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专题1.1 锐角三角函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：正弦、余弦、正切的概念辨析
【经典例题1】如图，在 ABC中，，，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可．
【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意；
． ，正确，故该选项不符合题意；
． ，正确，故该选项不符合题意；
．，原表示方法错误，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】在中，，若 ABC的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵，
∴的对边与斜边的比，
∵的三边都缩小5倍，
∴的对边与斜边的比不变，
∴的值不变．
故选：C．
【变式训练1-2】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比．
根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案．
【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
∴且米
∵
∴
∴米
故选： B．
【变式训练1-3】在 ABC中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边，
∴；
故成立的是选项B；
故选B．
【变式训练1-4】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．
【详解】解：，
，
、，故不符合题意；
、结论正确，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-5】如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
【答案】A
【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案．
【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意；
B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意；
D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
题型二：利用定义求正弦、余弦、正切的值
【经典例题2】如图，在 ABC中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练2-1】的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可．
【详解】解：如图，中，，，则，，
∴，
故选：C．
【变式训练2-2】在 ABC中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【变式训练2-3】如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴，，
由折叠可得，，
∴，
又∵
∴，
∴，
设，则
在中，
解得：
．
故选C．
【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式训练2-4】如图， ABC中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
【详解】解：设，，
∴，
∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-5】在 ABC中，，，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
题型三：已知正弦、余弦、正切求边长
【经典例题3】如图，在 ABC中，，点为的重心，若，，那么的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的重心，三角函数，直角三角形的性质，勾股定理，由点为的重心可得为边的中线，为边的中线，，即得，进而由三角函数可得，再由勾股定理得，进而由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，据此即可求解，掌握三角形的重心的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，∵点为的重心，
∴为边的中线，为边的中线，，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，为边的中线，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-1】在中，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，根据，结合，设，则，求解，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵，
设，则，
∴，
∴，解得：，
∴，
故答案为6．
【变式训练3-2】如图，在 ABC中，是边上的高，，，，则线段长为
【答案】5
【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【变式训练3-3】如图，在 ABC中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
【答案】
【分析】作于，交的延长线于，于，则四边形是矩形，先证明，在中利用勾股定理求出，从而得出，再证明四边形是平行四边形，得到，从而解决问题．
本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于，过点作于点，
则四边形是矩形．
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在中，
，，
，
，
，
，
将沿直线翻折后，点落在点，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【变式训练3-4】如图，在纸片中，，，．是边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，先利用三角函数和勾股定理求出，再分，，三种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
如图①，当时，为等腰三角形，
∴；
如图②，当时，为等腰三角形，
过点作于，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图③，当时，为等腰三角形，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
综上，当是等腰三角形，的长为或或，
故答案为：或或．
【变式训练3-5】如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
【答案】
【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型四：锐角三角函数值综合计算
【经典例题4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算：
（1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练4-1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练4-2】计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)6.5
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合计算：
（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：，
．
【变式训练4-3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值．
（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【变式训练4-4】计算下列各题：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算、零指数幂的意义、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是∶
（1）利用零指数幂、绝对值的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练4-5】（1）计算：
（2）在中，，，，求和，．
【答案】（）；；（），，．
【分析】（）先代入特殊角三角函数值，再根据实数混合运算法则计算即可；
先代入特殊角三角函数值，再根据实数混合运算法则计算即可；
（）先根据勾股定理求出的长，然后由正切，正弦和余弦定义即可求解；
本题考查了勾股定理，含特殊角三角函数值的混合运算，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：（）原式
；
原式
；
（）如图，
∵，，，
∴，
∴，，．
题型五：构建直角三角形求正弦、余弦、正切值
【经典例题5】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键．
如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题．
【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出
，，
得到
∴为直角三角形，且
∴
故选：A．
【变式训练5-1】正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解．
【详解】如图，为边上的格点，连接，
根据勾股定理，，
，
，
所以，，
所以，是直角三角形，
．
故选：B．
【变式训练5-2】如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求角的正切值，勾股定理，正正方形的性质，掌握正切的定义并构造直角三角形是本题的关键．
首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．
【详解】解：取格点，连接．根据正方形的性质可得，
由勾股定理得，，
∴．
故选：A．
【变式训练5-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 A、B、C都在小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
根据正切是对边比邻边，可得答案．
【详解】解：如图，过点作延长线的垂线，垂足为点，
∴，
故选：C．
【变式训练5-4】在 的正方形网格中，点 都是格点（网格线的交点），则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，求角的正弦值，过A点作垂线与点D，
根据网格信息可得出，利用网格与勾股定理可得出，最后根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：过A点作垂线与点D，
根据网格信息可得出，
，
∴，
故选：D．
【变式训练5-5】如图， ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了锐角三角函数定义，根据正切函数的定义，可得答案．熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选：D．
【变式训练5-6】如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1， ABC的三个顶点都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了求一个角的正弦，勾股定理，首先求出，然后利用正弦的概念求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：B．
题型六：利用三角函数值判断取值范围
【经典例题6】已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（ ）
A．0＜n＜1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意易知0°＜∠B＜45°，然后根据三角函数值可进行求解．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，且，
∴0°＜∠B＜45°，
∴，即；
故选C．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握三角函数是解题的关键．
【变式训练6-1】如图，在中，，AB＝5，BC＝4，点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上.若这样的菱形能作出两个，则AD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】因为在中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD必须小于此时的AD，也即这是AD的最大临界值；当AD等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD即可.
