如图，过C作于F，于G，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（2）过M作于，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
【变式训练6-1】学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）
【答案】点距离地面的高度约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点作于点，交于点，设的长度为米，在中，利用三角函数求得，在中，利用三角函数求得，再根据列方程，求出a值，即可得到答案．
【详解】过点作于点，交于点，
则四边形为矩形，，米，
设的长度为米，
由题意得，在中，，，，
，
在中，，，，
，
米，米，
米，
米，
即，
解得，
米．
答：点距离地面的高度约为5.8米．
【变式训练6-2】交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度，并判断此车是否超速，此路段限速不超过17米每秒．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】米，此车的速度为米秒，此车超速．
【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．解直角三角形得到米，求得此车的速度米秒米秒，于是得到结论．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米），
米，
此车的速度为（米秒），
24米秒米秒，
此车超速．
【变式训练6-3】2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，）
(1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号）
(2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
在中，，，
，
“手臂”完全伸出时的长度为；
（2）解：由题意得：，，
在中，，
，
，
路灯挂灯笼位置到地面的距离约为．
【变式训练6-4】随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆．
(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离．
(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可．
（2）证明，利用三角函数解答即可．
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，
∴，
∴，
∴，
∵撑杆．
∴，
故点到地面的距离为．
（2）解：根据题意，得，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：在水平地面上投影的长度约是．
【变式训练6-5】某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）
(1)如果长方形的边与街道的边缘成角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？
(2)如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
【答案】(1)2.2米，5.09米；
(2)37辆
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义，是解题的关键．
（1）按图1方法停放，可直接得出占用街道的长度；按图2的方法停放，需要算出点A到路边的距离；
（2）在(1)的基础上，只停1辆车时，需要的宽度，再求出每增加1辆车，增加的宽度，进而即可解答．
【详解】（1）解：按图1方法停放，可直接得出占用街道的长度即为长方形的宽，即2.2米；
按图2方法停放，如图
过点A作路沿于点B，过点D作于点C，
由题意可得，车长（米），，，米，，
∴，
∴，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
∴（米）
答：按图1停放，一个停车位占街道长2.2米，按图2停放，一个停车位占街道长5.09米；
（2）解：如图，
过点M作于点G，过点F作于点P，
∴（米），
（米），
∴只停1辆车时，需要宽度（米），
每增加1辆车，宽度增加（米），
车位数为（辆），
答：最多可停放37辆车．
【变式训练6-6】拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内．
(1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）．
(2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为
(2)手臂端点不能碰到点，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得；
（2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
则，
答：手臂端点离操作台的高度的长约为．
（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：
由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，
∴此时，
∵，，
∴，
即手臂端点不能碰到点．
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专题1.3.2 解直角三角形（二）六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：实际应用之仰角俯角问题
【经典例题1】如图，小明为了测量学校旗杆的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪，测得旗杆顶端D的仰角为，求旗杆的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据：，，】
【变式训练1-1】在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）
【变式训练1-2】小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径约为，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为．若小智的目高为，求篮球筐距地面的高度．(结果精确到，参考数据：, , ,)
【变式训练1-3】小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号）
【变式训练1-4】如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）．
【变式训练1-5】研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）
题型二：实际应用之方位角问题
【经典例题2】让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米．
(1)求的长度（精确到个位）；
(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，）
【变式训练2-1】如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，）
(1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米）
(2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离．
【变式训练2-2】小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处．
(1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号）
(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，）
【变式训练2-3】某市要在东西方向M，N两地之间修建一条道路．如图，C点周围范围内为文物保护区，在上点A处测得C在A的北偏东方向上，从A向东走到达B处，测得C在B的北偏西方向上，则是否穿过文物保护区？为什么？
【变式训练2-4】今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．
(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
【变式训练2-5】如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问： ABC的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，）
【变式训练2-6】随着南海局势的升级，中国政府决定在黄岩岛填海造陆，修建机场，设立雷达塔．某日， 在雷达塔 A 处侦测到东北方向上的点 B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域，且以 30 海里/时的速度往正南方向航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，这艘渔船行驶了 1 小时 10 分到达点 A 南偏东方向的 C 处，与此同时我方立即通知（通知时间忽略不 计）与 A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截，其中海警船位于与 A 相距 100 海里的 D 处．
(1)求的距离和点 D 到直线的距离；
(2)若海警船航行速度为 40 海里/时，可侦测半径为 25 海里，当海警船航行 1 小时时，是否可以侦测到菲律宾渔船，为什么？（参考数据： ， ， ）
题型三：实际应用之坡度坡比问题
【经典例题3】某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，）
(1)计算台阶的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
