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专题1.2 锐角三角函数的计算六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【经典例题1】在 ABC中， ，那么 ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰三角形
故选：A．
【变式训练1-1】在 ABC中，，都是锐角，且，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定．
【详解】解：，
，，
即，，
，
即为直角三角形，
故选：D．
【变式训练1-2】在 ABC中，、都是锐角，且，，则 ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式训练1-3】在 ABC中，，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
【详解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
【变式训练1-4】在 ABC中，若，，都是锐角，则 ABC是 三角形．
【答案】等腰直角
【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解．
【详解】解：由可得
，
即，
解得：，则，
∴为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
【变式训练1-5】锐角中，，则的形状是 .
【答案】等边三角形
【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键．
题型二：根据特殊三角函数求角度
【经典例题2】在 ABC中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【变式训练2-1】在 ABC中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案．此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【详解】解：，
，，
，，
，，
的度数是：．
故选：C．
【变式训练2-2】若，均为锐角，且，，则（ ）
A．， B．
C．， D．
【答案】A
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，；
故选A．
【变式训练2-3】已知α为锐角，且，则α等于 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可．
【详解】∵，，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ．
【答案】/15度
【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可．
【详解】∵，
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式训练2-5】将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为
【答案】150
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，平行线的性质，先根据特殊角的三角函数值求出的度数，互余求出的度数，平行线的性质求出的度数，再利用互补关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的对边平行，
∴，
∴；
故答案为：
题型三：已知角度比较两个三角函数的值
【经典例题3】的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选D．
【变式训练3-1】比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键，
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【详解】，
，
，，
，，
，
故选：D．
【变式训练3-2】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．
【详解】解：∵，，，
∴，故式子①错误；
∵，
又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大，
∴，
即，故式子②正确；
∵，，，
∴，故式子③错误；
∵，故式子④正确，
综上，正确的式子有②④．
故选：B．
【变式训练3-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解．
【详解】解：，
当时，随的增大而增大，
，
，
，
故选C．
【变式训练3-4】三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项．
【详解】解：∵（），
∴，
当时，正弦值是随着角的增大而增大，
∴
∴，
故选：C．
【变式训练3-5】比较和的大小（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键．
将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可．
【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，
∴，
∴．
故选：A．
题型四：利用同角三角函数关系求值
【经典例题4】在等腰三角形中，，点是边上一点，若，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，特殊角锐角三角函数．根据特殊角锐角三角函数可得，再由，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式训练4-1】如图，已知：是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果， ，那么等于（ ）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，设，先证明，根据等角的正切值相等可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【变式训练4-2】如图，在矩形中，将边 绕点B 逆时针旋转至 ，连接，若，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】
由，利用等角的三角函数值相等，由的三角函数值，在中解三角形，求出，在中解三角形中解三角形求出，最后代入面积公式即可．
【详解】解：如图，过点 B作，垂足为G，过点E作，垂足为 F，
∵，
∴，
则 ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，还涉及矩形的性质，锐角三角函数以及三角形面积公式的运用，熟练掌握几何概念、判定与性质是解决问题的关键．
【变式训练4-3】如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了同弧所对的圆周角相等以及利用三角函数求值，连接，可得是直角三角形，利用圆周角定理可得，在中，，利用三角函数可求出的长
【详解】连接，如图所示，
，
∴
，
在中，
，且，
，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是关键．
（1）根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理得到即可证明结论．
（2）根据平行线的性质得到根据平行四边形的性质得到，根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得．
．
【变式训练4-5】如图，在中，，D是边上一点，，，设．
(1)求、、的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，，
(2)3
【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解；
（2）由和（1）求得的，根据直角三角形锐角三角函数求出，从而求出的长．
【详解】（1）解：在中，
∵，，
∴，
，，；
（2）在中，
，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查综合应用解直角三角形和勾股定理，正确理解正切、正弦和余弦的定义是解题的关键．
题型五：互余两角三角函数的关系
【经典例题5】如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键；
在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答；
【详解】，，
；
故选：B．
【变式训练5-1】在 ABC中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式训练5-2】化简等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
【变式训练5-3】在中，，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】设，根据勾股定理求出的长，再根据即可
【详解】解：如图所示，，
设，
则，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了同角的三角函数，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个．
【答案】2
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，先证明，可得，，再证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：2
【变式训练5-5】已知，中，，，求、、、．
【答案】
【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
中，，，
，
①
又，，②
联立①②，解得；；
又，
；．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键．
题型六：三角函数综合
【经典例题6】如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长．
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，再证明四边形是菱形，计算即可．
【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数值的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键．
【变式训练6-1】在中，分别是的中点，于点，于点，连接.