【详解】过C作交DG于M
由三角形的面积公式得
即，解得
①当菱形DEFG为正方形时，则只能作出一个菱形
设：，
为菱形，
，，即，得
（）
若要作两个菱形，则；
②当时，则恰好作出两个菱形
设：，
过D作于H，
由①知，，，得
综上，
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.
【变式训练6-2】若有意义,则锐角α的取值范围是( )
A．30°≤α＜90° B．0°＜α≤30° C．60°≤α＜90° D．0°＜α≤60°
【答案】D
【详解】试题解析：根据二次根式有意义的条件可知：
解得：
余弦值随锐角α的增大而减小，
锐角的取值范围是
故选D.
点睛：二次根式有意义的条件是：被开方数大于或等于零.
【变式训练6-3】已知β为锐角,cosβ≤,则β的取值范围为( )
A．30°≤β＜90° B．0°＜β≤60°
C．60°≤β＜90° D．30°≤β＜60°
【答案】C
【详解】试题分析:∵cos60°=,余弦函数随角增大而减小,
又cosβ≤,
所以锐角β的取值范围为60°≤β＜90°．
故选C．
考点:锐角三角函数的增减性．
【变式训练6-4】若sinα＜cosα,则锐角α的取值范围是( )
A．α＜60° B．45°＜α C．α＜45° D．不能确定
【答案】C
【详解】试题解析：当时，sinα=cosα，
正弦值随锐角α的增大而增大，余弦值随锐角α的增大而减小，
故C正确.
故选C.
点睛：正弦值随锐角度数的增大而增大，余弦值随锐角度数的增大而减小.
【变式训练6-5】在平面直角坐标系中，定义直线为抛物线的特征直线，为其特征点．若抛物线的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为，，若，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由题意知，当x=0时，特征直线y=b，且其特征直线交y轴于点E，得点E坐标，然后根据平行线的性质得CE=DF，1+=a，分当-1＜a＜ 时，当＜a＜1时，两种情况可得答案．
【详解】解：由题意知，当x=0时，特征直线y=b，且其特征直线交y轴于点E，则点E（0，b）．
∵DE∥CF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵DE∥CF，CE∥DF，
∴CE=DF，
由题意，得，
∴，即，
当时，
当时，得，，
当时，得，，
综上所述：或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象点的坐标的特点是解决此题关键．
题型七：锐角三角函数综合
【经典例题7】已知是的角平分线，，，，，
(1)求证：；
(2)求的面积．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的面积为
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质，
（1）在直角中，根据的余弦值的计算可得，是平分线，可得，则，可证，由此即可求证；
（3）在直角中，根据的正切值的计算可得，再根据三角形面积的计算公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
在中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴在中，，即，
∴，
∴，
∴的面积为．
【变式训练7-1】如图，中，对角线平分．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形．
（1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；
（2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）连接，交于点O，
∵四边形是菱形．，，
∴，，，
∴，
即菱形的边长为5．
【变式训练7-2】如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键．
（1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；
（2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
所以的长为5．
（2）解：∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
所以的正弦值为．
【变式训练7-3】如图，中，是斜边的中线．
(1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点，与交于点；
(2)若，，求的长；
(3)连接，交于点，若，求的值．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；
（2）连接，由相似三角形的判定与性质可得，，的长，然后由三角形的面积公式可得问题的答案；
（3）根据直角三角形斜边上中线的性质及平行线的判定得，再由平行线截线段成比例得，令，则，，根据勾股定理得长，即可得到答案．
【详解】（1）解：以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；
（2）连接，
，，
，
同理，，
，
，
，
，
．
（3）为中线，
，
，
，
，
，
，
，
令，则，，
，
．
即
【点睛】此题考查圆的综合，作图及直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，求角的正切值，掌握其性质定理是解决此题关键．
【变式训练7-4】如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接．
(1)求的直径；
(2)若点为的中点，求的长．
【答案】(1)的直径为10
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等知识；
（1）根据圆周角定理求出，，根据锐角三角函数求解即可；
（2）根据勾股定理求出，根据垂径定理求出垂直平分，，根据三角形中位线的判定与性质求出，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：为的直径，
，
点、在圆上，
，
，
，
，
，
的直径为10；
（2）解：连接交于点，如图所示，
由（1）得，直径，
在中，，
点为的中点，
，
垂直平分，
，，
是的中位线，
，
，
．
【变式训练7-5】如图，是直径，弦于点，连接，过点作的切线，与的平分线交于点，与交于点，交于点，交与点，连接．
(1)求证：；
(2)若 ，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由垂径定理可得，即得是的垂直平分线，即可得；
（）由垂径定理可得得，，即得，由圆周角定理得，即可得，得到，进而由勾股定理得，即得，再证明，得到，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的直径，弦于，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，,