【变式训练3-1】如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯的长度是米，是二楼楼顶，，点C是上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角为，坡角 为求二楼的层高（精确到0.1米）．（参考数据：）
【变式训练3-2】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角．
(1)求点 D到地面 的距离；
(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据)
【变式训练3-3】如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，）
【变式训练3-4】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度．
(1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号）
(2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若高度的物品乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由．
【变式训练3-5】如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡顶D处，斜坡的坡度（或坡比），在D处测得该建筑物顶端A的俯角为，则建筑物的高度约为多少米？（精确到米，参考数据：，，）
【变式训练3-6】某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
题型四：实际应用之方案设计问题
【经典例题4】
探究堤坝结构和计算堤坝维修的截面面积
素材1 如图1是一个堤坝的截面图，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，坚硬夹层的最大厚度是6米．
素材2 图1中的堤坝，由于受到夏季洪水的冲刷，坡面受损严重，工程师给出整修加固方案图纸（图2），在原坡底部处回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上铺上导渗材料，做高为1米的块石固脚等腰梯形，铺设离水平地面高度4米的土撑梯形（，坡面和的坡比都为），块石固脚的点落在原坡面上．
问题解决
任务1 确定堤坝截面中相关坡面的长度． 求堤坝截面图中和的长度．
任务2 探究整修图纸中的一些相关数据． 求块石固脚和土撑的面积．
【变式训练4-1】某数学小组在刘老师的指导下测量一建筑物高度，活动报告如下：
活动报告
活动目的 测量建筑物的高度
活 动 过 程 步骤一：设计测量方案（小组讨论后，画出如图的测量示意图）
步骤二：准备测量工具 皮尺、测倾器
步骤三：实地测量并记录数据（A，B，C，D在同一平面上，于点D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A测得建筑物顶点C的仰角为； ③斜坡长52米； ④在点B测得建筑物顶点C的仰角为．
步骤四：计算建筑物的高度
请结合以上信息完成步骤四：计算建筑物的高度．（参考数据：，）
【变式训练4-2】数学实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据
活动1 如图1，测角小组用一根木条斜靠在护坡石坝上，使得与的长度相等，如果测量得到，那么石坝与地面的倾角的度数是______．
活动2 如图2，测高小组把一根长为4米的竹竿斜靠在石坝旁（点在石坝顶部，点在地面），量出竿长米时离地面的高度为0.5米，请你求出护坡石坝的垂直高度．
实践活动总结归纳
大家总结各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为米的杆子，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为米，点到护坡石坝底部的距离为米．利用测角小组得到的倾角的度数，请你用表示出护坡石坝的垂直高度．
【变式训练4-3】小明和他的学习小组开展“测量松树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量松树的高度
测量工具 测角仪和皮尺
测量示意图及说明 说明：为水平地面，松树垂直于地面．斜坡的坡度，在斜坡上的点E处测松树顶端A的仰角的度数．
测量数据 米，米，
参考数据
请你根据以上测量报告中的数据，求松树的高度．（结果精确到0.1米）
【变式训练4-4】“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
方案名称 滑梯安全改造
测量工具 测角仪、皮尺等
方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）
测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得．
解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）
（参考数据：）
【变式训练4-5】小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：
(1)求高楼的高度；
(2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
题型五：实际应用之物理问题
【经典例题5】我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示）
【变式训练5-1】周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即，之间的距离）．已知，当千斤顶升高 时，四边形为正方形．（参考数据：，，结果保留整数）
【变式训练5-2】一款闭门器按如图1所示安装，支点A，C分别固定在门框和门板上，门宽为，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变，如图2，当门闭合时，，则的长为 ．
【变式训练5-3】如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，，，，，的半径均为，为三角轮的中心，，．如图2，当轮子，及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，如图3，拉动，使轮子，在楼梯表面滚动，当，且，，三点共线时，点G与的垂直高度差为 ．
【变式训练5-4】【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【变式训练5-5】【综合与实践】
如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，）
【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线．
【问题解决】
(1)求入射角的度数；
(2)请求出光线从空气射入水中的折射率．
题型六：实际应用综合题型
【经典例题6】图1是一段横截面为四边形CBNM（如图2）的防洪堤，在四边形中，已测得：，，；现有一位同学为了获得防洪堤横截面相关数据，采用如下方案测量：如图2，把一根长为6的竹竿斜靠在防洪堤上面C处（E与C重合），在离A端1.5的D处，测得它离地面高度为0.6，又量得坡面的长为4．（，，）
(1)试求出防洪堤的高和坡面倾斜角度数；
(2)当防洪堤上面宽时，计算防洪堤横截面的面积．
【变式训练6-1】学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点E的太阳光线恰好照射在上的点F处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在上的点G处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，求点E距离地面的高度．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）
【变式训练6-2】交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度，并判断此车是否超速，此路段限速不超过17米每秒．（结果保留整数，参考数据：，）
【变式训练6-3】2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，）
(1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号）
(2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数）
【变式训练6-4】随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆．
(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离．
(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到）
【变式训练6-5】某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）
(1)如果长方形的边与街道的边缘成角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？
(2)如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？
【变式训练6-6】拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，， 且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内．
(1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）．
(2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂， 机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
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