(1)求证：四边形是平行四边形.
(2)当，时，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证和全等得，由此可得出结论；
（2）过点作于点，根据相似三角形的性质得，，再证为等腰直角三角形得，则，再由得，进而可得4，然后在中由勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵于点，于点，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，如下图所示：
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式训练6-2】在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，四边形的面积为 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证，再证，得，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出进而得出答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：在中，，
设，则，
由勾股定理得： ，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得： 或（舍去），
即，
∴四边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练6-3】如图，在中，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)已知为的中点．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由题中条件，结合两个三角形相似的判定与性质即可得到答案；
（2）①由（1）中，结合两个三角形相似的判定与性质判断即可得到答案；②由（1）中，得到，设设，由勾股定理计算，由即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：①由（1），知，
为的中点，
，
，
，
，
；
②由（1），可得，
，
，
，设，
在中，根据勾股定理，得，
．
【点睛】本题考查相似综合，涉及两个三角形相似的判定与性质、中点定义、勾股定理及三角函数等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
【变式训练6-4】在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；
（2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，
由（1）知，，
，
为的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
平行线与间的距离为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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专题1.2 锐角三角函数的计算六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【经典例题1】在 ABC中， ，那么 ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练1-1】在 ABC中，，都是锐角，且，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【变式训练1-2】在 ABC中，、都是锐角，且，，则 ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式训练1-3】在 ABC中，，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【变式训练1-4】在 ABC中，若，，都是锐角，则 ABC是 三角形．
【变式训练1-5】锐角中，，则的形状是 .
题型二：根据特殊三角函数求角度
【经典例题2】在 ABC中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】在 ABC中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】若，均为锐角，且，，则（ ）
A．， B．
C．， D．
【变式训练2-3】已知α为锐角，且，则α等于 ．
【变式训练2-4】如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是 ．
【变式训练2-5】将一把直尺与一把三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为
题型三：已知角度比较两个三角函数的值
【经典例题3】的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】比较，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【变式训练3-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】三角函数、、之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】比较和的大小（ ）
B． C． D．不确定
题型四：利用同角三角函数关系求值
【经典例题4】在等腰三角形中，，点是边上一点，若，则的度数为 ．
【变式训练4-1】如图，已知：是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果， ，那么等于（ ）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【变式训练4-2】如图，在矩形中，将边 绕点B 逆时针旋转至 ，连接，若，且，则的面积为 ．
【变式训练4-3】如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为 ．
【变式训练4-4】如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
【变式训练4-5】如图，在中，，D是边上一点，，，设．
(1)求、、的值；
(2)若，求的长．
题型五：互余两角三角函数的关系
【经典例题5】如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】在 ABC中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】化简等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不对
【变式训练5-3】在中，，若，则的值为 ．
【变式训练5-4】如图，在 ABC中，，点在边上，满足，若，则图中等于的角有 个．
【变式训练5-5】已知，中，，，求、、、．
题型六：三角函数综合
【经典例题6】如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接．当时，求的长．
【变式训练6-1】在中，分别是的中点，于点，于点，连接.
(1)求证：四边形是平行四边形.
(2)当，时，求的长.
【变式训练6-2】在中，E，F是对角线上的两点（点E在点F左侧），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，四边形的面积为 ．
【变式训练6-3】如图，在中，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)已知为的中点．
①求证：；
②若，求的值．
【变式训练6-4】在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离．
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