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵平分，
∴
∵是的切线 ，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分的性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
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专题1.1 锐角三角函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：正弦、余弦、正切的概念辨析
【经典例题1】如图，在 ABC中，，，，，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】在中，，若 ABC的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【变式训练1-2】如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式训练1-3】在 ABC中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关
题型二：利用定义求正弦、余弦、正切的值
【经典例题2】如图，在 ABC中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练2-2】在 ABC中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图， ABC中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ．
【变式训练2-5】在 ABC中，，，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
题型三：已知正弦、余弦、正切求边长
【经典例题3】如图，在 ABC中，，点为的重心，若，，那么的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-1】在中，，，，则 ．
【变式训练3-2】如图，在 ABC中，是边上的高，，，，则线段长为
【变式训练3-3】如图，在 ABC中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ．
【变式训练3-4】如图，在纸片中，，，．是边上一点，连接，沿把纸片裁开，若是等腰三角形，则的长为 ．
【变式训练3-5】如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
题型四：锐角三角函数值综合计算
【经典例题4】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练4-1】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练4-2】计算：
(1)
(2)．
【变式训练4-3】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练4-4】计算下列各题：
(1)．
(2)．
【变式训练4-5】（1）计算：
（2）在中，，，，求和，．
题型五：构建直角三角形求正弦、余弦、正切值
【经典例题5】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练5-2】如图， ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点 A、B、C都在小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练5-4】在 的正方形网格中，点 都是格点（网格线的交点），则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-5】如图， ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练5-6】如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1， ABC的三个顶点都在格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用三角函数值判断取值范围
【经典例题6】已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A，设sinB＝n，那么n的取值范围是（ ）
A．0＜n＜1 B． C． D．
【变式训练6-1】如图，在中，，AB＝5，BC＝4，点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上.若这样的菱形能作出两个，则AD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】若有意义,则锐角α的取值范围是( )
A．30°≤α＜90° B．0°＜α≤30° C．60°≤α＜90° D．0°＜α≤60°
【变式训练6-3】已知β为锐角,cosβ≤,则β的取值范围为( )
A．30°≤β＜90° B．0°＜β≤60°
C．60°≤β＜90° D．30°≤β＜60°
【变式训练6-4】若sinα＜cosα,则锐角α的取值范围是( )
A．α＜60° B．45°＜α C．α＜45° D．不能确定
【变式训练6-5】在平面直角坐标系中，定义直线为抛物线的特征直线，为其特征点．若抛物线的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为，，若，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型七：锐角三角函数综合
【经典例题7】已知是的角平分线，，，，，
(1)求证：；
(2)求的面积．
【变式训练7-1】如图，中，对角线平分．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
【变式训练7-2】如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
【变式训练7-3】如图，中，是斜边的中线．
(1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点，与交于点；
(2)若，，求的长；
(3)连接，交于点，若，求的值．
【变式训练7-4】如图，是的直径，点在上，，点为上一点，且，连接．
(1)求的直径；
(2)若点为的中点，求的长．
【变式训练7-5】如图，是直径，弦于点，连接，过点作的切线，与的平分线交于点，与交于点，交于点，交与点，连接．
(1)求证：；
(2)若 ，，求线段的长．
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